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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Nilez |
Hallo!
Hab hier folgendes:
Zeige wenn,
{xn} eine monoton wachsende, {yn} eine monoton fallende Folge mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|xn- [/mm] yn| = 0 ist,
so konvergieren xn und yn gegen den selben Grenzwert.
Ist anschaulich, aber formal für mich nicht zu bewältigen!
Kann mir jemand dabei helfen?
Danke im Voraus,
Nilez
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Hi Nilez!
Wenn man davon ausgeht, dass [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n [/mm] konvergieren:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||x_n-a|=0
[/mm]
und da [mm] x_n [/mm] monoton steigen [mm] x_\le [/mm] a
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||y_n-b|=0
[/mm]
und da [mm] y_n [/mm] monoton fallend [mm] y_\ge [/mm] b
Außerdem gilt:
[mm] |x_n-b|\le |x_n-y_n|\le |a-y_n|
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}|x_n-b|\le \limes_{n\rightarrow\infty}|x_n-y_n|\le \limes_{n\rightarrow\infty}|a-y_n|
[/mm]
[mm] \Rightarrow |a-b|\le 0\le [/mm] |a-b|
[mm] \Rightarrow [/mm] |a-b|=0
[mm] \Rightarrow [/mm] a=b
Man müsste aber noch zeigen, dass [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n [/mm] konvergieren.
mfg Verena
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Do 18.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Verena!
> Wenn man davon ausgeht, dass [mm]x_n[/mm] und [mm]y_n[/mm] konvergieren:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}||x_n-a|=0
[/mm]
> und da [mm]x_n[/mm] monoton steigen [mm]x_\le[/mm] a
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}||y_n-b|=0
[/mm]
> und da [mm]y_n[/mm] monoton fallend [mm]y_\ge[/mm] b
>
> Außerdem gilt:
> [mm]|x_n-b|\le |x_n-y_n|\le |a-y_n|
[/mm]
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}|x_n-b|\le \limes_{n\rightarrow\infty}|x_n-y_n|\le \limes_{n\rightarrow\infty}|a-y_n|
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |a-b|\le 0\le[/mm] |a-b|
> [mm]\Rightarrow[/mm] |a-b|=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] a=b
Scheint wasserfest zu sein 
> Man müsste aber noch zeigen, dass [mm]x_n[/mm] und [mm]y_n[/mm]
> konvergieren.
Das ist zum Glück ganz leicht, denn [mm] y_1 [/mm] ist eine obere Schranke für die Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] und [mm] x_1 [/mm] eine untere Schranke für [mm] $(y_n)$, [/mm] und Monotonie+Beschränktheit=Konvergenz.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Do 18.11.2004 | | Autor: | Nilez |
Hallo Marc!
>
> Das ist zum Glück ganz leicht, denn [mm]y_1[/mm] ist eine obere
> Schranke für die Folge [mm](x_n)[/mm] und [mm]x_1[/mm] eine untere Schranke
> für [mm](y_n)[/mm], und Monotonie+Beschränktheit=Konvergenz.
>
Das ist rein anschaulich auch mir klar, und ich war auch schon so weit die Beschränktheit für die Konvergenz zu prüfen; jedoch hab ich ein Problem damit, den von dir zitierten Schluss aus der Angabe abzuleiten, wie machst du das???
Gruß,
Nilez
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Do 18.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Nilez,
> > Das ist zum Glück ganz leicht, denn [mm]y_1[/mm] ist eine obere
>
> > Schranke für die Folge [mm](x_n)[/mm] und [mm]x_1[/mm] eine untere Schranke
>
> > für [mm](y_n)[/mm], und Monotonie+Beschränktheit=Konvergenz.
> >
>
> Das ist rein anschaulich auch mir klar, und ich war auch
> schon so weit die Beschränktheit für die Konvergenz zu
> prüfen; jedoch hab ich ein Problem damit, den von dir
> zitierten Schluss aus der Angabe abzuleiten, wie machst du
> das???
Meine Behauptung war ja: [mm] $x_n\le y_1$ [/mm] für alle n.
Das zeige ich indirekt:
Angenommen, es gibt einen Index m, so dass [mm] $x_m>y_1$.
[/mm]
Ich setze nun [mm] $\delta:=\bruch{x_m-y_1}{2}$ [/mm] und erhalte folgende Ungleichungskette:
[mm] $\delta
[mm] $\le x_n-y_1$ [/mm] für alle n>m wegen der Monotonie von [mm] $(x_n)$ ($x_m\le x_n$)
[/mm]
[mm] $\le x_n-y_n$ [/mm] für alle n>m wegen der Monotonie von [mm] $(y_n)$ ($-y_1\le -y_n$)
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $0<\delta<\limes_{n\to\infty} (x_n-y_n)=\limes_{n\to\infty} |x_n-y_n|=0$.
[/mm]
Das ist der Widerspruch, denn [mm] $0\not<0$.
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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