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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Mi 02.03.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Überprüfen Sie die folgende Folgen auf Konvergenz. Bestimmen Sie für alle konvergenten Folgen den Grenzwert und zeigen Sie ggf. die Konvergenz gegen diesen Grenzwert. Sind die Folgen nicht konvergent, so geben Sie eine Begründung an.
[mm] \vec{b_{k}}= (\bruch{1}{k}*cos(\pi [/mm] k),cos(2 [mm] \pi [/mm] k)) |
Hallo, also ich soll ja Konvergenz überprüfen. Denke mal, dass der erste Wert gegen 0 und der zweite gegen 1 strebt. Aber wie zeige ich das jetzt rechnerisch?:O Also es muss ja dann gelten [mm] |\vec{b_{k}}-\vektor{0 \\ 1}|\to [/mm] 0 (für k gegen [mm] \infty). [/mm] Aber wie mach ich jetzt weiter?
Danke schon mal im Voraus
Gruß David
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Hi David,
> Überprüfen Sie die folgende Folgen auf Konvergenz.
> Bestimmen Sie für alle konvergenten Folgen den Grenzwert
> und zeigen Sie ggf. die Konvergenz gegen diesen Grenzwert.
> Sind die Folgen nicht konvergent, so geben Sie eine
> Begründung an.
> [mm]\vec{b_{k}}= (\bruch{1}{k}*cos(\pi[/mm] k),cos(2 [mm]\pi[/mm] k))
> Hallo, also ich soll ja Konvergenz überprüfen. Denke
> mal, dass der erste Wert gegen 0 und der zweite gegen 1
> strebt. Aber wie zeige ich das jetzt rechnerisch?:O
Da [mm] \cos(2\pi\cdot [/mm] k)=1 für alle [mm] k\in\IN, [/mm] ist die zweite Komponente immer konstant 1.
> Also es muss ja dann gelten [mm]|\vec{b_{k}}-\vektor{0 \\ 1}|\to[/mm] 0
> (für k gegen [mm]\infty).[/mm] Aber wie mach ich jetzt weiter?
Jetzt wird [mm] \vektor{0\\1} [/mm] abgezogen. Du musst folglich nur noch zeigen, dass [mm] \|\vec{b_{k}}-\vektor{0 \\ 1}\|=\sqrt{\left(\bruch{1}{k}*cos(\pi k)\right)^2+0^2}=\left|\bruch{1}{k}*cos(\pi k)\right| [/mm] eine Nullfolge ist. Da die Kosinusfunktion beschränkt ist, sollte das kein Problem sein. Es ist sogar [mm] $|\cos(\pi\cdot [/mm] k)|=1$ für [mm] k\in\IN.
[/mm]
> Danke schon mal im Voraus
> Gruß David
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mi 02.03.2011 | | Autor: | David90 |
Ok also 2 Fragen: Wie kommst du auf [mm] 0^2 [/mm] unter der Wurzel? Und kann man das dann so schreiben: [mm] -1\le \bruch{1}{k}*cos(\pi [/mm] k) [mm] \le [/mm] 1 Und [mm] \bruch{1}{k} [/mm] geht gegen 0 und [mm] cos(\pi [/mm] k) gegen 1, also geht [mm] |\bruch{1}{k}*cos(\pi [/mm] k)| gegen 0 richtig?
Gruß David
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Hallo,
> Ok also 2 Fragen: Wie kommst du auf [mm]0^2[/mm] unter der Wurzel?
Na, schreibe dir doch mal aus, was da in der Norm steht:
[mm]||\vec{b}_k-\vektor{0\\
1}||=||\vektor{\frac{1}{k}\cos(\pi k)\\
\underbrace{\cos(2\pi k)}_{=1}}-\vektor{0\\
1}||=||\vektor{\frac{1}{k}\cos(\pi k)-0\\
1-1}||=||\vektor{\frac{1}{k}\cos(\pi k)\\
0}||=\ldots[/mm]
> Und kann man das dann so schreiben: [mm]-1\le \bruch{1}{k}*cos(\pi[/mm] k) [mm]\le[/mm] 1
Eher [mm]-\frac{1}{k} \ \le \ \frac{1}{k}\cos(\pi k) \ \le \ \frac{1}{k}[/mm]
> Und [mm]\bruch{1}{k}[/mm] geht gegen 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und [mm]cos(\pi[/mm] k) gegen 1,
Naja, es ist durch 1 beschränkt, [mm]\cos(\pi k)[/mm] strebt gegen keinen GW für [mm]k\to\infty[/mm]
> also geht [mm]|\bruch{1}{k}*cos(\pi[/mm] k)| gegen 0 richtig?
> Gruß David
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mi 02.03.2011 | | Autor: | David90 |
Naja aber da [mm] \bruch{1}{k} [/mm] gegen 0 geht ist es ja egal, dass [mm] cos(\pi [/mm] k) keinen Grenzwert hat, weil [mm] \bruch{1}{k} [/mm] im Produkt steht, also geht das Ganze gegen 0...kann man doch so als Begründung schreiben denke ich...
Gruß david
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Hallo,
> Naja aber da [mm]\bruch{1}{k}[/mm] gegen 0 geht ist es ja egal, dass
> [mm]cos(\pi[/mm] k) keinen Grenzwert hat, weil [mm]\bruch{1}{k}[/mm] im
> Produkt steht, also geht das Ganze gegen 0
Dazu ist zwingend die Beschränktheit von [mm]\cos[/mm] notwendig.
Nimm mal [mm]\frac{1}{k}\cdot{}k^2[/mm]
Da steht auch [mm]\frac{1}{k}[/mm] drin, das Produkt strebt aber doch nicht gegen 0
> ...kann man doch
> so als Begründung schreiben denke ich...
Die obige Begründung mit der Beschränktheit [mm]-\frac{1}{k}\le\frac{1}{k}\cos(\pi k)\le\frac{1}{k}[/mm] war doch gut.
Warum willst du das vermurksen ?
> Gruß david
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Mi 02.03.2011 | | Autor: | David90 |
Ok dann lass ich die Begründung so:) reicht ja auch:)
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