Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Yami |
Hallo, da jetzt bald wieder Prüfungen anstehen und ich imer noch Probleme mit Grenzwerten und Konvergenz habe wollte ich mal hier meine fragen reinstellen, damit ich vielleicht ein besseres verständnis bekomme...
Also meine erste Frage lautet: In den meißten aufgaben stehtbestimmen sie ob die folge konvergent ist und berechnen sie den Grenzwert dann.
Wie kann ich das bestimmen ob ne folge konvergent ist? ich habe mir meine aufgaben die der Prof mit uns gerechnet hat mal angeguckt doch in jeder aufgabe wird das irgendwie anders gemacht und ich sehe dort keine richtige struktur... mal hat er die follge auf monotonie überprüft mal hat er irgendwas mit ungerade und gerade gerechnet.... aber ich blicke da voll nicht durch.
Zweitens zu der Grenzwert berechnung... ohne l'Hospital... das ist doch voll der mist, bei manchen ist das noch gut sichtbar, etwas umformen und so alles klar doch sobald nen sinus oder betrag auftaucht, haut es mich voll weg. Unser Prof hat da wieder was vorgerechnet indem er einfach um die komplette aufgabe nen betrag macht und für sinus egal was im argument steht ne 1 hinmacht.... und das lösen von beträgen in solchen aufgaben ist mir auch nicht ganz geläufig.
Das zweite der Prof hat bei uns was eingeführt er nannte dies "Sandwichkriterium". In der aufgabe kammen wir mal mit umformen nicht weiter, z.B.: das soll jetzt einbeispiel nur zur bildlichen darstellung sein:
er schreibt dann sowas hin [mm] \wurzel[n]{n²} [/mm] <= [mm] \wurzel[n]{2n² + 5} [/mm] <= [mm] \wurzel[n]{2n²+5n²}... [/mm] die aufgabe in der mitte ist die eigentliche aufgabe dann sagt er links und rechts geht es gegen 1 also geht die eigentliche aufgabe auch gegen 1.
Wie ihr seht bin ich dort vollkommen durcheinander, ich sehe kein roten faden an den ich mich halten kann, ich hoffe ihr könnt mir dort etwas helfen, danke schonmal
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> Hallo,
Hey!!
> da jetzt bald wieder Prüfungen anstehen und ich imer
> noch Probleme mit Grenzwerten und Konvergenz habe wollte
> ich mal hier meine fragen reinstellen, damit ich vielleicht
> ein besseres verständnis bekomme...
>
> Also meine erste Frage lautet: In den meißten aufgaben
> stehtbestimmen sie ob die folge konvergent ist und
> berechnen sie den Grenzwert dann.
>
> Wie kann ich das bestimmen ob ne folge konvergent ist? ich
> habe mir meine aufgaben die der Prof mit uns gerechnet hat
> mal angeguckt doch in jeder aufgabe wird das irgendwie
> anders gemacht und ich sehe dort keine richtige struktur...
> mal hat er die follge auf monotonie überprüft mal hat er
> irgendwas mit ungerade und gerade gerechnet.... aber ich
> blicke da voll nicht durch.
>
Also zunächst mal gibt es die Definiton der Konvergenz: [mm] $\forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists n_0$, [/mm] sodass [mm] $\forall$ [/mm] $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$. [/mm]
Dazu musst du den Grenzwert a aber schon kennen.
Beispiel: [mm] a_n= \frac{n}{n+1}
[/mm]
Kannst du hier den Grenzwert bestimmen? Dieser lautet 1. Also folgt:
[mm] $|a_n [/mm] - a| = [mm] |\frac{n}{n+1} [/mm] -1| = [mm] |\frac{-1}{n+1}| [/mm] < [mm] \varepsilon$ $\forall$ [/mm] $n > [mm] \frac{1}{\varepsilon}$. [/mm]
Ein weiterer wichtiger Satz ist der über die "monotone Konvergenz". Sei [mm] a_n [/mm] eine monotone und beschränkte Folge, dann ist [mm] a_n [/mm] auch konvergent.
Ein Beispiel hierzu:
[mm] $a_n=\frac{1}{n}$ [/mm] Dann ist [mm] a_n [/mm] offenbar monoton fallend und außerdem gilt [mm] $a_n \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN$. [/mm] Also ist [mm] a_n [/mm] konvergent.
> Zweitens zu der Grenzwert berechnung... ohne l'Hospital...
> das ist doch voll der mist, bei manchen ist das noch gut
> sichtbar, etwas umformen und so alles klar doch sobald nen
> sinus oder betrag auftaucht, haut es mich voll weg. Unser
> Prof hat da wieder was vorgerechnet indem er einfach um die
> komplette aufgabe nen betrag macht und für sinus egal was
> im argument steht ne 1 hinmacht.... und das lösen von
> beträgen in solchen aufgaben ist mir auch nicht ganz
> geläufig.
>
Dazu solltest du wissen, dass der sinus durch -1 und 1 beschränkt ist. Daher kann man ihn oft durch 1 abschätzen. So kann ich z.B. sagen, dass $|sin(13798135953x)| [mm] \le [/mm] 1$ für alle $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
> Das zweite der Prof hat bei uns was eingeführt er nannte
> dies "Sandwichkriterium". In der aufgabe kammen wir mal mit
> umformen nicht weiter, z.B.: das soll jetzt einbeispiel nur
> zur bildlichen darstellung sein:
>
> er schreibt dann sowas hin [mm]\wurzel[n]{n²}[/mm] <= [mm]\wurzel[n]{2n² + 5}[/mm]
> <= [mm]\wurzel[n]{2n²+5n²}...[/mm] die aufgabe in der mitte ist die
> eigentliche aufgabe dann sagt er links und rechts geht es
> gegen 1 also geht die eigentliche aufgabe auch gegen 1.
>
Nun du weißt, dass [mm] $\wurzel[n]{n²} \to [/mm] 1$, für $n [mm] \to \infty$ [/mm] und [mm] $\wurzel[n]{7n²} \to [/mm] 1$, für $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Jetzt hast du die Folge: [mm] $\wurzel[n]{n^2+5}$. [/mm] Diese liegt genau zwischen den beiden Folgen. Doch da sowohl die größere als auch die kleiner Folge gegen 1 laufen, bliebt logischerweise deiner Folge gar nichts anderes übrig als auch gegen 1 zu konvergieren.
> Wie ihr seht bin ich dort vollkommen durcheinander, ich
> sehe kein roten faden an den ich mich halten kann, ich
> hoffe ihr könnt mir dort etwas helfen, danke schonmal
Ansonsten ist es schwer zu sagen, welches Verfahren das beste ist. Es kommt halt immer auf die Folge an. Gegebenfalls muss man halt verschiedene Wege ausprobieren, bis man zum Ziel kommt.
Ansonsten hilft wohl nur üben, üben, üben....
Grüße Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 So 01.06.2008 | | Autor: | Yami |
Vielen dank für deine antwort, also sie hat mir schon weitergeholfen, du hast recht es ist halt ne erkenungsache.
Werde mal mehr üben und versuchen mein blick zu schärfen....
Nur noch eine frage, bei der konvergenz hat nser prof das auch mal so gemacht das er die folgen für ungerade n´s und für gerade n´suntersucht hat...
Jedoch erkenne ich nicht was ich dabei sehen sollte...?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:51 So 01.06.2008 | | Autor: | Yami |
Nur noch eine frage, bei der konvergenz hat nser prof das auch mal so gemacht das er die folgen für ungerade n´s und für gerade n´suntersucht hat...
Jedoch erkenne ich nicht was ich dabei sehen sollte...?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4*10^{n} - 3*10^{2*n-2}}{3*10^{n-1} + 2*20^{2*n+7}}
[/mm]
Hier ist z.B.: so ne aufgabe ich soll se auf konvergenz untersuchen und den grenzwert ausrechnen... ich würde sagen jetzt sagen [mm] \bruch{n + 1}{n} [/mm] ? Weil mit diesem ungeraden geraden zeug weiß ich nicht was ich machen soll..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 So 01.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yami!
Steht da im Nenner tatsächlich [mm] $\red{2}0^{2n+7}$ [/mm] und nicht [mm] $10^{...}$ [/mm] ?
Denn mit [mm] $10^{...}$ [/mm] solltest Du in Zähler und Nenner mal [mm] $10^{2n}$ [/mm] ausklammern und kürzen.
Was das aber mit geraden und ungeraden $n_$ haben soll, sehe ich nicht ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 So 01.06.2008 | | Autor: | Yami |
ja da sollte ne 10 stehen, sorry. Achso und dann kann ich halt ganz einfach durch beweisen das die folge monoton ist zeigen das sie konvergiert?
Das mit den ungerade und geraden n´s soll ne möglichkeit sein auch auf konvergenz zu prüfen, nicht gerade hier, ich wollte halt nur wissen wie die technik funktioniert..
Im skript z.B.: hatten wir [mm] \bruch{n + 1}{(-1)^{n}*n}
[/mm]
jetzt wurde für gerade indizes der grenzwert errechnet und für ungerade.... dann steht da das ab einem index [mm] n>n_{0} [/mm] nicht alle folgeglieder im intervall liegen...
[mm] (1-\varepsilon, 1+\varepsilon) [/mm] und [mm] (-1-\varepsilon,-1+\varepsilon)
[/mm]
Bloß ich weiß nicht wie man das sieht und wie man drauf kommt.
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> ja da sollte ne 10 stehen, sorry. Achso und dann kann ich
> halt ganz einfach durch beweisen das die folge monoton ist
> zeigen das sie konvergiert?
Du musst zeigen dass sie monoton ist und beschränkt.
Nur Monotonie reicht nicht, zum Beispiel ist [mm] a_{n} [/mm] = n auch monoton wachsend, hat aber keinen Grenzwert weil sie nicht beschränkt ist.
> Das mit den ungerade und geraden n´s soll ne möglichkeit
> sein auch auf konvergenz zu prüfen, nicht gerade hier, ich
> wollte halt nur wissen wie die technik funktioniert..
>
> Im skript z.B.: hatten wir [mm]\bruch{n + 1}{(-1)^{n}*n}[/mm]
>
> jetzt wurde für gerade indizes der grenzwert errechnet und
> für ungerade.... dann steht da das ab einem index [mm]n>n_{0}[/mm]
> nicht alle folgeglieder im intervall liegen...
> [mm](1-\varepsilon, 1+\varepsilon)[/mm] und
> [mm](-1-\varepsilon,-1+\varepsilon)[/mm]
> Bloß ich weiß nicht wie man das sieht und wie man drauf
> kommt.
Sobald ein [mm] (-1)^{n} [/mm] in einer Folgendefinition steht, kannst du davon ausgehen dass die Folge nicht mehr monoton ist. (Trotzdem kann sie einen Grenzwert haben!)
Die Folge "alterniert" dann, schwankt also immer einmal nach oben und einmal nach unten. Man untersucht die Folge nun nur für gerade und ungerade Indizes, um zu testen ob die beiden Teilfolgen vielleicht trotzdem gegen einen gemeinsamen Grenzwert streben. Wenn sie das tun, hat die gesamte Folge diesen gemeinsamen Grenzwert. Tun sie das nicht bzw. konvergieren die Teilfolgen überhaupt nicht, hat die gesamte Folge auch keinen Grenzwert.
(Das erscheint logisch, oder?)
Bei deiner Folge hat der Professor das nun genau so gemacht. Er hat aber entdeckt, dass für gerade Indizes die Teilfolge den Grenzwert 1 hat, für ungerade die andere Teilfolge den Grenzwert -1.
Die Gesamtfolge kann dann logischerweise keinen Grenzwert haben, da sie sich ja aus den beiden Teilfolgen zusammensetzt. Dazu muss dir auch die Definition des Grenzwertes klar sein: Man kann für jede Umgebung des Grenzwerts ein Folgenglied finden, ab dem alle Folgenglieder in der Umgebung liegen. Mit anderen Worten: Es liegen immer endlich viele Folgenglieder außerhalb der Umgebung des Grenzwerts. Wenn nun aber wie bei dem Beispiel die beiden Teilfolgen gegen zwei verschiedene Werte streben, kann weder -1 noch 1 Grenzwert der Gesamtfolge sein, weil stets unendlich viele Werte außerhalb der Umgebung liegen (nämlich gerade die Werte der jeweils anderen Teilfolge).
Man nennt -1 und 1 Häufungspunkte; sie werden von der Folge unendlich oft erreicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 So 01.06.2008 | | Autor: | Yami |
Das mit der ungeraden und geraden sache ist mir jetzt klar geworden, eigentlich oll logisch  werde mal paar aufgaben versuchen und gucken wie ich damit klar komme.
Zu dem ersten also das ich das untersuchen muss ist mir klar, bloß wie ich da vorgehe weiß ich noch nicht richtig.... also bei rekursiven folgen habe ich beschränktheit und monotonie durch induktion bewiesen... hier würde ich jetzt z.B.: [mm] \bruch{n + 1}{n}... [/mm] oder wie müßte ich da vorgehen... das leuchtet mir halt noch nicht ein...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 So 01.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yami!
Von welcher Folge genau redest Du denn gerade? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Yami |
Ich meine diese Folge:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4\cdot{}10^{n} - 3\cdot{}10^{2\cdot{}n-2}}{3\cdot{}10^{n-1} + 2\cdot{}10^{2\cdot{}n+7}}
[/mm]
also den grenzwert habe ich halt schon raus ich soll jetzt aber auf kovergenz untersuchen und ich weiß nicht wie ich da gena vorgehen soll.
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Hallo Yami,
> Ich meine diese Folge:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4\cdot{}10^{n} - 3\cdot{}10^{2\cdot{}n-2}}{3\cdot{}10^{n-1} + 2\cdot{}10^{2\cdot{}n+7}}[/mm]
>
> also den grenzwert habe ich halt schon raus
welcher isses denn? 
> ich soll jetzt
> aber auf kovergenz untersuchen ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") und ich weiß nicht wie ich
> da gena vorgehen soll.
Mit der Berechnung (mit Hilfe der Grenzwertsätze) und der expilziten Angabe des Grenzwertes hast du doch die Konvergenz gezeigt.
Wenn es einen GW gibt, so ist er auch eindeutig.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Yami |
In der aufgaben stellung steht zunächst auf Konvergenz prüfen und unser prof hat mal ne aufgabe auf konvergenz geprüft indem er geprüft hat ob sie monoton ist mit [mm] \bruch{a_{n} + 1}{a_{n}}...
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:47 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Klammer mal im Zähler und Nenner {10^2n+7} aus. Dann müsste so einiges gegen Null gehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Yami |
Hallo leute, sorry das ich hier nicht weiter gemacht habe, hatte viel zu tun in der woche.
Also habe jetzt 2 fragen einmal ich weiß immer moch nicht wie ich zeigen soll das diese folge konvergiert....
Zweitens:
Ich habe bei einer folge den Grnzwert ausgerechnet und wollte wissen ob ich das so richtig gerechnet habe:
folge:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{n!}{2!*(n-2)!}*cos(n*\pi)*sin²(n!)}{n²*\wurzel{3*n+12}}
[/mm]
so das ist die Aufgabe, jetzt dachte ich mir erstmal betragsmäßiges abschätzen:
[mm] |\bruch{\bruch{n!}{2!*(n-2)!}*cos(n*\pi)*sin²(n!)}{n²*\wurzel{3*n+12}}|
[/mm]
dabei bleibt [mm] \bruch{n!}{2!*(n-2)!} [/mm] immer positiv sowie der nenner [mm] n²*\wurzel{3*n+12} [/mm] immer positiv bleibt.
sin und cos für n gegen unendlich wackeln zwischen -1 und 1 also habe ich das so aufgeschrieben
[mm] |\bruch{\bruch{n!}{2!*(n-2)!}*cos(n*\pi)*sin²(n!)}{n²*\wurzel{3*n+12}}| \le \bruch{\bruch{n!}{2!*(n-2)!}*1*1}{n²*\wurzel{3*n+12}}
[/mm]
so ich hoffe dieser schritt ist richtig, danach:
[mm] \bruch{\bruch{(n-2)!*(n-1)*n}{2!*(n-2)!}}{n²*\wurzel{3*n+12}}
[/mm]
jetzt kürzen und
[mm] \bruch{\bruch{(n-1)*n}{2}}{n²*\wurzel{3*n+12}}
[/mm]
[mm] \bruch{(n-1)*n}{2*n²*\wurzel{3*n+12}}
[/mm]
[mm] \bruch{n}{2*n²} [/mm] * [mm] \bruch{n-1}{\wurzel{3*n+12}}
[/mm]
kürzen
[mm] \bruch{1}{2*n} [/mm] * [mm] \bruch{\bruch{n}{n}-\bruch{1}{n}}{\wurzel{\bruch{3*n}{n²}+\bruch{12}{n²}}}
[/mm]
das wäre dann
[mm] \bruch{1}{2*n} [/mm] * [mm] \bruch{1-\bruch{1}{n}}{\wurzel{\bruch{3}{n}+\bruch{12}{n²}}}
[/mm]
jetzt gegen unendlich laufen lassen:
0 * [mm] \bruch{1-0}{\wurzel{0+0}}
[/mm]
und das wäre dann 0 als endergebniss.
Ist das so richtig?
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Hallo!
Zunächst was allgemeines:
Eine Grenzwertberechnung bedeutet immer auch eine exakte Berechnung. Wenn du also Terme abschätzt wie z.B. sin(...) mit 1, dann kann das zunächst bloß eine Fallbetrachtung sein. Du nutzt die Beschränktheit der Folge aus; diese kannst du jedoch nur benutzen wenn am Ende rauskommt das 0 der Grenzwert ist; ansonsten würde sich der sin(...) nämlich noch auf das Ergebnis auswirken!
> Hallo leute, sorry das ich hier nicht weiter gemacht habe,
> hatte viel zu tun in der woche.
> Also habe jetzt 2 fragen einmal ich weiß immer moch nicht
> wie ich zeigen soll das diese folge konvergiert....
Es gibt mehrere Möglichkeiten. Ich weiß aber nicht welche ihr in der Vorlesung hattet.
-Eine Folge ist konvergent, wenn sie monoton und beschränkt ist. (Das müsstest du dann zeigen)
-Herausfinden des GW a, und dann zeigen dass [mm]|a_{n} - a| < \epsilon[/mm].
-... Guck mal in deinen Mitschriften nach!
> Zweitens:
>
> Ich habe bei einer folge den Grnzwert ausgerechnet und
> wollte wissen ob ich das so richtig gerechnet habe:
>
> folge:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{n!}{2!*(n-2)!}*cos(n*\pi)*sin²(n!)}{n²*\wurzel{3*n+12}}[/mm]
>
Himmel Herrgott, was die euch für Aufgaben geben!
> so das ist die Aufgabe, jetzt dachte ich mir erstmal
> betragsmäßiges abschätzen:
>
Auch Beträge setzen kann den Grenzwert verändern! Solche Sachen sollten der letzte Ausweg sein!
> [mm]|\bruch{\bruch{n!}{2!*(n-2)!}*cos(n*\pi)*sin²(n!)}{n²*\wurzel{3*n+12}}|[/mm]
>
> dabei bleibt [mm]\bruch{n!}{2!*(n-2)!}[/mm] immer positiv sowie der
> nenner [mm]n²*\wurzel{3*n+12}[/mm] immer positiv bleibt.
>
> sin und cos für n gegen unendlich wackeln zwischen -1 und 1
> also habe ich das so aufgeschrieben
>
> [mm]|\bruch{\bruch{n!}{2!*(n-2)!}*cos(n*\pi)*sin²(n!)}{n²*\wurzel{3*n+12}}| \le \bruch{\bruch{n!}{2!*(n-2)!}*1*1}{n²*\wurzel{3*n+12}}[/mm]
>
Dadurch könnte z.B. der Grenzwert verändert werden!
> so ich hoffe dieser schritt ist richtig, danach:
>
> [mm]\bruch{\bruch{(n-2)!*(n-1)*n}{2!*(n-2)!}}{n²*\wurzel{3*n+12}}[/mm]
> jetzt kürzen und
> [mm]\bruch{\bruch{(n-1)*n}{2}}{n²*\wurzel{3*n+12}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{(n-1)*n}{2*n²*\wurzel{3*n+12}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{n}{2*n²}[/mm] * [mm]\bruch{n-1}{\wurzel{3*n+12}}[/mm]
>
> kürzen
>
> [mm]\bruch{1}{2*n}[/mm] *
> [mm]\bruch{\bruch{n}{n}-\bruch{1}{n}}{\wurzel{\bruch{3*n}{n²}+\bruch{12}{n²}}}[/mm]
>
> das wäre dann
>
> [mm]\bruch{1}{2*n}[/mm] *
> [mm]\bruch{1-\bruch{1}{n}}{\wurzel{\bruch{3}{n}+\bruch{12}{n²}}}[/mm]
>
> jetzt gegen unendlich laufen lassen:
>
> 0 * [mm]\bruch{1-0}{\wurzel{0+0}}[/mm]
>
> und das wäre dann 0 als endergebniss.
Achtung, Achtung! Wieso denn? [mm] \wurzel{0+0} [/mm] ist doch auch 0! Da steht dann
[mm] \bruch{0}{0}. [/mm] Was kommt da raus? Das ist nicht definiert, dieser Ausdruck!
> Ist das so richtig?
Du kommst auf den richtigen Grenzwert, aber bei jedem Schritt könntest du ihn durch deine zahlreichen Umformungen verändern. Es sind auch viele Ungenauigkeiten dabei. Du solltest zunächst deine Folge soweit umformen, dass sie etwas leichter aussieht. Zum Beispiel ist auch
[mm] \cos(n*\pi) [/mm] = [mm] (-1)^{n}
[/mm]
und, wie du schon festgestellt hast,
[mm] \bruch{n!}{2!*(n-2)!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*n*(n-1)
[/mm]
Wenn du das einsetzt, erhältst du:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{n!}{2!*(n-2)!}*cos(n*\pi)*sin^{2}(n!)}{n^{2}*\wurzel{3*n+12}}[/mm]
[mm] = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{2}*n*(n-1)*(-1)^{n}*sin^{2}(n!)}{n^{2}*\wurzel{3*n+12}}[/mm]
[mm] = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{2}*(1-\bruch{1}{n})*(-1)^{n}*sin^{2}(n!)}{\wurzel{3*n+12}}[/mm]
Und das reicht schon!
Du kannst nun sagen: Der Zähler des Bruches ist offenbar beschränkt auf [mm] \left[-\bruch{1}{2}|\bruch{1}{2}\right], [/mm] der Nenner des Bruches geht allerdings für [mm] n \to \infty [/mm] gegen [mm] \infty. [/mm] Folglich geht der gesamte Bruch gegen 0.
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Yami |
Aha aha, darauf habe ich nicht geachtet...
zu dem hier:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{2}\cdot{}(1-\bruch{1}{n})\cdot{}(-1)^{n}\cdot{}sin^{2}(n!)}{\wurzel{3\cdot{}n+12}}
[/mm]
also unser Prof möchte sowas da nicht stehen haben.... sorry, der sinus muss weg und [mm] (-1)^n [/mm] auch folglich haben wir das immer abgeschätzt.... halt mit
[mm] sin(\pi [/mm] * n) [mm] \le [/mm] 1
genauso wie
[mm] (-1)^n \le [/mm] 1
er möchte den bruch so kurz wie möglich haben
dadurch würde es ungenauer werden aber... er will es so:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{2}\cdot{}(1-\bruch{1}{n})*1*1}{\wurzel{3\cdot{}n+12}}
[/mm]
Dann würde es ja
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] durch unendlich sein und das geht ja auch gegen 0...
Zu der ersten frage, wie zeige ich das bei einer folge mit monotonie und beschränktheit? kenne das nur anhand von rekursiv definierten folgen...
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Hallo!
> Aha aha, darauf habe ich nicht geachtet...
>
> zu dem hier:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{2}\cdot{}(1-\bruch{1}{n})\cdot{}(-1)^{n}\cdot{}sin^{2}(n!)}{\wurzel{3\cdot{}n+12}}[/mm]
>
> also unser Prof möchte sowas da nicht stehen haben....
> sorry, der sinus muss weg und [mm](-1)^n[/mm] auch folglich haben
> wir das immer abgeschätzt.... halt mit
>
> [mm]sin(\pi[/mm] * n) [mm]\le[/mm] 1
> genauso wie
> [mm](-1)^n \le[/mm] 1
>
> er möchte den bruch so kurz wie möglich haben
>
> dadurch würde es ungenauer werden aber... er will es so:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{2}\cdot{}(1-\bruch{1}{n})*1*1}{\wurzel{3\cdot{}n+12}}[/mm]
>
> Dann würde es ja
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] durch unendlich sein und das geht ja auch
> gegen 0...
Wenn du schon offensichtlich siehst, dass der Term/ die Folge gegen 0 geht, dann kann du natürlich so wild abschätzen wie du möchtest . Es kam mir nur drauf an, dass man ganz am Anfang eventuell noch gar nicht sieht was der Grenzwert ist, und da sollte man dann schon relativ "vorsichtig" rangehen.
> Zu der ersten frage, wie zeige ich das bei einer folge mit
> monotonie und beschränktheit? kenne das nur anhand von
> rekursiv definierten folgen...
Ich glaube nicht, dass dieses Kriterium gut verwendbar für die Folge wäre, das wären jede Menge Termumformungen der übelsten Sorte. Du solltest vielleicht irgendein das andere anwenden... Naja, auf jeden Fall zeigt man Monotonie so:
[mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN \Rightarrow a_{n} [/mm] monoton wachsend.
Alternativ [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] > 0.
[mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] a_{n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN \Rightarrow a_{n} [/mm] monoton fallend.
Alternativ [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] < 0.
Falls du also noch nicht weißt, ob und von welcher Art monoton deine Folge ist, solltest du den Term [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] untersuchen und feststellen, ob er größer oder kleiner 0 ist für alle [mm] n\in\IN. [/mm] (Oder zumindest ab einem bestimmten [mm] n\in\IN)
[/mm]
Stefan.
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