Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Mi 28.11.2007 | | Autor: | balboa |
| Aufgabe | a) Bestimme die Menge aller [mm]x \in \IR[/mm] für die die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{k+1}}x^{2k}[/mm].
Schreibe die Reihe als Potenzreihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_k y^k[/mm] für geeignete a und y und mache eine sorgfältige Fallunterscheidung für die Werte von x.
b) Für welche [mm]z \in \IC[/mm] konvergiert die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(2k)!}x+1^{4k+3}[/mm]
c) Auf Konvergenz untersuchen und ggfls. den Wert bestimmen der Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2\cdot 4\cdot 6 \dots (2k)}[/mm]
-------------------------------------
Grenzwertbestimmung der Folgen
i) [mm]\left( 1+\bruch{3}{n}+\bruch{3}{n^2}+\bruch{1}{n^3}\right)^n[/mm]
ii) [mm]\left( 1-\bruch{1}{n^2}\right)^n[/mm]
iii) [mm]\left( 1+\bruch{1}{2^n}\right)^{2^n}[/mm] |
Hallo,
zu den obigen Aufgaben habe ich folgende Fragen:
Zu a-c habe ich noch gar keinen Plan wie ich diese angehen soll; i-iii so ungefähr und bräuchte evtl. nur kurze Hinweise.
Ich möchte keine vollständige Lösung, sondern nur Hinweise oder Stichworte, wie ich die Aufgaben zu einer (richtigen) Lösung auflösen kann.
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo balboa!
Es gilt: [mm] $1+\bruch{3}{n}+\bruch{3}{n^2}+\bruch{1}{n^3} [/mm] \ = \ [mm] \left( 1+\bruch{1}{n}\right)^3$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo balboa!
Hier kann man eine binomische Formel anwenden mit:
[mm] $$1-\bruch{1}{n^2} [/mm] \ = \ [mm] 1-\left(\bruch{1}{n}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left( 1-\bruch{1}{n}\right)*\left( 1+\bruch{1}{n}\right)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo balboa!
Kannst Du diese Aufgabe nochmal überprüfen wegen $2*n_$ bzw. [mm] $2^n$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Mi 28.11.2007 | | Autor: | balboa |
Hallo,
es muss beide Male [mm]2^n[/mm] sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo balboa!
Dann würde ich hier $k \ := \ [mm] 2^n$ [/mm] substituieren.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Mi 28.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) [mm] y=x^2
[/mm]
zu [mm] b)(x+1)^3 [/mm] vor die Summe ziehen, dann ähnlich a)
zu c) im Nenner [mm] 2^k [/mm] ausklammern, dann sollte dich die Reihe an eine bekannte erinnern.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 So 02.12.2007 | | Autor: | tridomi |
Hallo,
zu a)
man erhält mit dem Quotientenkriterium:
[mm] \bruch{\wurzel{k+1}}{\wurzel{k+2}} [/mm] und für k gegen unendlich wäre der Grenzwert 1.
In der Def. des Kriteriums heisst es nun:
1) Es gibt ein [mm] q \in \IR [/mm] mit [mm] 0 \le q < 1[/mm], so dass [mm] \left| \bruch{a_{n+1}}{a_n} \right| \le q[/mm], für fast alle [mm] n \in \IN [/mm]
und
2) Es muss also gelten [mm] 0 < \left| \bruch{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1 [/mm] für fast alle [mm] n \in \IN [/mm]
Ich habe nun das Problem, dass ich nicht weiss ob die zugrunde liegende Reihe konvergent oder divergent ist. Nach Def. 1) stelle ich fest, dass es eben kein q gibt -> also divergent.
Die Bedingung in Def. 2) ist aber auch erfüllt, woraus man konvergenz folgern müsste.
Was ist denn nun richtig?
zu c)
leider komme ich nicht weiter wenn ich
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k! 2^k}[/mm]
erhalte. Ich weiss, dass
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k!} = e[/mm]
ist, weiss aber nicht wie ich den Term auseinandernehmen kann.
Vielen Dank schonmal!
lg, tridomi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 So 02.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) da steht doch noch [mm] x^{2k} [/mm] dabei und die frage war für welche x die Reihe konvergiert! Habt ihr mal über Konvergenzradius geredet?
ebenso b) nur dass da [mm] z\inIC [/mm] gefragt ist.
die Koeffizienten sind [mm] 1/k!*(1/2)^k [/mm] und ich hab dich nach der Reihe von [mm] e^x [/mm] gefragt!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 So 02.12.2007 | | Autor: | Mephis |
Hallo,
ich muss auch die gleichen Aufgaben bis morgen erledigen und abgeben. Es wäre also schön, wenn die Antwort einwenig konkreter wird. :)
Zu a)
Wenn ich es richtig berechnet habe, konvergiert die Reihe absolut in (-1,1).
Und die Reihe ist divergent in x=1 und x=-1. Richtig?
Zu b)
Wie kann ich $ [mm] (z+1)^3 [/mm] $ rausziehen? Mir fehlt da wohl die Übung und ich sehe gerade nicht, wie die Summe danach aussieht. Bitte um mehr Erklärung.
Vielen Dank schonmal im Voraus
Meph
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 So 02.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo,
> ich muss auch die gleichen Aufgaben bis morgen erledigen
> und abgeben. Es wäre also schön, wenn die Antwort einwenig
> konkreter wird. :)
>
> Zu a)
> Wenn ich es richtig berechnet habe, konvergiert die Reihe
> absolut in (-1,1).
> Und die Reihe ist divergent in x=1 und x=-1. Richtig?
Richtig, bei [mm] \pm [/mm] 1 Minorante harmonische Reihe!
> Zu b)
> Wie kann ich [mm](z+1)^3[/mm] rausziehen? Mir fehlt da wohl die
> Übung und ich sehe gerade nicht, wie die Summe danach
> aussieht. Bitte um mehr Erklärung.
[mm] (z+1)^{4k+3}=(z+1)^3*(z+1)^{4k} [/mm] das erste ist unabh. von k und kann deshalb vor die Summe!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 So 02.12.2007 | | Autor: | Mephis |
Vielen Dank leduart für die rasche Antwort.
Zu b)
Nach Quotientenkriterium habe ich [mm] \bruch{1}{(2k+1)} [/mm] rausbekommen und das ist eine Nullfolge, also ist der Konvergenzradius der Potenzreihe unendlich und die Reihe Konvergiert für alle $ z [mm] \in \IC [/mm] $. Richtig?
Weitere Fragen zu ii) und iii) folgen. :)
Gruß
Meph
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 So 02.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist zwar richtig dass es für alle z konv. ist, aber:
eigentlich müssen die Koeffizienten [mm] a_kz^k [/mm] sein und nicht [mm] a_kz^{4k}.
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 So 02.12.2007 | | Autor: | Mephis |
Hmm, jetzt bin ich bissel verwirrt,
Allgemein ist doch die Potenzreihe: $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_k y^k [/mm] $
und hier ist $ y= [mm] (z+1)^4 [/mm] $
Nach Quotientenkriterium habe ich ja rausbekommen, dass der Konvergenzradius der Potenzreihe unendlich ist und die Reihe Konvergiert für alle $ z [mm] \in \IC [/mm] $.
Da ist doch egal was $y$ ist oder übersehe ich da was? Bitte mehr Erklärung.
Danke und Gruß
Meph
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 So 02.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast recht! weil er unendlich ist spielt es keine Rolle, aber das muss man sagen!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
zu c)
du solltest nun ein kriterium anwenden um so zu zeigen das die reihe konvergent ist oder auch nicht.
bspw. könntest du das majorantenkriterium verwenden und
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch {1}{k!2^{k}}
[/mm]
und das mit der dir eigentlich bekannten konvergenz der summendarstellung von exp vergleichen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Di 04.12.2007 | | Autor: | balboa |
Leider hatte ich vorher keine Zeit mich zu melden, daher etwas verspätet: Danke für die Hinweise, haben mich weitergebracht; mit welchem Erfolg wird sich noch zeigen ;)
Bis zum nächsten Mal
|
|
|
|
