Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:42 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Schloss |
| Aufgabe | 1) Es sei [mm] a_n [/mm] eine Folge reeller Zahlen. Weiterhin seien [mm] b_{n}:=a_{2n} [/mm] und [mm] c_{n}:=a_{2n+1} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] und es gelte [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n} [/mm] = A sowie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_{n} [/mm] = A. Zeigen Sie, dass [mm] a_{n} [/mm] ebenfalls gegebn A konvergiert.
2. Es seien [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] Folgen reeller Zahlen. Zeigen Sie: Sind [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] konvergent, dann sind es auch die Folgen [mm] (max\{a_{n},b_{n}\}) [/mm] und [mm] (min\{a_{n},b_{n}\}). [/mm] Gilt auch die Umkehrung ? Begründen Sie ihre Aussage. |
1) ist ja eigentlich klar, wenn die geraden und ungeraden Glieder einer Folge gegen A konvergieren, konvergieren alle Glieder auch gegen A. Ich weiß aber wieder nicht wie ich das zeigen kann.
Bei 2) ähnliches Problem, könnte man es so zeigen, dass eine obere bzw. eine untere Schranke existiert, und dadurch auch ein diese Schranken das Maxiumum bzw Minumum der Folgen einschränken?
Die Umkehrung, würde ich sagen, gilt nicht: Gegenbsp wär: [mm] a_{n}=(-1)^{n} [/mm] und [mm] b_{n}=(-1)^{n+1}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Sa 22.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst ganz stur die konvergenz der einzelnen benutzen d.h. es existiert zu jedem [mm] \epsilon [/mm] ein N sodass.. und dann daraus ein N fuer die eigentliche Folge finden.
Aehnlich in 2)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 So 23.11.2008 | | Autor: | Schloss |
[mm] |a_{2n}-A|<\varepsilon, \varepsilon>0, n\ge [/mm] N und
[mm] |a_{2n+1}-A|<\varepsilon, \varepsilon>0, n\ge [/mm] N
aber wie soll ich dann auf [mm] |a_{n}-A|<\varepsilon, \varepsilon>0, n\ge [/mm] N kommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:35 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]|a_{2n}-A|<\varepsilon, \varepsilon>0, n\geN[/mm] und
> [mm]|a_{2n+1}-A|<\varepsilon, \varepsilon>0, n\geN[/mm]
> aber wie
> soll ich dann auf [mm]|a_{n}-A|<\varepsilon, \varepsilon>0, n\geN[/mm]
> kommen?
so ist das auch zu schlecht geschrieben: hier im Quellcode sieht es anders aus.
[mm]|a_{2k}-A|<\varepsilon, \varepsilon>0, 2k\ge N1[/mm] und
> [mm]|a_{2k+1}-A|<\varepsilon, \varepsilon>0, 2k+1\ge N2[/mm]
jetzt nimm N=max(N1,N2)
dann gilt fuer alle n>N [mm] |a_n-A|<\varepsilon
[/mm]
weil man jedes n schreiben kann als 2k oder 2k+1
wenn du 2 folgen hast kannst du nie das gleiche N fuer das gleiche [mm] \epsilon [/mm] vorraussetzen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Schloss |
Ich schreibs jetzt so auf:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0
Wähle [mm] N1>\bruch{1}{\varepsilon}, N1\in \IN [/mm] , Dann gilt [mm] n\ge [/mm] N1
[mm] |b_{n}-A|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n}\le\bruch{1}{N1}<\bruch{1}{\varepsilon}
[/mm]
Wähle [mm] N2>\bruch{1}{\varepsilon}, N2\in \IN [/mm] , Dann gilt [mm] n\ge [/mm] N2
[mm] |c_{n}-A|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n}\le\bruch{1}{N2}<\bruch{1}{\varepsilon}
[/mm]
[mm] \exists N=max\{N1,N2\}, N\in \IN [/mm] Dann gilt [mm] n\ge [/mm] N
[mm] \bruch{1}{n}\le\bruch{1}{N}<\bruch{1}{\varepsilon}
[/mm]
aber warum eigentlich das Maximum von N1,N2? Wenn an monoton fallend ist, müsste es dann das Minimum sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Mo 24.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. [mm] N1>1/\varepsilon [/mm] kann man nicht schreiben. du kennst ja [mm] a_n [/mm] nicht, du weisst nur, dass es en N1 gibt so dass....
2. max(N1,N2) hat doch nichts mit fallend zu tun, es gibt ein N1 fuer [mm] a_n [/mm] und ein moeglicherweise anderes N2 fuer [mm] b_n. [/mm] wenn ich das max der 2 nehme und n groesser als das ist, gilt fuer alle n>max(N1,N2) [mm] |a_n-a|<\epsilon [/mm] UND [mm] |b_n-b|<\epsilon
[/mm]
und dann kommt erst dein Schluss! der fehlt noch in deinem Beweis
Gruss leduart
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