Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Di 28.07.2009 | | Autor: | Wolfram |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{3n \wurzel[6]{5n^{2}+3}}{(n+1)^{2} \wurzel[3]{4n^{2}+2n-1}} [/mm] |
ich würde gerne wissen wie man diese folge abschätz,
da mir das nicht ganz einleuchtet wie abgeschätzt wird wäre es hilfreich wenn jemand so nett wäre und dazu noch einige rekärungen posten würde,
und vielleicht gleichzeitig an diesem beispiel erklären würde
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Di 28.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfram,
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{3n \wurzel[6]{5n^{2}+3}}{(n+1)^{2} \wurzel[3]{4n^{2}+2n-1}}[/mm]
>
> ich würde gerne wissen wie man diese folge abschätz,
das ist keine Folge, sondern eine Reihe (was natürlich auch eine Folge ist, nämlich die Folge ihrer Teilsummen).
> da mir das nicht ganz einleuchtet wie abgeschätzt wird
> wäre es hilfreich wenn jemand so nett wäre und dazu noch
> einige rekärungen posten würde,
> und vielleicht gleichzeitig an diesem beispiel erklären
> würde
Naja, ich hoffe, es geht hier nur um das Konvergenzverhalten der Reihe. Die Reihe konvergiert, wenn Du (ab einem gewissen [mm] $N\,$) [/mm] eine konvergente Majorante angeben kannst (analog: Sie divergiert bei Angabe einer entsprechenden Minorante).
Wie kann man nun "ein Gefühl" für diese Reihe bekommen?
Wir schauen uns die Summanden an:
[mm] $$\bruch{3n \wurzel[6]{5n^{2}+3}}{(n+1)^{2} \wurzel[3]{4n^{2}+2n-1}}\,.$$
[/mm]
Sie sind alle [mm] $\ge 0,\,$ [/mm] und wir sehen, dass im Zähler "im Wesentlichen" so etwas wie [mm] "$n*n^{2/6}=n^{4/3}$" [/mm] steht, und im Nenner [mm] "$n^2*n^{2/3}=n^{8/3}$", [/mm] die Summanden sich also, wenn $n [mm] \to \infty$ [/mm] strebt, sich wie [mm] $\text{const}*\frac{n^{4/3}}{n^{8/3}}=\frac{1}{n^{4/3}}$ [/mm] verhalten. Also versuchen wir, eine entsprechende konvergente Majorante zu bauen:
Dazu benutze z.B., dass für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $$\bruch{3n \wurzel[6]{5n^{2}+3}}{(n+1)^{2} \wurzel[3]{4n^{2}+2n-1}}\le \bruch{3n \wurzel[6]{5n^{2}+3n^2}}{(n+1)^{2} \wurzel[3]{4n^{2}+2n-1}}\le \bruch{3*\wurzel[6]{8}\;n \wurzel[6]{n^{2}}}{n^{2} \wurzel[3]{4n^{2}}}=\frac{3*\wurzel[6]{8}}{\wurzel[3]{4}}*\frac{\wurzel[6]{n^2}}{n*\wurzel[3]{n^2}}=\frac{3*\wurzel[6]{8}}{\wurzel[3]{4}}*\frac{\wurzel[6]{n^2}}{n*\wurzel[6]{n^4}}=\frac{3*\wurzel[6]{8}}{\wurzel[3]{4}}*\frac{1}{n^{4/3}}\,.$$
[/mm]
Natürlich sollte hier die Kenntnis vorhanden sein, dass [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$ [/mm] (genau dann) konvergiert, wenn [mm] $\alpha [/mm] > 1$ ist. (Das folgt z.B. aus dem Cauchyschen Verdichtungssatz.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Di 28.07.2009 | | Autor: | Wolfram |
erstmal herztlichen dank für deine antwort
nach welchem prinzip oder (algorithmus) gehst du vor gibts da sowas wie ne faustregel was man nun aus den exponenten macht, wie die vorfaktoren betrachtet werden?
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> nach welchem prinzip oder (algorithmus) gehst du vor
Hallo,
so ganz verstehe ich die Frage nicht, denn Marcel hat Dir sehr ausführlich die Gedanken geschildert, die er sich gemacht hat, bevor er wirklich mit der Abschätzung begonnen hat: er hat sich überlegt, daß für [mm] n\to \infty [/mm] der Summand 3 in [mm] 5n^2+3 [/mm] "nahezu unbedeutend" wird, und sich der Ausdruck [mm] 5n^2 [/mm] "ähnlich wie" [mm] n^2 [/mm] verhält.
Die anderen Ausdrücke entsprechend.
Danach hat er (das Ziel fest im Blick) passende Abschätzungen vorgenommen und dann eine Majorante gesucht.
Hier steuert man oft auf [mm] \summe\bruch{1}{n^{\alpha}}, [/mm] auf die geometrische Reihe oder (für Minoranten) die harmonische Reihe zu.
> gibts
> da sowas wie ne faustregel was man nun aus den exponenten
> macht, wie die vorfaktoren betrachtet werden?
Einen Algorithmus, der immer und bei jeder Reihe funktioniert, wirst Du nicht finden.
Am besten lernt man's durch fleißiges Üben.
Gruß v. Angela
P.S.: beachte, daß es in Marcels Antwort heißen muß ..."die Summanden sich also, wenn $ n [mm] \to \infty [/mm] $ strebt, sich wie $ [mm] \text{const}\cdot{}\frac{n^{\red{4/3}}}{n^{\red{8/3}}}=n^{\red{-}4/3} [/mm] $ verhalten"
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Di 28.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> P.S.: beachte, daß es in Marcels Antwort heißen muß
> ..."die Summanden sich also, wenn [mm]n \to \infty[/mm] strebt,
> sich wie
> [mm]\text{const}\cdot{}\frac{n^{\red{4/3}}}{n^{\red{8/3}}}=n^{\red{-}4/3}[/mm]
> verhalten"
danke auch hier nochmals für den Hinweis. Ich habe es editiert.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Di 28.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> erstmal herztlichen dank für deine antwort
>
> nach welchem prinzip oder (algorithmus) gehst du vor gibts
> da sowas wie ne faustregel was man nun aus den exponenten
> macht, wie die vorfaktoren betrachtet werden?
wenn Du so willst, kann man sagen:
Ich habe untersucht, ob es möglich ist, dass Konvergenzverhalten der Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n$ [/mm] mithilfe des sogenannten Grenzwertkriteriums (![[]](/images/popup.gif) Satz 33.6 im Heuser, Analysis I) herauszubekommen. Die Vorgehensweise ist jedenfalls zu diesem Kriterium (bzw. zum Beweis dazu) i.W. analog.
(Ist Dir klar, wie man hier, würde man dieses Kriterium benutzen wollen, die Folge [mm] $(b_n)_n$ [/mm] wählen könnte?)
Gruß,
Marcel
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