Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Do 22.05.2008 | | Autor: | lula |
Schönen guten Morgen!
Ich habe eine Frage zum Wurzelkriterium. Wenn ich das so richtig verstanden habe, dann muss ich bei: [mm] x_n:=(n-te \wurzel{n}-1)^n [/mm] die n-te Wurzel ziehen und dann den limes von (n-te [mm] \wurzel{n}-1) [/mm] berechnen, was ja <= 1 sein muss. Also:konvergent. Kann ich das so sagen, oder ist das falsch bzw. fehlt da noch ein Zwischenschritt (das hatte ich wohl schon mal bei einem anderen Thema von mir gefragt, ist aber untergegangen, daher ein eigener Thread)?
Liebe Grüße, Lula
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo lula,
Du hast also die unendliche Reihe [mm]\textstyle\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\sqrt[n]{n}-1\right)^n}[/mm] gegeben...
> Schönen guten Morgen!
> Ich habe eine Frage zum Wurzelkriterium. Wenn ich das so
> richtig verstanden habe, dann muss ich bei: [mm]x_n:=(n-te \wurzel{n}-1)^n[/mm]
> die n-te Wurzel ziehen und dann den limes von (n-te
> [mm]\wurzel{n}-1)[/mm] berechnen, was ja <= 1 sein muss.
[mm]\le 1[/mm] reicht nicht aus, da ein [mm]0<\theta\mathrel{\textcolor{red}{<}}1[/mm] existieren muß, mit [mm]\left|\sqrt[n]{n}-1\right|\le\theta\;\forall n\ge n_0[/mm] !
Man setze [mm]b_n:=\sqrt[n]{n}-1[/mm]. Dann gilt [mm]b_n \ge -1[/mm]:
[mm]\textcolor{blue}{n}=\left(\sqrt[n]{n}\right)^n=\left(1+b_n\right)^n=\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}b_n^k\cdot{}1^{n-k}}=1+nb_n+\binom{n}{2}b_n^2+\sum_{k=3}^n{\dotsm}\mathrel{\textcolor{blue}{\ge}}\textcolor{blue}{1+\binom{n}{2}b_n^2}.[/mm]
Folgere daraus eine Abschätzung für [mm]b_n[/mm] und du erhälst eine passende Abschätzung für [mm]\left|b_n\right|[/mm]. Wähle dir dann ein beliebiges [mm]\theta[/mm] für [mm]n\ge 3[/mm].
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Do 22.05.2008 | | Autor: | lula |
Wow, vielen Dank für die tolle Erklärung! Nur noch mal um sicher zu gehen: Damit habe ich also dann gezeigt, dass die Reihe konvergent ist?
LG, Lula
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Hallo lula,
Siehe dir bitte nochmal die korrigierte Fassung meiner Antwort an. Bei [mm]\left|1-\tfrac{1}{n}\right|[/mm] kann man leider kein [mm]\theta[/mm] angeben, da ich für jedes [mm]n_0[/mm] ein [mm]n_1[/mm] angeben kann, so daß [mm]\left|1-\tfrac{1}{n_1}\right|[/mm] näher zur 1 liegt als [mm]\left|1-\tfrac{1}{n_0}\right|[/mm]. :-(
Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Fr 23.05.2008 | | Autor: | lula |
Hm, danke für die Hilfe, leider bin ich dann ab der Zeile $ [mm] \textcolor{blue}{n}=\left(\sqrt[n]{n}\right)^n=\left(1+b_n\right)^n=\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}b_n^k\cdot{}1^{n-k}}=1+nb_n+\binom{n}{2}b_n^2+\sum_{k=3}^n{\dotsm}\mathrel{\textcolor{blue}{\ge}}\textcolor{blue}{1+\binom{n}{2}b_n^2}. [/mm] $ nicht mehr mitgekommen bzw. verstehe das dann nicht mehr so. Kann mir das evtl. jemand noch etwas genauer erklären? Das mit dem Abschätzen habe ih auch noch nicht so raus, kann ich dann irgend eine mir bekannte Folge nehmen?
LG, Lula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Fr 23.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
habt ihr denn schon bewiesen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}=1
[/mm]
sonst sieh dir den Beweis an.
wenn du das hast, hast du auch dass es ein N gibt, so dass für alle n>N
[mm] \wurzel[n]{n}-1<1/2 [/mm] dann brauchst du für die Konvergenz kein Wurzelkriterium mehr, sondern hast die geometrische Reihe als majorante.
Gruss leduart
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Hallo lula,
> Hm, danke für die Hilfe, leider bin ich dann ab der Zeile
> [mm]\textcolor{blue}{n}=\left(\sqrt[n]{n}\right)^n=\left(1+b_n\right)^n=\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}b_n^k\cdot{}1^{n-k}}=1+nb_n+\binom{n}{2}b_n^2+\sum_{k=3}^n{\dotsm}\mathrel{\textcolor{blue}{\ge}}\textcolor{blue}{1+\binom{n}{2}b_n^2}.[/mm]
> nicht mehr mitgekommen bzw. verstehe das dann nicht mehr
> so. Kann mir das evtl. jemand noch etwas genauer erklären?
Wo genau hattest du jetzt Probleme? Du hast jetzt also die Abschätzung [mm]\textstyle n\ge 1+\binom{n}{2}b_n^2[/mm]. Ferner gilt: [mm]\textstyle\binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{(n-1)n}{2}[/mm]. Versuche das Ganze jetzt nach [mm]b_n[/mm] umzuformen.
Grüße
Karl
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