Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 Sa 21.04.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] (x) [mm] =1-x^n
[/mm]
[mm] x\in [/mm] [0,1]
Konvergiert für x=1 nach 1 und für [mm] x\in [/mm] [0,1) nach 0 punktweise
Was ist mit der Gleichmäßigen konvergenz? |
[mm] lim_{n->\infty} sup_{x\in[0,1]} |1-x^n| [/mm] = [mm] |1-0^n|=1
[/mm]
Was sagt mir das Resultat nun? Für x=1 konvergiert die Funktionenfolge gleichmäßig, da hier punktweise und gleichmäßige Grenzfunktion übereinstimmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Sa 21.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Funktionenfolge [mm]f_n (x) =1-x^n[/mm]
> [mm]x\in [0,1][/mm]
> Konvergiert für x=1 nach 1 und für [mm]x\in [0,1)[/mm] nach 0 punktweise
Umgekehrt: für x=1 gegen 0, sonst gegen 1.
> Was ist mit der Gleichmäßigen konvergenz?
Tipp: Die Grenzfunktion ist auf $[0,1]$ nicht stetig.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Sa 21.04.2012 | | Autor: | sissile |
Ah, Satz aus SKriptum: Falls die stetigen Funktionen [mm] f_n [/mm] punktweise gegen eine Funktion f streben und f aber unstetig ist, so kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein.
Oder=?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo sissile,
> Funktionenfolge $ [mm] f_n [/mm] $ (x) $ [mm] =1-x^n [/mm] $
> $ [mm] x\in [/mm] $ [0,1]
> Konvergiert für x=1 nach 1 und für $ [mm] x\in [/mm] $ [0,1) nach 0 punktweise
> Was ist mit der Gleichmäßigen konvergenz?
was schreibst Du da?
Hier gilt [mm] $f_n(x) \to [/mm] 1$ für $x [mm] \in [/mm] [0,1)$ und [mm] $f_n(1)=0 \to 0\,.$ [/mm] Also ist die pktw. Grenzfunktion $f:[0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] gegeben durch $f(x):=1$ für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1)$ und [mm] $f(1):=0\,.$
[/mm]
Wäre [mm] $(f_n)_n$ [/mm] auch glm. konvergent, so müßte die pktw. Grenzfunktion auch die glm. Grenzfunktion sein (das ist immer so, in etwa metrischen Räumen jedenfalls) - ich finde es wertvoll, sich das mal klarzumachen (also zu beweisen). In den Vorlesungen wird das meist einfach als selbstverständlich abgetan - es ist halt nicht schwer, aber rein trivial nun auch wieder nicht.
Nach dem Satz, den Du genannt hast, müßte also, weil alle [mm] $f_n\,$ [/mm] offenbar stetig sind, dann auch [mm] $f\,$ [/mm] stetig sein. Aber an der Stelle [mm] $x=1\,$ [/mm] ist [mm] $f\,$ [/mm] unstetig. Fazit:
[mm] $f_n \to [/mm] f$ gilt nur im pktw. und NICHT im glm. Sinne!
P.S.
Die Gleichung
[mm] $$\lim_{n\to \infty} \sup_{x\in[0,1]} |1-x^n| [/mm] = [mm] |1-0^n|=1$$
[/mm]
macht so nicht wirklich Sinn (vor allem "der Teil mit dem [mm] $1-0^n$" [/mm] macht so keinen! - zumal [mm] $f(0)=1\,$ [/mm] und [mm] $f_n(0)=1$ [/mm] stets wäre). Um zu gucken, ob [mm] $\|f_n-f\|_\infty \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] gilt, musst Du etwa
[mm] $$\text{sup}\{|f_n(x)-f(x)|: x \in [0,1]\}=\text{sup}(\{|f_n(x)-f(x)|: x \in [0,1)\} \cup \{|f_n(1)-f(1)|\})$$
[/mm]
für (jedes) $n [mm] \in \IN$ [/mm] betrachten und damit wegen [mm] $f_n(1)=0=f(1)$ [/mm] und [mm] $f_n(x)-f(x)=1-x^n-1=x^n$ [/mm] für $0 [mm] \le [/mm] x < 1$ eigentlich nur noch
[mm] $$\lim_{n\to \infty} \sup_{x\in[0,1)} |x^n|=\lim_{n\to \infty} \sup_{x\in[0,1)}x^n$$
[/mm]
betrachten.
Dieser Grenzwert ist [mm] $1\,.$ [/mm] (Das ist allerdings keine Trivialität, dies zu begründen. Man kann etwa zeigen: Zu jedem $0 < [mm] \epsilon [/mm] < [mm] 1\,,$ [/mm] und zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] findet man ein (gemeinsames) [mm] $x_0 \in [/mm] [0,1]$ (also $ [mm] x_0=x_0(n,\epsilon)$) [/mm] so, dass [mm] $(x_0)^n \ge 1-\epsilon$).
[/mm]
Ein Tipp dazu:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
Die (von [mm] $n\,$ [/mm] abhängige) Funktion $x [mm] \mapsto x^n$ [/mm] als Funktion $[0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] wächst streng und (das ganze nicht mathematisch perfekt ausgedrückt) "sie strebt zudem stetig auf die [mm] $1\,$ [/mm] zu bei $0< x [mm] \to [/mm] 1$").
P.S.:
Dass $0 [mm] \le x^n \le [/mm] 1$ für jedes $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ und jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, sollte man natürlich auch beachten (um nicht nur [mm] $\limsup [/mm] ... [mm] \ge [/mm] 1$ zu erkennen, was aber auch reichen würde)!
Fazit übrigens auch:
Deine [mm] $f_n\,$ [/mm] oben streben auch nicht auf $[0,1)$ gleichmäßig gegen [mm] $0\,.$
[/mm]
(Es gibt auch einen Satz, der sowas besagt, wo man im Prinzip dann "die fortgesetzte Funktion(en)" betrachtet (an einer oder zwei Stellen fortgesetzt - etwa Intervallenden; vll. gibt's die Aussage auch noch ein wenig allgemeiner). Die genaue Formulierung müßte ich jetzt raussuchen. Aber vielleicht taucht das ja irgendwann mal bei Dir/Euch auf...)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 So 22.04.2012 | | Autor: | sissile |
$ [mm] \lim_{n\to \infty} \sup_{x\in[0,1)} |x^n|=\lim_{n\to \infty} \sup_{x\in[0,1)}x^n [/mm] $ =1
was sagt mir dass dann wenn der Grenzwert 1 ist? Warum sagt mir dass, das $ [mm] f_n\, [/mm] $ nicht auf $ [0,1) $ gleichmäßig gegen f konvergiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 So 22.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo sissile
vielleicht wird es leichter, wenn du die Def. von glm Konvergenz mal aufschreibst?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 So 22.04.2012 | | Autor: | sissile |
ja klar, war schon zu spät.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 So 22.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> [mm]\lim_{n\to \infty} \sup_{x\in[0,1)} |x^n|=\lim_{n\to \infty} \sup_{x\in[0,1)}x^n[/mm]
> =1
>
> was sagt mir dass dann wenn der Grenzwert 1 ist? Warum sagt
> mir dass, das [mm]f_n\,[/mm] nicht auf [mm][0,1)[/mm] gleichmäßig gegen
> f konvergiert?
nur, damit die Frage nicht einfach so unbeantwortet im Forum stehen bleibt:
Man kann leicht zeigen:
Es gilt [mm] $f_n \to [/mm] f$ im gleichmäßigen Sinne genau dann, wenn [mm] $\|f_n-f\|_\infty \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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