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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Do 04.01.2018 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | Aufgabe 1:
Sei [mm] a_{n} [/mm] := [mm] (-1)^{n} [/mm] * [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] mit n [mm] \in \IN
[/mm]
Geben Sie 2 Teilfolgen an , welche gegen verschiedene Grenzwerte Konvergieren (mit Beweis) |
Hallo,
Es gibt 2 Arten hier den Grenzwert zu bestimmen. Einmal kann ich die L'hopital Regel anwenden und den Term im Nenner oder im Zähler so lange ableiten bis sich der Grenzwert bestimmen lässt. Oder ich weise nach, dass der Grenzwert ab einem bestimmten [mm] \varepsilon [/mm] existiert.
Meine Frage ist jetzt, wie ich hier vorgehen soll, denn die L'hopital Regeln sind doch nur für Terme und nicht für Folgen oder ?
Danke
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Hallo,
> Aufgabe 1:
> Sei [mm]a_{n}[/mm] := [mm](-1)^{n}[/mm] * [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] mit n [mm]\in \IN[/mm]
>
> Geben Sie 2 Teilfolgen an , welche gegen verschiedene
> Grenzwerte Konvergieren (mit Beweis)
> Hallo,
>
> Es gibt 2 Arten hier den Grenzwert zu bestimmen.
Achtung: die Folge an sich ist divergent, besitzt also keinen Grenzwert.
> Einmal
> kann ich die L'hopital Regel anwenden und den Term im
> Nenner oder im Zähler so lange ableiten bis sich der
> Grenzwert bestimmen lässt. Oder ich weise nach, dass der
> Grenzwert ab einem bestimmten [mm]\varepsilon[/mm] existiert.
Die Regel von de l'Hospital ist hier nicht zielführend. und ich denke, mann muss hier die Grenzwerte der beiden Teilfolgen auch nicht nachweisen (sie sind trivial). (Sorry, das mit dem Beweis hatte ich übersehen)
> Meine Frage ist jetzt, wie ich hier vorgehen soll, denn die
> L'hopital Regeln sind doch nur für Terme und nicht für
> Folgen oder ?
Betrachte mal die [mm] (-1)^n [/mm] und den Bruch getrennt.
- Welchen Grenzwert besitzt der Bruch für [mm] n\to\infty? [/mm] Beweise diesen Grenzwert mit dem Kriterium für Folgenkonvergenz.
- Was bewirkt der Faktor [mm] (-1)^n?
[/mm]
Mit den Antworten auf diese Fragen siehst du leicht, dass die Folge zwei Häufungspunkte besitzt (so nennt man das, wenn es Teilfolgen mit unterschiedlichen Grenzwerten gibt). Und diese kannst du dann auch direkt samt zwei passenden Teilfolgen angeben (wenn du den Grenzwert des Bruchs vorher bewiesen hast).
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Fr 05.01.2018 | | Autor: | X3nion |
Hallo!
Nun fangen wir doch erstmal an, Teilfolgen von [mm] (a_n) [/mm] zu bilden.
Eine wäre doch [mm] a_{2k}_{k \in \IN} [/mm] = [mm] \frac{2k}{2k+1}.
[/mm]
Vermutung: [mm] \lim_{k \to \infty} a_{2k} [/mm] = 1
Beweis: Es ist [mm] |a_{2k} [/mm] - 1| = [mm] |\frac{2k}{2k+1} [/mm] - 1| = [mm] |\frac{-1}{2k + 1}| [/mm] = [mm] |\frac{1}{2k +1}|.
[/mm]
Sei nun [mm] \epsilon [/mm] beliebig vorgegeben. Für alle k > [mm] \frac{\frac{1}{\epsilon} - 1}{2} [/mm] gilt [mm] |a_{2k} [/mm] - 1| < [mm] \epsilon.
[/mm]
Daraus folgt die Behauptung.
Eine zweite naheliegende Teilfolge lautet wie?
Wenn du sie gefunden hast: beweise es mit dem [mm] \epsilon-Kriterium [/mm] der Konvergenz, oder nutze einen Satz aus der Vorlesung, welcher passen könnte (kleiner Tipp: es steht ein [mm] \cdot{} [/mm] zwischen den Termen  )
Viele Grüße,
X3nion
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Fr 05.01.2018 | | Autor: | X3nion |
Habe es kurz niedergeschrieben, da der Formeleditor nicht funktioniert:
![[]](/images/popup.gif) Link zum Bild
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![[]](https://www2.pic-upload.de/img/34599439/image.jpg){kind=small}
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