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Konvergenz: Auf Konvergenz prüfen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:33 Mi 28.12.2011
Autor: PeterSteiner

Aufgabe
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} (\bruch{n^2+1}{2n^2-2})^n [/mm]

Ich dachte hierbei beitet sich das Wurzelkriterium an:

[mm] n-te\wurzel{(\bruch{n^2+1}{2n^2-2})^n} =\bruch{n^2+1}{2n^2-2} [/mm]

[mm] n^2 [/mm] ausklammern:
[mm] \bruch{1+1/n}{2-2/n} [/mm]


So und hier hängst wenn ich wie gewohnt vor gehe bleibt mir nur noch 1/2 über und das ist kleiner als 1 und somit Konvergiert die die Folge ist das richtig?

        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Mi 28.12.2011
Autor: schachuzipus

Hallo,


> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} (\bruch{n^2+1}{2n^2-2})^n[/mm]
>  Ich dachte
> hierbei beitet sich das Wurzelkriterium an:

Gute Idee!

>  
> [mm]n-te\wurzel{(\bruch{n^2+1}{2n^2-2})^n} =\bruch{n^2+1}{2n^2-2}[/mm]
>  
> [mm]n^2[/mm] ausklammern:
>  [mm]\bruch{1+1/n}{2-2/n}[/mm]

kleiner Schönheitsfehler, richtig: [mm]\frac{1+1/n^{\red{2}}}{2-2/n^{\red{2}}}[/mm]

>  
>
> So und hier hängst wenn ich wie gewohnt vor gehe bleibt
> mir nur noch 1/2 über [ok] und das ist kleiner als 1 [ok] und somit
> Konvergiert die die Folge

Welche Folge genau?

Es konvergiert die Reihe [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \left(\bruch{n^2+1}{2n^2-2}\right)^n[/mm] - und das sogar absolut!

> ist das richtig?

Jo!

Gruß

schachuzipus




Bezug
                
Bezug
Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 Mi 28.12.2011
Autor: PeterSteiner

Hey, danke dir, wann kann ich den immer sagen, dass eine Reihe absolout Konvergiert, wenn das für jedes Folgenglied zutrifft?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Mi 28.12.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,



> Hey, danke dir, wann kann ich den immer sagen, dass eine
> Reihe absolout Konvergiert, wenn das für jedes Folgenglied
> zutrifft?

Wenn was zutrifft?

Eine Reihe [mm]\sum\limits_na_n[/mm] heißt absolut konvergent, wenn die Reihe der Beträge, also [mm]\sum\limits_n\red{|}a_n\red{|}[/mm] konvergent ist.

Nicht mehr und nicht weniger ...

Gruß

schachuzipus


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