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| Aufgabe | Es sei [mm] (x_n)_n [/mm] eine reelle Folge mit Grenzwert x und k [mm] \mapsto n_k [/mm] eine injektive Abbildung von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IN.
[/mm]
1. Zeigen Sie, dass für alle N [mm] \in\IN\sub [/mm] ein K [mm] \in\IN\sub [/mm] existiert, sodass [mm] n_k \ge \IN\sub [/mm] für alle [mm] k\ge [/mm] K.
2. Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (x_n_k )_k [/mm] ebenfalls gegen x konvergiert. |
Also ich habe mal versucht beides zu lösen. Doch ich weis nicht ob das so richtig ist und ob ich es so schreiben kann.
Lösung:
1. z.z Es gibt für alle N [mm] \in\IN\sub [/mm] ein K [mm] \in\IN\sub [/mm] sodass [mm] n_k \ge [/mm] N für alle [mm] k\ge [/mm] K
Da injektiv, kann jede natürliche Zahl nur einmal vorkommen
[mm] n_K_1 [/mm] =1
[mm] n_K_2 [/mm] =2
....
[mm] n_K_n=N
[/mm]
Da die Abbildung injektiv ist, kann jede natürliche Zahl nur einmal vorkommen. Diese können jedoch in bel. Reihenfolge auftreten. Es gibt jedoch ein Maximum K, bis zu dem alle [mm] n_k,...,n_k_n [/mm] aufgetreten sind. Somit gilt ab diesem K für alle k [mm] \ge [/mm] K [mm] n_k \ge [/mm] K.
Es gibt für alle [mm] \varepsilon> [/mm] 0 ein [mm] N\in\IN\sub [/mm] sodass für alle n [mm] \ge [/mm] N [mm] \left|x_n -a \right| <\varepsilon
[/mm]
z.z Es gibt für alle [mm] \varepsilon> [/mm] 0 ein [mm] K\in\IN\sub [/mm] sodass für alle k [mm] \ge [/mm] K [mm] \left|x_n_k -a \right| <\varepsilon
[/mm]
aus 1. wissen wir, dass es für ein N ein K gibt , für das gilt [mm] n_k \ge [/mm] K für alle [mm] k\ge [/mm] K
Somit gilt, dass es für alle [mm] \varepsilon> [/mm] 0 ein N gibt sodass für alle [mm] n_k \ge [/mm] K [mm] \left|x_n_k -a \right| <\varepsilon.
[/mm]
Kann ich das so schreiben? Ist das richtig oder fehlr da noch was? Bitte kann mir jemand helfen? Icj finde die Aufgabe irgendwie total schwer.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Fr 20.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm](x_n)_n[/mm] eine reelle Folge mit Grenzwert x und k
> [mm]\mapsto n_k[/mm] eine injektive Abbildung von [mm]\IN[/mm] nach [mm]\IN.[/mm]
> 1. Zeigen Sie, dass für alle N [mm]\in\IN\sub[/mm] ein K
> [mm]\in\IN\sub[/mm] existiert, sodass [mm]n_k \ge \IN\sub[/mm] für alle [mm]k\ge[/mm]
> K.
> 2. Zeigen Sie, dass die Folge [mm](x_n_k )_k[/mm] ebenfalls gegen x
> konvergiert.
> Also ich habe mal versucht beides zu lösen. Doch ich
> weis nicht ob das so richtig ist und ob ich es so schreiben
> kann.
> Lösung:
> 1. z.z Es gibt für alle N [mm]\in\IN\sub[/mm] ein K [mm]\in\IN\sub[/mm]
> sodass [mm]n_k \ge[/mm] N für alle [mm]k\ge[/mm] K
>
> Da injektiv, kann jede natürliche Zahl nur einmal
> vorkommen
Wo ?
> [mm]n_K_1[/mm] =1
> [mm]n_K_2[/mm] =2
> ....
> [mm]n_K_n=N[/mm]
???????????????????????
> Da die Abbildung injektiv ist, kann jede natürliche Zahl
> nur einmal vorkommen. Diese können jedoch in bel.
> Reihenfolge auftreten. Es gibt jedoch ein Maximum K, bis zu
> dem alle [mm]n_k,...,n_k_n[/mm] aufgetreten sind. Somit gilt ab
> diesem K für alle k [mm]\ge[/mm] K [mm]n_k \ge[/mm] K.
Du meinst das Richtige, nur formuliert hast Du es etwas wirr.
Sei also N [mm] \in \IN.
[/mm]
A:= { k [mm] \in \IN: n_k [/mm] <N }. Da k $ [mm] \mapsto n_k [/mm] $ injektiv ist, ist A = [mm] \emptyset [/mm] oder A ist endlich.
Folglich gilt [mm] n_k
[mm] n_k \ge [/mm] N für jedes k [mm] \ge [/mm] K
>
> Es gibt für alle [mm]\varepsilon>[/mm] 0 ein [mm]N\in\IN\sub[/mm] sodass
> für alle n [mm]\ge[/mm] N [mm]\left|x_n -a \right| <\varepsilon[/mm]
> z.z
> Es gibt für alle [mm]\varepsilon>[/mm] 0 ein [mm]K\in\IN\sub[/mm] sodass
> für alle k [mm]\ge[/mm] K [mm]\left|x_n_k -a \right| <\varepsilon[/mm]
> aus
> 1. wissen wir, dass es für ein N ein K gibt , für das
> gilt [mm]n_k \ge[/mm] K für alle [mm]k\ge[/mm] K
> Somit gilt, dass es für alle [mm]\varepsilon>[/mm] 0 ein N gibt
> sodass für alle [mm]n_k \ge[/mm] K [mm]\left|x_n_k -a \right| <\varepsilon.[/mm]
Der Beweis von 2. ist O.K.
FRED
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> Kann ich das so schreiben? Ist das richtig oder fehlr da
> noch was? Bitte kann mir jemand helfen? Icj finde die
> Aufgabe irgendwie total schwer.
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