Konvergente Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 So 04.12.2005 | | Autor: | musunoi |
Hi! 
folgende 2 reihen muss ich auf Konvergenz prüfen und ggfalls ihre Werte berechnen:
a) 1 - [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2^3} [/mm] - [mm] \frac{1}{4} [/mm] + [mm] \frac{1}{2^5} [/mm] - [mm] \frac{1}{6} [/mm] + [mm] \frac{1}{2^7} [/mm] - [mm] \frac{1}{8}+...
[/mm]
b) 1 + [mm] \frac{1}{2}i [/mm] + [mm] \frac{1}{3}i^{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{4}i^{3} [/mm] + [mm] \frac{1}{5}i^{4} [/mm] + ... ( = 1 + [mm] \frac{i}{2}- \frac{1}{3}- \frac{i}{4}+...) [/mm] weiter?
wie zeige ich, dass die Reihen konvergieren (oder nicht?) Könnt ihr mir da ein Tip geben? Ich kann sie nicht mal in eine kompakte Form bringen :-(
Gruß,
musunoi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:14 Mo 05.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo musunoi
die 2. Reihe ist für realteil und imaginärteil eine Lebnizreihe (alternierendes vorzeichen, Betrag der an ist eine monotone Nullfolge, die konvergiert also nach dem Leibnitzkriterium.
Die erste Reihe ist die neg, Summe alle inversen geraden Zahlen, die divergiert, wird durch die pos. Glieder nicht verbessert, weil sie zu schnell klein werden. die Summe der pos. konvergiert, die der negativen divergiert stärker, die Summe div. Leibniz ist nicht anwendbar, da die an nicht monoton fallen.
Du kannst immer ein endliches Stück angeben, das wieder als Summe 1 hat.
Sieh dazu den Beweis, dass die harmonische Reihe divergiert.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Mo 05.12.2005 | | Autor: | musunoi |
Hallo leduart,
Danke für die Hilfe. Hab die 2-te Reihe als [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\frac{i^k}{k+1} [/mm] geschrieben und dann mit Leibnizsches Kriterium gezeigt, dass eine monoton fallende Nullfolge ist [mm] (a_{k}*a_{k+1} \le [/mm] 0 und [mm] |a_{k}| \ge |a_{k+1}|)...ich [/mm] hoffe das ist richtig.
Gruß,
musunoi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Mo 05.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo musunoi!
> Hab die 2-te Reihe als [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\frac{i^k}{k+1}[/mm] geschrieben
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das klappt so nicht ... schreibe Dir mal von dieser Reihe die ersten Glieder auf. Dann solltest Du feststellen, dass diese Reihe dann gar nicht alternierend ist.
Allerdings funktioniert es, wenn wir unsere Reihe zerlegen in Realteil und Imaginärteil (wie oben von leduart bereits angedeutet):
[mm] $\bruch{i^0}{0+1} [/mm] + [mm] \bruch{i^1}{1+1} [/mm] + [mm] \bruch{i^2}{2+1} [/mm] + [mm] \bruch{i^3}{3+1} [/mm] + [mm] \bruch{i^5}{4+1} [/mm] +...$
$= \ 1 + [mm] \bruch{i}{2} [/mm] + [mm] \bruch{-1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{-i}{4} [/mm] + [mm] \bruch{+1}{5} [/mm] + ...$
Umsortieren und $i_$ ausklammern:
$= \ 1 - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5} [/mm] + ... \ [mm] i*\left(\bruch{1}{2} - \bruch{1}{4} + \bruch{1}{6} + ...\right)$
[/mm]
$= \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{2k+1} [/mm] + [mm] i*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{2k+2}$
[/mm]
Und nun kannst Du das Leibnizkriterium separat auf beide Teilsummen anwenden.
Gruß
Loddar
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