Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Do 28.07.2011 | | Autor: | Balsam |
Hallo,
ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:
Bestimmen Sie alle x [mm] \in \IR, [/mm] für die
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}} (-x)^n [/mm] konvergiert.
Wie muss ich da vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Do 28.07.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:
>
> Bestimmen Sie alle x [mm]\in \IR,[/mm] für die
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}} (-x)^n[/mm]
> konvergiert.
>
>
> Wie muss ich da vorgehen?
hast Du schonmal was vom ![[]](/images/popup.gif) Konvergenzradius gehört? Das sollte helfen.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Do 28.07.2011 | | Autor: | Balsam |
Hmm hilft mir folgendes weiter ? :
r [mm] =\bruch{1}{lim sup _(n->\infty)\wurzel[n]{|a_n|}}
[/mm]
wenn ja , wie wende ich das an ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Do 28.07.2011 | | Autor: | notinX |
> Hmm hilft mir folgendes weiter ? :
>
>
> r [mm]=\bruch{1}{lim sup _(n->\infty)\wurzel[n]{|a_n|}}[/mm]
Das hilft auf jeden Fall, aber ich würde eher zu dem hier tendieren:
[mm] $r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg|$
[/mm]
>
> wenn ja , wie wende ich das an ?
Setze die gegebene Folge [mm] $a_n$ [/mm] ein und bestimme den Grenzwert.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Do 28.07.2011 | | Autor: | Balsam |
Macht das einen Unterschied, ob man |a_(n+1) / [mm] a_n [/mm] | rechnet oder | [mm] a_n [/mm] / a_(n+1) |
in meinen Aufzeichnungen habe ich nur ersteres gefunden
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Do 28.07.2011 | | Autor: | notinX |
> Macht das einen Unterschied, ob man |a_(n+1) / [mm]a_n[/mm] |
> rechnet oder | [mm]a_n[/mm] / a_(n+1) |
Hier im Speziellen macht es keinen Unterschied, aber allgemein schon.
>
> in meinen Aufzeichnungen habe ich nur ersteres gefunden
Lies mal genauer, da steht vermutlich sowas wie
[mm] $c=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \bigg| [/mm] $ und [mm] $r=\frac{1}{c}$
[/mm]
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Do 28.07.2011 | | Autor: | Balsam |
Ich habe jetzt mal angefangen, weit bin ich jedoch nicht gekommen:
[mm] lim_(n->\infty) \bruch{\bruch{n+2}{\wurzel{n+1}}}{\bruch{1}{\wurzel{n}}}
[/mm]
= lim_(n-> [mm] \infty) \bruch{n+2}{\wurzel{n+1}} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{n}}{1}
[/mm]
so und weiter komm ich nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Do 28.07.2011 | | Autor: | notinX |
> Ich habe jetzt mal angefangen, weit bin ich jedoch nicht
> gekommen:
>
> [mm]lim_(n->\infty) \bruch{\bruch{n+2}{\wurzel{n+1}}}{\bruch{1}{\wurzel{n}}}[/mm]
Wie kommst Du darauf? Ich kann das nicht nachvollziehen.
>
> = lim_(n-> [mm]\infty) \bruch{n+2}{\wurzel{n+1}}[/mm] *
> [mm]\bruch{\wurzel{n}}{1}[/mm]
>
> so und weiter komm ich nicht.
Die Regel gilt für Potenzreihen der Form:
[mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$
[/mm]
Bei diesem Beispiel geht es aber um [mm] $(-x)^n$ [/mm] ; Du musst also erstmal entsprechend umformen.
Wie lautet dann die korrekte Folge [mm] $a_n$?
[/mm]
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Do 28.07.2011 | | Autor: | Balsam |
Jetzt aber:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-x)^n [/mm]
[mm] a_n:= [/mm] 1 / [mm] \wurzel{n}
[/mm]
[mm] lim_(n->\infty) \wurzel{n} [/mm] / [mm] \wurzel{n+1} [/mm] = 1 /1 =1
somit ist r=1
stimmt das so ? ..
wie bestimme ich aber die Werte für die, diese Reihe konvergiert ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 Fr 29.07.2011 | | Autor: | notinX |
> Jetzt aber:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-x)^n[/mm]
was soll das sein? Wolltest Du nicht den Konvergenzradius dieser Reihe
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}} (-x)^n [/mm] $
bestimmen?
>
> [mm]a_n:=[/mm] 1 / [mm]\wurzel{n}[/mm]
Nein. Ich habe Dir doch den Hinweis gegeben, dass Du obige Potenzreihe erstmal auf diese Form
[mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$
[/mm]
bringen musst. Dort steht ein '+' vor dem x, in der Reihe die Du berechnen willst steht ein '-' vor dem x. Durch eine Umformung musst Du diese Ungleichheit beheben.
>
> [mm]lim_(n->\infty) \wurzel{n}[/mm] / [mm]\wurzel{n+1}[/mm] = 1 /1 =1
Hier fehlen Betragsstriche.
>
> somit ist r=1
>
> stimmt das so ? ..
Das Ergebnis stimmt, die Rechnung nicht.
>
> wie bestimme ich aber die Werte für die, diese Reihe
> konvergiert ?
Der erste Satz in dem von mir verlinkten Artikel lautet:
"Als Konvergenzradius einer Potenzreihe (...) ist die größte Zahl r definiert, für welche die Potenzreihe für alle x mit [mm] $|x-x_0|
In Deinem Skript wirst Du vermutlich eine ähnliche Formulierung finden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Fr 29.07.2011 | | Autor: | Balsam |
Kann ich einfach mit -1 multiplizieren ..
Ich bin etwas überfordert.. ich habe ein Beispiel von der Übung hier liegen und mache das eigentlich auch danach, nur hatten wir da nie ein [mm] (-x)^n [/mm] .. sondern schon immer ein [mm] (x+3)^n [/mm] und da haben wir nix weiter dran geändert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Fr 29.07.2011 | | Autor: | notinX |
> Kann ich einfach mit -1 multiplizieren ..
>
> Ich bin etwas überfordert.. ich habe ein Beispiel von der
> Übung hier liegen und mache das eigentlich auch danach,
> nur hatten wir da nie ein [mm](-x)^n[/mm] .. sondern schon immer ein
> [mm](x+3)^n[/mm] und da haben wir nix weiter dran geändert.
Daran braucht man ja auch nichts zu ändern, da es schon in der gewünschten Form ist.
Schau mal:
[mm] $(-x)^n=(-1\cdot x)^n=(-1)^nx^n$
[/mm]
Kannst Du damit was anfangen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 Fr 29.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
Da wär ich nie drauf gekommen -.-
Jedoch addieren sich die Exponenten bei einer Multiplikation doch, so dass man auf ^2n kommen würde, oder nicht ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 Fr 29.07.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Da wär ich nie drauf gekommen -.-
> Jedoch addieren sich die Exponenten bei einer
> Multiplikation doch, so dass man auf ^2n kommen würde,
> oder nicht ?
nein, das wäre nur bei gleicher Basis der Fall: [mm] $a^n*a^m=a^{m+n}$. [/mm] Bei unterschiedlichen Basen und gleichem Exponent gilt: [mm] $a^n\cdot b^n=(ab)^n$ [/mm]
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:43 Fr 29.07.2011 | | Autor: | Balsam |
Gut, wir haben das in der Übung dann immer so gemacht, dass wir das aufgeteilt haben:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n (-1)^n [/mm] * [mm] x^n
[/mm]
[mm] a_n:= [/mm] 1 / [mm] \wurzel{n}
[/mm]
lim von [mm] a_n [/mm] betrachten und r=1 folgt, der rechenweg in meinem vorherigen post.
Jetzt sagst du aber, dass das falsch ist :/
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:12 Fr 29.07.2011 | | Autor: | Balsam |
okay demnach konvergiert meine reihe dann auch gegen 1, stimmtS?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Fr 29.07.2011 | | Autor: | notinX |
> okay demnach konvergiert meine reihe dann auch gegen 1,
> stimmtS?
Nein. Der Konvergenzradius ist 1.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:20 Fr 29.07.2011 | | Autor: | Balsam |
Das ist mir ja klar.
Aber wogegen konvergiert sie ?
[mm] |x-x_0| [/mm] < r
[mm] x_0 [/mm] ist ja in diesem Fall 0 , und x dann auch oder wie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Fr 29.07.2011 | | Autor: | notinX |
> Das ist mir ja klar.
Mach Dir das wirklich klar. Es ist ein großer Unterschied ob die Reihe gegen 1 konvergiert oder ob sie den Konvergenzradius 1 hat.
> Aber wogegen konvergiert sie ?
Das ist doch gar nicht gefragt und das kann man auch nicht allgemein beantworten. Für jedes [mm] $x\in\{x:\,|x|<1\}$ [/mm] kann sie gegen einen anderen Wert konvergieren.
>
> [mm]|x-x_0|[/mm] < r
>
> [mm]x_0[/mm] ist ja in diesem Fall 0 , und x dann auch oder wie
Nein, x ist zunächst beliebig und mit dem Konvergenzradius bestimmst Du alle x für die die Reihe konvergiert.
Gruß,
notinX
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Hallo [mm]\not\in X[/mm]
> Nein, x ist zunächst beliebig und mit dem Konvergenzradius
> bestimmst Du alle x für die die Reihe konvergiert.
Das stimmt nicht ganz.
Man hat "nur" sicher Konvergenz für [mm]|x|<1[/mm] und Divergenz für [mm]|x|>1[/mm]
Wie es an den Ränden [mm]|x|=1[/mm], also für [mm]x=\pm 1[/mm] aussieht, ist unklar, das muss man noch untersuchen.
>
> Gruß,
>
> notinX
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:51 Fr 29.07.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo schachuzipus,
> Hallo [mm]\not\in X[/mm]
>
>
> > Nein, x ist zunächst beliebig und mit dem Konvergenzradius
> > bestimmst Du alle x für die die Reihe konvergiert.
>
>
> Das stimmt nicht ganz.
>
> Man hat "nur" sicher Konvergenz für [mm]|x|<1[/mm] und Divergenz
> für [mm]|x|>1[/mm]
na ja, war vielleicht eine schwammige Formulierung, aber ich habe ja im Prinzip nichts anderes behauptet, siehe:
"Das ist doch gar nicht gefragt und das kann man auch nicht allgemein beantworten. Für jedes $ [mm] x\in\{x:\,|x|<1\} [/mm] $ kann sie gegen einen anderen Wert konvergieren. "
und
"Der erste Satz in dem von mir verlinkten Artikel lautet:
"Als Konvergenzradius einer Potenzreihe (...) ist die größte Zahl r definiert, für welche die Potenzreihe für alle x mit $ [mm] |x-x_0|
>
> Wie es an den Ränden [mm]|x|=1[/mm], also für [mm]x=\pm 1[/mm] aussieht,
> ist unklar, das muss man noch untersuchen.
>
Ja, das sollte man noch extra erwähnen.
>
>
> >
> > Gruß,
> >
> > notinX
>
> LG
>
> schachuzipus
>
Gruß,
notinX
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
> > Hallo [mm]\not\in X[/mm]
> >
> >
> > > Nein, x ist zunächst beliebig und mit dem Konvergenzradius
> > > bestimmst Du alle x für die die Reihe konvergiert.
> >
> >
> > Das stimmt nicht ganz.
> >
> > Man hat "nur" sicher Konvergenz für [mm]|x|<1[/mm] und Divergenz
> > für [mm]|x|>1[/mm]
>
> na ja, war vielleicht eine schwammige Formulierung, aber
> ich habe ja im Prinzip nichts anderes behauptet, siehe:
>
> "Das ist doch gar nicht gefragt und das kann man auch nicht
> allgemein beantworten. Für jedes [mm]x\in\{x:\,|x|<1\}[/mm] kann
> sie gegen einen anderen Wert konvergieren. "
Ja, darum ging ja nicht 
Du schreibst: Mit dem K-radius bestimmsdt du alle x, dür die die Reihe konvergiert ...
>
> und
>
> "Der erste Satz in dem von mir verlinkten Artikel lautet:
> "Als Konvergenzradius einer Potenzreihe (...) ist die
> größte Zahl r definiert, für welche die Potenzreihe für
> alle x mit [mm]|x-x_0|
Der letzte Zusatz fehlte
>
> >
> > Wie es an den Ränden [mm]|x|=1[/mm], also für [mm]x=\pm 1[/mm] aussieht,
> > ist unklar, das muss man noch untersuchen.
> >
>
> Ja, das sollte man noch extra erwähnen.
Ja, damit beim OP nicht der Eindruck entsteht, dass schon alle x gefunden sind ;-=
>
> >
> >
> > >
> > > Gruß,
> > >
> > > notinX
> >
> > LG
> >
> > schachuzipus
> >
>
> Gruß,
>
> notinX
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