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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Do 13.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich wollte jetzt mal eine "Übersicht" zu den unterschiedlichen Konvergenzbegriffen erstellen. Könnte mal jemand gucken, ob das so richtig ist, bitte?
Also, es gibt Folgen, Reihen, und Funktionenfolgen, die konvergent sein können. Dabei ist eine Folge [mm] a_n [/mm] konvergent gegen a (laut Definition), wenn [mm] $\forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists N\in\IN$, [/mm] so dass [mm] $|a_n-a|<\varepsilon \forall n\ge [/mm] N$. Für komplexe Folgen [mm] $c_n$ [/mm] ist die Konvergenz genau entsprechend definiert. (das stimmt doch, oder?)
Nun gilt für eine komplexe Reihe:
Eine Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_n [/mm] komplexer Zahlen heißt konvergent, wenn die Folge der Partialsummen [mm] s_n:=\summe_{k=0}^nc_n, n\in\IN, [/mm] konvergiert.
Ist das bei einer reellen Reihe genauso definiert? Irgendwie kenne ich nur den Satz, dass eine Reihe konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen beschränkt ist, aber das ist ja nicht die Definition.
Und zuletzt die Funktionenfolgen - da gibt es punktweise und gleichmäßige Konvergenz:
Eine Folge von Funktionen konvergiert punktweise gegen eine Funktion f, falls [mm] $\forall [/mm] x [mm] \forall \varepsilon \exists [/mm] N$ so dass [mm] $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon \forall n\ge [/mm] N$.
Sie konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion f, falls [mm] $\forall \varepsilon \exists [/mm] N so dass [mm] |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon \forall [/mm] x [mm] \forall n\ge [/mm] N$.
Und nun ist mir aufgefallen, dass die Definition der punktweisen Konvergenz der Definition der Stetigkeit ähnelt und die Definition der gleichmäßigen Konvergenz der der gleichmäßigen Stetigkeit. Wo ist denn da dann eigentlich noch der Unterschied, außer natürlich, dass es einmal um Funktionenfolgen geht und das andere Mal um Funktionen?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Do 13.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Für komplexe
> Folgen [mm]c_n[/mm] ist die Konvergenz genau entsprechend definiert.
> (das stimmt doch, oder?)
Natürlich!
[...]
> Ist das bei einer reellen Reihe genauso definiert?
Ja.
> Und nun ist mir aufgefallen, dass die Definition der
> punktweisen Konvergenz der Definition der Stetigkeit ähnelt
> und die Definition der gleichmäßigen Konvergenz der der
> gleichmäßigen Stetigkeit. Wo ist denn da dann eigentlich
> noch der Unterschied, außer natürlich, dass es einmal um
> Funktionenfolgen geht und das andere Mal um Funktionen?
Worauf willst du hinaus? Man kanna uch sagen glm. Konvergenz ähnele der Konvergenz von Folgen, da man ja beides als Konvergenz von Elementen eines VR bzgl. einer Norm betrachten kann. Die Konzepte sind aber schon sehr ähnlich - gleichmäßig scheint schönere Eigenschaften zu implizieren als punktweise. Punktweise ist dann immer von einem Punkt abhängig, bei gleichmäßig ist diese Abhängigkeit weg. Das würde mir noch einfallen - aber: wozu brauchst du das denn überhaupt? Vielleicht eifnach mal Funktionalanalysis höhren 
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Do 13.10.2005 | | Autor: | taura |
Hi Bastiane!
Haben wir denn noch nicht gelernt, dass man Fragen immer als Fragen stellen soll?
> Naja, worauf ich hinaus will, weiß ich selber nicht so
> genau. Ich werfe die Begriffe nur irgendwie öfter mal
> durcheinander. Kann man denn sowohl die Stetigkeit (mit dem
> [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium) als auch die gleichmäßige
> Konvergenz mit diesem [mm]\varepsilon[/mm]-Schlauch
> veranschaulichen? Oder war es nur die gleichmäßige
> Stetigkeit? Oje, jetzt bring ich das schon wieder
> durcheinander...
Also, die gleichmäßige Konvergenz ist das mit dem [mm]\epsilon[/mm]-Schlauch, sprich: wenn du einen [mm]\epsilon[/mm]-Schlauch um die Grenzfunktion legst, liegen ab einem bestimmten N alle Funktionen deiner Funktionenfolge in diesem Schlauch. Das schöne an der gleichmäßigen Konvergenz ist dass die Grenzfunktion immer stetig ist, wenn die Funktionen der Funktionenfolge auch stetig sind (kannst du bei punktweiser Konvergenz nicht folgern, Beispiel [mm]x^n[/mm] auf [mm][0;1][/mm])
Bei der Stetigkeit hast du eher so eine Art Rechtecke die du um deine Funktion legst und die immer kleiner werden, wobei die sich auf einzelne Punkte beziehen. Die Höhe der Rechtecke ist dabei das [mm]\epsilon[/mm] und die Breite das [mm]\delta[/mm].
Hilft das?
Gruß Biggi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Do 13.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Biggi!
> Haben wir denn noch nicht gelernt, dass man Fragen immer
> als Fragen stellen soll?
Ja, du hast Recht. Nur anfangs hatte ich noch gar nicht vor, eine Frage zu stellen... Und irgendwie habe ich dann aus der Mitteilung vergessen, eine Frage zu machen...
> Also, die gleichmäßige Konvergenz ist das mit dem
> [mm]\epsilon[/mm]-Schlauch, sprich: wenn du einen [mm]\epsilon[/mm]-Schlauch
> um die Grenzfunktion legst, liegen ab einem bestimmten N
> alle Funktionen deiner Funktionenfolge in diesem Schlauch.
> Das schöne an der gleichmäßigen Konvergenz ist dass die
> Grenzfunktion immer stetig ist, wenn die Funktionen der
> Funktionenfolge auch stetig sind (kannst du bei punktweiser
> Konvergenz nicht folgern, Beispiel [mm]x^n[/mm] auf [mm][0;1][/mm])
Ja, das weiß ich. 
> Bei der Stetigkeit hast du eher so eine Art Rechtecke die
> du um deine Funktion legst und die immer kleiner werden,
> wobei die sich auf einzelne Punkte beziehen. Die Höhe der
> Rechtecke ist dabei das [mm]\epsilon[/mm] und die Breite das
> [mm]\delta[/mm].
Aber bei der gleichmäßigen Stetigkeit hätte ich doch dann auch ein [mm] \varepsilon, [/mm] sodass alle Punkte in diesem [mm] \varepsilon-Schlauch [/mm] liegen, oder nicht? Weil es ja da eben ein [mm] \varepsilon [/mm] gibt, so dass das für alle x gilt.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Do 13.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Bastiane!
> > Haben wir denn noch nicht gelernt, dass man Fragen immer
> > als Fragen stellen soll?
>
> Ja, du hast Recht. Nur anfangs hatte ich noch gar nicht
> vor, eine Frage zu stellen... Und irgendwie habe ich dann
> aus der Mitteilung vergessen, eine Frage zu machen...
Is ja nich so schlimm, hab sie ja trotzdem entdeckt
> > Also, die gleichmäßige Konvergenz ist das mit dem
> > [mm]\epsilon[/mm]-Schlauch, sprich: wenn du einen [mm]\epsilon[/mm]-Schlauch
> > um die Grenzfunktion legst, liegen ab einem bestimmten N
> > alle Funktionen deiner Funktionenfolge in diesem Schlauch.
> > Das schöne an der gleichmäßigen Konvergenz ist dass die
> > Grenzfunktion immer stetig ist, wenn die Funktionen der
> > Funktionenfolge auch stetig sind (kannst du bei punktweiser
> > Konvergenz nicht folgern, Beispiel [mm]x^n[/mm] auf [mm][0;1][/mm])
>
> Ja, das weiß ich.
>
> > Bei der Stetigkeit hast du eher so eine Art Rechtecke die
> > du um deine Funktion legst und die immer kleiner werden,
> > wobei die sich auf einzelne Punkte beziehen. Die Höhe der
> > Rechtecke ist dabei das [mm]\epsilon[/mm] und die Breite das
> > [mm]\delta[/mm].
>
> Aber bei der gleichmäßigen Stetigkeit hätte ich doch dann
> auch ein [mm]\varepsilon,[/mm] sodass alle Punkte in diesem
> [mm]\varepsilon-Schlauch[/mm] liegen, oder nicht? Weil es ja da eben
> ein [mm]\varepsilon[/mm] gibt, so dass das für alle x gilt.
Naja nicht ganz, du hast eher lauter gleichgroße Rechtecke. Bei der punktweisen Stetigkeit (sagt man das? weiß ich grad garnicht, aber ich denke du weißt was ich meine ) kann die Breite der Rechtecke je nach Punkt variieren, bei der gleichmäßigen Stetigkeit muss die Breite für jeden Punkt gleich sein. Das liegt daran, dass bei der normalen Stetigkeit das [mm]\delta[/mm] nur für eine bestimmte Stelle gilt, bei der gleichmäßigen Stetigkeit hängt es aber nicht mehr von der Stelle ab, sondern überall auf dem Definitionsbereich soll die Aussage für das gleiche [mm]\delta[/mm] gelten.
Gruß Biggi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Do 13.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Also, es gibt Folgen, Reihen, und Funktionenfolgen, die
> konvergent sein können.
Und Funktionenreihen natürlich, um im Bild zu bleiben...
> Nun gilt für eine komplexe Reihe:
>
> Eine Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}c_n[/mm] komplexer Zahlen heißt
> konvergent, wenn die Folge der Partialsummen
> [mm]s_n:=\summe_{k=0}^nc_n, n\in\IN,[/mm] konvergiert.
>
> Ist das bei einer reellen Reihe genauso definiert?
> Irgendwie kenne ich nur den Satz, dass eine Reihe
> konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen beschränkt
> ist, aber das ist ja nicht die Definition.
Wer hat dir das denn erzählt?
Betrachte mal die Reihe [mm] $\sum\limits_{n =0}^{\infty} (-1)^n$.
[/mm]
Dann ist die Folge der Partialsummen auch beschränkt, aber die Reihe konvergiert keineswegs...
Vermutlich meintest du eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern, oder?
Den Rest der Fragen wird jetzt wohl Biggi erledigen...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Do 13.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> > Also, es gibt Folgen, Reihen, und Funktionenfolgen, die
> > konvergent sein können.
>
> Und Funktionenreihen natürlich, um im Bild zu bleiben...
>
Oh ja, ich glaub', dazu hab ich morgen auch noch eine Frage...
> > Nun gilt für eine komplexe Reihe:
> >
> > Eine Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}c_n[/mm] komplexer Zahlen heißt
> > konvergent, wenn die Folge der Partialsummen
> > [mm]s_n:=\summe_{k=0}^nc_n, n\in\IN,[/mm] konvergiert.
> >
> > Ist das bei einer reellen Reihe genauso definiert?
> > Irgendwie kenne ich nur den Satz, dass eine Reihe
> > konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen beschränkt
> > ist, aber das ist ja nicht die Definition.
>
> Wer hat dir das denn erzählt?
>
> Betrachte mal die Reihe [mm]\sum\limits_{n =0}^{\infty} (-1)^n[/mm].
>
> Dann ist die Folge der Partialsummen auch beschränkt, aber
> die Reihe konvergiert keineswegs...
Jetzt hast du mich aber ins Grübeln gebracht, ich habe nämlich nicht direkt deine ganze Antwort gelesen.
> Vermutlich meintest du eine Reihe mit nichtnegativen
> Gliedern, oder?
Ja, in der Tat steht da im Buch, dass [mm] $a_n\ge [/mm] 0$, was hier ja nicht der Fall ist. Das werde ich mir jetzt wahrscheinlich erstmal wieder merken (ich wusste das auch schon mal...).
Viele Grüße
Christiane
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