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| Aufgabe | | Frage [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}} [/mm] ist die Reihe Konvergent? |
Erstens habe ich ein Mathelsikon geguckt und habe die Aufgabe gefunden, aber mir stellt sich die Frage, wie ich diese q berechne von dem die ganze Zeit die Rede ist. In dem Fall wurde das Quotientenkriterium auf die Aufgabe angewandt. Und das sagt aus wenn dem entsprechend [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}\le [/mm] q sind,dann ist die Reihe konvergent. In diesem Fall ist für diese Reihe q = 1/2. WIe bekomme ich das q raus und ist es auf jede Reihe anwendbar.
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Hallo
das Glied [mm] a_n [/mm] der Reihe sieht so aus: [mm]\bruch{n!}{n^n}[/mm].
Das Glied [mm]a_{n+1}[/mm] dementsprechend so: [mm]\bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}[/mm].
Wenn du nun den Quotienten [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] bildest, erhältst du den Doppelbruch [mm]\bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\bruch{n!}{n^n}}[/mm], den man durch Kürzen so umformen kann:
[mm]\bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}*\bruch{n^n}{n!}=\bruch{n+1}{(n+1)^{n+1}}*\bruch{n^n}{1}=\bruch{1}{(n+1)^n}*\bruch{n^n}{1}=(\bruch{n}{n+1})^n[/mm].
Wie du durch Einsetzen überprüfen kannst, ist dieser Quotient am grössten bei n=1.
Alles klar?
Gruss
phrygian
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