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Hi Leute,
habe folgende Aufgabe vor mir liegen und frage mich ob man die auf diese Art und Weise mit dem Leibniz-Kriterium lösen kann.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[4]{n}}
[/mm]
Nach Leibniz-Kriterium zu zeigen:
[mm] (\bruch{1}{\wurzel[4]{n}}) [/mm] ist eine monotone Nullfolge
Es gilt
[mm] n_{1} [/mm] < [mm] n_{2} [/mm] => [mm] \wurzel{ n_{1}} [/mm] < [mm] \wurzel{ n_{2}} [/mm] => [mm] \wurzel[4]{n_{1}} [/mm] < [mm] \wurzel[4]{n_{2}}
[/mm]
=> [mm] \bruch{1}{\wurzel[4]{n_{1}}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{\wurzel[4]{n_{2}}} <\bruch{1}{\wurzel[4]{n_{3}}} [/mm] < ...
=> Monotonie
zu Zeigen Nullfolge von [mm] (\bruch{1}{\wurzel[4]{n}}) [/mm]
[mm] (\bruch{1}{\wurzel[4]{n^{5}}}) [/mm] ist eine Teilfolge von [mm] (\bruch{1}{\wurzel[4]{n}}) [/mm]
=> gleicher Grenzwert
[mm] \bruch{1}{\wurzel[4]{n^{5}}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}
[/mm]
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
da [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] eine Nullfolge ist, gilt nach Majorantenkriterium [mm] \bruch{1}{\wurzel[4]{n^{5}}} [/mm] ist auch eine Nullfolge.
Da [mm] \bruch{1}{\wurzel[4]{n^{5}}} [/mm] gleichen Grenzwert wie [mm] \bruch{1}{\wurzel[4]{n}} [/mm] hat, hat [mm] \bruch{1}{\wurzel[4]{n}} [/mm] ebenfalls den Grenzwert 0.
Somit konvergent
Danke für eure Hilfe. Ich hoffe mit meiner Idee lag ich nicht allzuweit weg.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Fr 04.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo> Hi Leute,
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> habe folgende Aufgabe vor mir liegen und frage mich ob man
> die auf diese Art und Weise mit dem Leibniz-Kriterium lösen
> kann.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[4]{n}}
[/mm]
>
>
> Nach Leibniz-Kriterium zu zeigen:
>
> [mm](\bruch{1}{\wurzel[4]{n}})[/mm] ist eine monotone Nullfolge
>
> Es gilt
>
> [mm]n_{1}[/mm] < [mm]n_{2}[/mm] => [mm]\wurzel{ n_{1}}[/mm] < [mm]\wurzel{ n_{2}}[/mm] =>
> [mm]\wurzel[4]{n_{1}}[/mm] < [mm]\wurzel[4]{n_{2}}
[/mm]
>
> => [mm]\bruch{1}{\wurzel[4]{n_{1}}}[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[4]{n_{2}}} <\bruch{1}{\wurzel[4]{n_{3}}}[/mm]
> < ...
>
> => Monotonie
> zu Zeigen Nullfolge von [mm](\bruch{1}{\wurzel[4]{n}})[/mm]
>
>
> [mm](\bruch{1}{\wurzel[4]{n^{5}}})[/mm] ist eine Teilfolge von
> [mm](\bruch{1}{\wurzel[4]{n}})[/mm]
>
> => gleicher Grenzwert
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[4]{n^{5}}}[/mm] < [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}}
[/mm]
>
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN
[/mm]
>
> da [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm] eine Nullfolge ist, gilt nach
> Majorantenkriterium [mm]\bruch{1}{\wurzel[4]{n^{5}}}[/mm] ist auch
> eine Nullfolge.
> Da [mm]\bruch{1}{\wurzel[4]{n^{5}}}[/mm] gleichen Grenzwert wie
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[4]{n}}[/mm] hat, hat [mm]\bruch{1}{\wurzel[4]{n}}[/mm]
> ebenfalls den Grenzwert 0.
>
> Somit konvergent
Alles richtig.
Nur dass es eigentlich mit dem Nullfolgenkriterium schneller und einleuchtender geht.
gib einfach an für alle n>N ist [mm] \bruch{1}{\wurzel[4]{n}}<\varepsilon, [/mm] mit N= [mm] \bruch{1}{\varepsilon^4}
[/mm]
wenn du lieber mit Teilfolgen arbeitest wäre [mm] \bruch{1}{\wurzel[4]{n^{4}}} [/mm] doch eigentlich einleuchtender?!
Gruss leduart
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