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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Di 15.03.2011 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob die folgenden Reihen konvergent sind:
[mm] \summe_{n=1}^{n}\bruch{\vektor{2n \\ n}}{(2n-2)!} [/mm] |
Hallo Leute!
Ich habe erstmal eine Mittlstufefrage xD.
Wie kann man (2n-2)! anderes schreiben?
Damit meine ich z.B. (2n+2)! wäre ja einfach 2n! * (2n+1) * (2n+2)
Geht das gleich auch irgendwie mit dem oben stehenden Ausdruck?
Vielen Danke im Voraus!
Ilya
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Hallo Ilya,
> Überprüfen Sie, ob die folgenden Reihen konvergent sind:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{n}\bruch{\vektor{2n \\
n}}{(2n-2)!}[/mm]
> Hallo
> Leute!
>
> Ich habe erstmal eine Mittlstufefrage xD.
>
> Wie kann man (2n-2)! anderes schreiben?
>
> Damit meine ich z.B. (2n+2)! wäre ja einfach 2n! * (2n+1) * (2n+2) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Geht das gleich auch irgendwie mit dem oben stehenden
> Ausdruck?
Ja, das brauchst du aber nicht umzuschreiben.
Du kannst hier ganz gut das Quotientenkriterium verwenden.
Berechne [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm] mit [mm]a_n=\frac{\vektor{2n\\
n}}{(2n-2)!}[/mm]
Schreibe dir den Quotienten [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}[/mm] mal hin.
Benutze für den Binomialkoeffizienten die Darstellung:
[mm]\vektor{n\\
k}=\frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}[/mm]
Dann wird sich vieles wegkürzen lassen.
Die Fakultäten kürzen sich weitgehend raus.
Aber das wirst du dann sehen, wenn der Quotient steht ...
>
> Vielen Danke im Voraus!
>
> Ilya
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Di 15.03.2011 | | Autor: | Random |
Hallo schachuzipus!
Danke für deine Antwort.
Das Quotientenkriterium habe ich schon angewendet und nach einer kurzen Rechung komme ich auf den Quotienten:
[mm] \bruch{2(2n+1)*2n!}{(n+1)*(2n-2)!}
[/mm]
oder
[mm] \bruch{2(2n+1)!}{(n+1)*(2n-2)!}
[/mm]
Da nervt immer noch das (2n-2)! -.-
Vielleicht habe ich auch einen Fehler gemacht.
MfG
Ilya
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Hallo Ilya,
> Das Quotientenkriterium habe ich schon angewendet und nach
> einer kurzen Rechung komme ich auf den Quotienten:
>
> [mm]\bruch{2(2n+1)*2n!}{(n+1)*(2n-2)!}[/mm]
Das stimmt nicht.
Es ist [mm] a_n=\frac{\vektor{2n\\ n}}{(2n-2)!}=\frac{\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}}{(2n-2)!}=\frac{2n(2n-1)}{n!\cdot n!}
[/mm]
Die (2n-2)! im Nenner kürzt sich raus.
Damit ist [mm] \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{2(n+1)(2(n+1)-1)}{(n+1)!\cdot (n+1)!}\frac{n!\cdot n!}{2n(2n-1)}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)\cdot (n+1)}\frac{1}{2n(2n-1)}=\frac{2n+1}{(n+1)n(2n-1)}
[/mm]
[...]
>
> oder
>
> [mm]\bruch{2(2n+1)!}{(n+1)*(2n-2)!}[/mm]
>
> Da nervt immer noch das (2n-2)! -.-
>
> Vielleicht habe ich auch einen Fehler gemacht.
>
> MfG
>
> Ilya
>
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Di 15.03.2011 | | Autor: | Random |
Okay ich verstehe halt imer noch nicht wieso 2n! * (2n-2)! = 2n*(2n-1)
Wie ist das möglich? Wie bist du da vorgegangen ? xD
LG
Ilya
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Hallo!
> Okay ich verstehe halt imer noch nicht wieso 2n! * (2n-2)!
> = 2n*(2n-1)
Du meinst:
[mm] $\frac{(2n)!}{(2n-2)!} [/mm] = [mm] 2n\cdot [/mm] (2n-1)$
Um das zu erhalten, musst du einfach die Fakultäten ausschreiben:
[mm] $\frac{(2n)!}{(2n-2)!} [/mm] = [mm] \frac{(2n)*(2n-1)*(2n-2)*(2n-3)* ... *1}{(2n-2)*(2n-3)*...*1}$
[/mm]
und nun kürzen sich alle Faktoren bis auf $2n*(2n-1)$.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Di 15.03.2011 | | Autor: | Random |
Hmm wieso denn durch ? ich dachte hieraus [mm] a_n=\frac{\vektor{2n\\ n}}{(2n-2)!}=\frac{\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}}{(2n-2)!}=\frac{2n(2n-1)}{n!\cdot n!} [/mm] folgt dass es "mal" ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Di 15.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Bruchrechnen:
[mm] \bruch{\bruch{a}{b}}{c}= \bruch{a}{bc}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Di 15.03.2011 | | Autor: | Random |
Oh sorry hab gedacht es sei ac/b -.-
Naja gut nach der Rechnung ergibt das ja den Bruch
[mm] \frac{2n+1}{(n+1)n(2n-1)}
[/mm]
hab das ausmultiplziert und dann etwas in der Form bekommen: [mm] \bruch{2n...}{2n^3...}
[/mm]
Hab dann einfach nit 1/n erweitert und [mm] 1/n^2 [/mm] rausgezogen somit entsteht da etwas in der Form [mm] 1/n^2 [/mm] * 2/2 kann man dann sagen dass da lim n->unend. [mm] 1/n^2*2/2 [/mm] -> 0 konvergiert das ganze nach dem Quotientenkriterium absolut, da |q|< 1.
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Hallo,
> Naja gut nach der Rechnung ergibt das ja den Bruch
> [mm]\frac{2n+1}{(n+1)n(2n-1)}[/mm]
>
> hab das ausmultiplziert und dann etwas in der Form
> bekommen: [mm]\bruch{2n...}{2n^3...}[/mm]
Ja. Du brauchst das nicht unbedingt auszumultiplizieren. Im Zähler steht ein Polynom vom Grad 1, im Nenner ein Polynom vom Grad 3.
Das geht gegen 0.
> Hab dann einfach nit 1/n erweitert und [mm]1/n^2[/mm] rausgezogen
> somit entsteht da etwas in der Form [mm]1/n^2[/mm] * 2/2 kann man
> dann sagen dass da lim n->unend. [mm]1/n^2*2/2[/mm] -> 0 konvergiert
Ja. Wenn du das aufschreiben solltest, ist natürlich statt "irgendwas in der Form 2/2" der exakte Term hinzuschreiben.
> das ganze nach dem Quotientenkriterium absolut, da |q|< 1.
,
... wobei q = 0 der Grenzwert von [mm] $|a_{n+1} [/mm] / [mm] a_n|$ [/mm] ist.
Viele Grüße,
Stefan
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