Konvergenz + Wert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Man bestätige, dass die Reihe konvergiert, und berechne den Wert der Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{oo} \bruch{(\wurzel{2})^k}{3^k}
[/mm]
b) Man bestimme für die Potenzreihe
[mm] \summe_{k=1}^{oo} \bruch{k^k}{3^k*k!}*(x-1)^k
[/mm]
das (offene) Konvergenzintervall mittels Quatientenkriterium, und entscheide, ob die Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{oo} \bruch{k^k}{3^k*k!}
[/mm]
konvergent oder divergent ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zu a) b) c) ... wie stelle ich das an?
Brauche ich für alle Aufgaben Konvergenzkriterien?
Und was bedeutet Wert einer Reihe?
Bzw woran erkenne, wie die jeweilige Aufgabe zu lösen ist?
MfG W++
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Hallo WU,
> a) Man bestätige, dass die Reihe konvergiert, und berechne
> den Wert der Reihe
>
> [mm]\summe_{k=0}^{oo} \bruch{(\wurzel{2})^k}{3^k}[/mm]
>
> b) Man bestimme für die Potenzreihe
>
> [mm]\summe_{k=1}^{oo} \bruch{k^k}{3^k*k!}*(x-1)^k[/mm]
>
> das (offene) Konvergenzintervall mittels
> Quatientenkriterium, und entscheide, ob die Reihe
>
> [mm]\summe_{k=1}^{oo} \bruch{k^k}{3^k*k!}[/mm]
>
> konvergent oder divergent ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Zu a) b) c) ... wie stelle ich das an?
>
> Brauche ich für alle Aufgaben Konvergenzkriterien?
Zumindest bei [mm]b), c)[/mm]
Bei a) solltest du dich an die geometrische Reihe [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k[/mm] erinnern und daran, für welche [mm]q[/mm] sie wogegen konvergiert ...
Ein Blick ins Skript oder die Vorlesungsmitschrift kann hilfreich sein.
Damit ist a) schnellstens erledigt!
> Und was bedeutet Wert einer Reihe?
Es ist [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k=\lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{k=0}^{n}a_k}_{=:S_n}[/mm]
Der Reihenwert ist der Grenzwert der Partialsummenfolge [mm] $(S_n)_{n\in\IN}$.
[/mm]
Untersuche mit dem oben Gesagten, ob die Reihe in a) konvergiert - mit der Formel (die du nachschlagen sollst) kannst du den Reihenwert berechnen
>
> Bzw woran erkenne, wie die jeweilige Aufgabe zu lösen
> ist?
Das steht doch so nett dabei.
Wende bei b) das QK an, um den Konvergenzradius zu bestimmen
Bei c) nimm ein Kriterium deiner Wahl: (ich würde das QK nehmen)
>
> MfG W++
Gruß
schachuzipus
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OK, kein Problem:
a) geometrische Reihen konvergieren für ao=1 oder |q|<1
a0=1, Reihe konvergiert
b) also QK, dh. [mm] \bruch{an}{an+1}
[/mm]
n=k...
[mm] \bruch{\bruch{k^k}{3k*k!}*(x-1)^k}{\bruch{(k+1)^{k+1}*(x-1)^{k+1}}{3(k+1)*(k+1)!}}
[/mm]
[mm] \bruch{k^k}{3k*k!}*(x-1)^k\bruch{3(k+1)*(k+1)!}{(k+1)^{k+1}*(x-1)^{k+1}}
[/mm]
[mm] \bruch{k^k}{k*k!}*x^k-1^k\bruch{(k+1)*(k+1)!}{(k+1)^{k}*(k+1)^{1}*(x-1)^{k}*(x-1)^{1}}
[/mm]
[mm] \bruch{k^k}{k*k!}*x^k-1^k\bruch{1!}{1^{k}*(x-1)^{k}*(x-1)^{1}}
[/mm]
Und weiter kürzen bis ich etwas feststelle? Ist das der richtige Holzweg?
...
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Hallo nochmal,
> OK, kein Problem:
>
> a) geometrische Reihen konvergieren für ao=1 oder |q|<1
> a0=1, Reihe konvergiert
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Was ist hier denn $q$?
Hier ist $|q|<1$, also konvergiert die Reihe.
Gegen welchen Wert?
>
>
> b) also QK, dh. [mm]\bruch{an}{an+1}[/mm]
> n=k...
>
> [mm]\bruch{\bruch{k^k}{3k*k!}*(x-1)^k}{\bruch{(k+1)^{k+1}*(x-1)^{k+1}}{3(k+1)*(k+1)!}}[/mm]
Betragstriche??
Exponenten??
>
> [mm]\bruch{k^k}{3k*k!}*(x-1)^k\bruch{3(k+1)*(k+1)!}{(k+1)^{k+1}*(x-1)^{k+1}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{k^k}{k*k!}*x^k-1^k\bruch{(k+1)*(k+1)!}{(k+1)^{k}*(k+1)^{1}*(x-1)^{k}*(x-1)^{1}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{k^k}{k*k!}*x^k-1^k\bruch{1!}{1^{k}*(x-1)^{k}*(x-1)^{1}}[/mm]
>
> Und weiter kürzen bis ich etwas feststelle? Ist das der
> richtige Holzweg?
Das kann kein Mensch entziffern, du schreibst Indizes, Exponenten schön auf einer Höhe nebeneinander ...
Bessere das aus!
Exponenten mache mit dem Dach und schließe sie in geschweifte Klammern ein, also [mm] $(x-1)^{k+1}$ [/mm] <-- (x-1)^{k+1}
Ebenso Indizes, nur mit dem Unterstrich!
Gruß
schachuzipus
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?
Also Betragsstriche fehlen wirklich, aber das mit den Exponenten und Indizes verstehe ich jetzt nicht.
Bei mir ist Alles, was auf den Strich gehört groß, und die hoch k oder hoch k+1 stehen klein oben an den Klammern.
Oder sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht ? :-(
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Hallo Weltuntergang,
>
> b) also QK, dh. [mm]\bruch{an}{an+1}[/mm]
> n=k...
>
> [mm]\bruch{\bruch{k^k}{3k*k!}*(x-1)^k}{\bruch{(k+1)^{k+1}*(x-1)^{k+1}}{3(k+1)*(k+1)!}}[/mm]
Hier hat sich ein Fehler eingeschlichen:
[mm]\bruch{\bruch{k^k}{\blue{3^{k}}*k!}*(x-1)^k}{\bruch{(k+1)^{k+1}*(x-1)^{k+1}}{\blue{3^ {k+1}}*(k+1)!}}[/mm]
Im Zähler muß stehen: [mm]\bruch{k^k}{\blue{3^{k}}*k!}*(x-1)^k[/mm]
Im Nenner muß stehen: [mm]\bruch{(k+1)^{k+1}*(x-1)^{k+1}}{\blue{3^ {k+1}}*(k+1)![/mm]
>
> [mm]\bruch{k^k}{3k*k!}*(x-1)^k\bruch{3(k+1)*(k+1)!}{(k+1)^{k+1}*(x-1)^{k+1}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{k^k}{k*k!}*x^k-1^k\bruch{(k+1)*(k+1)!}{(k+1)^{k}*(k+1)^{1}*(x-1)^{k}*(x-1)^{1}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{k^k}{k*k!}*x^k-1^k\bruch{1!}{1^{k}*(x-1)^{k}*(x-1)^{1}}[/mm]
>
> Und weiter kürzen bis ich etwas feststelle? Ist das der
> richtige Holzweg?
>
Gruss
MathePower ...
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... zum Hochstellen {} und nicht ( verwenden)
[mm] \bruch{\bruch{k^k}{3^k*k!}*(x-1)^k}{\bruch{(k+1)^{k+1}*(x-1)^{k+1}}{3^{k+1}*(k+1)!}}
[/mm]
[mm] \bruch{k^k}{3^k*k!}*(x-1)^k\bruch{3^{k+1}*(k+1)!}{(k+1)^{k+1}*(x-1)^{k+1}}
[/mm]
Die Formel sind jetzt richtig?
Jetzt würde ich in Zähler und Nenner umformen, bis sich was kürzen lässt, nicht?
Sind folgende Beispiele richtig?
[mm] 3^{k+1}=3^k+3
[/mm]
[mm] (x-1)^{k+1}= (x-1)^k [/mm] +(x-1)
(k+1)!=k!+1 <-das hier kommt mir besonders falsch vor
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Wenn man es lange Zeit nicht gebraucht hat, verwechselt man schnell mal + und * ...
Hab ich etwa die ganze Zeit [mm] \bruch{an}{an+1} [/mm] gerechnet, anstatt [mm] \bruch{an+1}{an}??
[/mm]
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Hallo,
> Wenn man es lange Zeit nicht gebraucht hat, verwechselt man
> schnell mal + und * ...
>
> Hab ich etwa die ganze Zeit [mm]\bruch{an}{an+1}[/mm] gerechnet,
> anstatt [mm]\bruch{an+1}{an}??[/mm]
Ich hatte doch schon geschrieben, wie du Indizes schln lesbar schreiben kannst.
Wieso tust du's nicht??
Und ja, du hast [mm] $\frac{a_k}{a_{k+1}}$ [/mm] gerechnet ...
Gruß
schachuzipus
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Jetzt hab ichs aber langsam:
Ich muss Konvergenz Intervall mittel QK, und Konvergenz bestimmen:
[mm] \summe_{k=1}^{oo} \bruch{k^k}{3^k*k!}*(x-1)^k [/mm] mittels |an+1/an|
und dann rechne ich
[mm] \summe_{k=1}^{oo} \bruch{k^k}{3^k*k!} [/mm] mit |bk/bk+1|
Korrekt?
Für das Konvergenzintervall sieht es erstmal so aus:
[mm] \bruch{ \bruch{(k+1)^{k+1}*(x-1)^{k+1}}{3^{k+1}*(k+1)!} }{\bruch{k^k*(x-1)^k}{3^k*k!} }
[/mm]
Jetzt in einen Bruch umwandeln
[mm] \bruch{(k+1)^{k+1}*(x-1)^{k+1}*3^k*k!} {3^{k+1}*(k+1)!*k^k*(x-1)^k}
[/mm]
Aufteilen, mit * dazwischen
[mm] \bruch{(k+1)^k*(k+1)*(x-1)^k*(x-1)*3^k*k!} {3^k*3*k!*(k+1)*k^k*(x-1)^k}
[/mm]
(k+1) , [mm] 3^k [/mm] , [mm] (x-1)^k [/mm] und k! kürzen
[mm] \bruch{(k+1)^k*(x-1)} {3*k^k}
[/mm]
[mm] (k+1)^k [/mm] vereinfachen
[mm] \bruch{k^k*1^k*(x-1)} {3*k^k}
[/mm]
[mm] 1^k=1
[/mm]
[mm] \bruch{k^k*(x-1)} {3*k^k}
[/mm]
kürzen
[mm] \bruch{x-1}{3}
[/mm]
Ich glaube nicht, dass das rauskommen sollte, oder?
:-(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Jetzt hab ichs aber langsam:
>
> Ich muss Konvergenz Intervall mittel QK, und Konvergenz
> bestimmen:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{oo} \bruch{k^k}{3^k*k!}*(x-1)^k[/mm] mittels
> |an+1/an|
>
> und dann rechne ich
> [mm]\summe_{k=1}^{oo} \bruch{k^k}{3^k*k!}[/mm] mit |bk/bk+1|
>
> Korrekt?
>
> Für das Konvergenzintervall sieht es erstmal so aus:
>
> [mm]\bruch{ \bruch{(k+1)^{k+1}*(x-1)^{k+1}}{3^{k+1}*(k+1)!} }{\bruch{k^k*(x-1)^k}{3^k*k!} }[/mm]
>
> Jetzt in einen Bruch umwandeln
>
> [mm]\bruch{(k+1)^{k+1}*(x-1)^{k+1}*3^k*k!} {3^{k+1}*(k+1)!*k^k*(x-1)^k}[/mm]
>
> Aufteilen, mit * dazwischen
>
> [mm]\bruch{(k+1)^k*(k+1)*(x-1)^k*(x-1)*3^k*k!} {3^k*3*k!*(k+1)*k^k*(x-1)^k}[/mm]
>
> (k+1) , [mm]3^k[/mm] , [mm](x-1)^k[/mm] und k! kürzen
>
> [mm]\bruch{(k+1)^k*(x-1)} {3*k^k}[/mm]
>
> [mm](k+1)^k[/mm] vereinfachen
>
> [mm]\bruch{k^k*1^k*(x-1)} {3*k^k}[/mm]
Du "vereinfachst" also [mm] (k+1)^k [/mm] zu [mm] k^k*1^k [/mm] ? Ist das Dein Ernst ? Ich schaue in einen Abgrund !
FRED
>
> [mm]1^k=1[/mm]
>
> [mm]\bruch{k^k*(x-1)} {3*k^k}[/mm]
>
> kürzen
>
> [mm]\bruch{x-1}{3}[/mm]
>
> Ich glaube nicht, dass das rauskommen sollte, oder?
>
> :-(
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Dann weiss ich jetzt auch oder wieder, dass [mm] x^{m+n}=x^m*x^n [/mm] nicht gilt, wenn x ein Ausdruck mit Klammern ist.
Wo genau ist jetzt der Fehler in meiner Rechnung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Dann weiss ich jetzt auch oder wieder, dass [mm]x^{m+n}=x^m*x^n[/mm]
> nicht gilt, wenn x ein Ausdruck mit Klammern ist.
Natürlich gilt das !
> Wo genau ist jetzt der Fehler in meiner Rechnung?
Wenn ich Deine "Vereinfachungen" richtig interpretiere so hast Du das furchterregende Ergebnis:
[mm] \bruch{(k+1)^k}{k^k}=1
[/mm]
Dann würde für die Eulersche Zahl e folgen: e=1
Dann wären alle komplexen Zahlen reell und [mm] \ge [/mm] 0 . Konsequenz:
das Polynom [mm] x^2+1 [/mm] hat positive Nullstellen
Donnerwetter !!
Weltuntergang hat die Mathematik neu erfunden, das wäre aber der Untergang der Welt.
Ich habs in diesem Forum schon mal geschrieben: ich kannte mal einen, der hat Luftfahrtechnik studiert und war später in der Entwicklung des Aibus beteiligt. Gerechnet hat der wie Du. Seither mache ich mir beim Fliegen fast in die Hose,
FRED
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Danke, aber in der Luftfahrt werde ich wohl nicht aktiv werden.
Wo habe ich dieser Rechnung den Fehler gemacht?
[mm] \bruch{ \bruch{(k+1)^{k+1}*(x-1)^{k+1}}{3^{k+1}*(k+1)!} }{\bruch{k^k*(x-1)^k}{3^k*k!} }
[/mm]
Jetzt in einen Bruch umwandeln
[mm] \bruch{(k+1)^{k+1}*(x-1)^{k+1}*3^k*k!} {3^{k+1}*(k+1)!*k^k*(x-1)^k}
[/mm]
Aufteilen, mit * dazwischen
[mm] \bruch{(k+1)^k*(k+1)*(x-1)^k*(x-1)*3^k*k!} {3^k*3*k!*(k+1)*k^k*(x-1)^k}
[/mm]
(k+1) , [mm] 3^k [/mm] , [mm] (x-1)^k [/mm] und k! kürzen
[mm] \bruch{(k+1)^k*(x-1)} {3*k^k}
[/mm]
Spätestens jetzt müsste ich in meine gefährliche Trickkiste greifen...?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke, aber in der Luftfahrt werde ich wohl nicht aktiv
> werden.
>
> Wo habe ich dieser Rechnung den Fehler gemacht?
>
>
> [mm]\bruch{ \bruch{(k+1)^{k+1}*(x-1)^{k+1}}{3^{k+1}*(k+1)!} }{\bruch{k^k*(x-1)^k}{3^k*k!} }[/mm]
>
> Jetzt in einen Bruch umwandeln
>
> [mm]\bruch{(k+1)^{k+1}*(x-1)^{k+1}*3^k*k!} {3^{k+1}*(k+1)!*k^k*(x-1)^k}[/mm]
>
> Aufteilen, mit * dazwischen
>
> [mm]\bruch{(k+1)^k*(k+1)*(x-1)^k*(x-1)*3^k*k!} {3^k*3*k!*(k+1)*k^k*(x-1)^k}[/mm]
>
> (k+1) , [mm]3^k[/mm] , [mm](x-1)^k[/mm] und k! kürzen
>
> [mm]\bruch{(k+1)^k*(x-1)} {3*k^k}[/mm]
Bis hierher stimmts, allerdings hast Du überall Betragsstriche vergessen ! Also:
[mm]\bruch{(k+1)^k*|x-1|} {3*k^k}[/mm]
>
> Sätestens jetzt müsste ich in meine gefährliche
> Trickkiste greifen...?
Lass es lieber ....
Untersuche was
[mm]\bruch{(k+1)^k*|x-1|} {3*k^k}[/mm]
treibt für k [mm] \to \infty. [/mm]
FRED
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...
[mm] \bruch{(k+1)^k*(x-1)} {3*k^k}
[/mm]
[mm] k->\infty
[/mm]
[mm] \bruch{(\infty+1)^\infty*(x-1)} {3*\infty^\infty}
[/mm]
[mm] \bruch{\infty*(x-1)} {\infty}
[/mm]
(x-1 *duck*)
Für
[mm] \bruch{\infty*(x-1)} {\infty}
[/mm]
wurde mir eben L`Hopital empfohlen, stimmt das?
MfG 
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Hallo Weltuntergang!
Liest Du eigentlich gegebene Tipps (wie z.B. diesen hier)?
Es gilt:
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{(k+1)^k}{k^k} \ = \ \limes_{k\rightarrow\infty}\left(\bruch{k+1}{k}\right)^k \ = \ \limes_{k\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{k}\right)^k \ = \ e[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hm also erstmal
[mm] \bruch{(k+1)^k*|(x-1|)} {3*k^k}
[/mm]
[mm] \bruch{(k+1)^k} {k^k}*\bruch{|(x-1)|}{3}
[/mm]
[mm] (1+\bruch{1}{k})*\bruch{|(x-1)|}{3} [/mm] ... oder [mm] e^\bruch{(x-1)}{3} [/mm] ?
Beim Ersten wäre [mm] \bruch{1}{k} [/mm] schonmal eine Nullfolge.
[mm] \bruch{|x-1|}{3} [/mm] soll auch nicht rauskommen, oder?
LG, W*U
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Hallo nochmal,
> Hm also erstmal
>
> [mm]\bruch{(k+1)^k*|(x-1|)} {3*k^k}[/mm]
>
> [mm]\bruch{(k+1)^k} {k^k}*\bruch{|(x-1)|}{3}[/mm]
Genauer suchst du den Limes!
Also [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\frac{(k+1)^k\cdot{}|x-1|}{3\cdot{}k^k}=\frac{|x-1|}{3}\cdot{}\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k=\ldots$
[/mm]
Wogegen strebt denn die hintere Klammer.
Das ist der bekannteste Limes der Welt !
>
> [mm](1+\bruch{1}{k})*\bruch{|(x-1)|}{3}[/mm] ... oder
Da ist dir wieder etwas abhanden gekommen, im ersten Faktor die Potenz "hoch k"
> [mm]e^\bruch{(x-1)}{3}[/mm] ?
>
> Beim Ersten wäre [mm]\bruch{1}{k}[/mm] schonmal eine Nullfolge.
>
> [mm]\bruch{|x-1|}{3}[/mm] soll auch nicht rauskommen, oder?
Nein, du bekommst einen Limes heraus (mit $|x-1|$ drin), nenne den $q$
Dann sagt das QK, dass du (absolute) Konvergenz hast für $q<1$
>
> LG, W*U
Gruß
schachuzipus
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> Also
> [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\frac{(k+1)^k\cdot{}|x-1|}{3\cdot{}k^k}=\frac{|x-1|}{3}\cdot{}\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k=\ldots[/mm]
>
> Wogegen strebt denn die hintere Klammer.
>
> Das ist der bekannteste Limes der Welt !
>
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{(k+1)^k} {k^k}*\bruch{|(x-1)|}{3} [/mm] = [mm] \bruch{|x-1|}{3}*\limes_{k\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{k})^k
[/mm]
Die hintere Klammer strebt gegen [mm] 1^k, [/mm] also 1.
[mm] \bruch{|x-1|}{3}
[/mm]
Was ja nicht rauskommen sollte?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Fr 28.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Also
> >
> [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\frac{(k+1)^k\cdot{}|x-1|}{3\cdot{}k^k}=\frac{|x-1|}{3}\cdot{}\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k=\ldots[/mm]
> >
> > Wogegen strebt denn die hintere Klammer.
> >
> > Das ist der bekannteste Limes der Welt !
> >
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{(k+1)^k} {k^k}*\bruch{|(x-1)|}{3}[/mm]
> = [mm]\bruch{|x-1|}{3}*\limes_{k\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{k})^k[/mm]
>
> Die hintere Klammer strebt gegen [mm]1^k,[/mm] also 1.
Man glaubt es nicht ! Liest Du eigentlich die Antworten, die Du bekommst ?
Diese hast Du offensichtlich nicht gelesen:
https://matheraum.de/read?i=763894
FRED
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> [mm]\bruch{|x-1|}{3}[/mm]
>
> Was ja nicht rauskommen sollte?
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Doch hab ich.
Also für die hintere Klammer e einsetzen?
Ich verstehe einfahc nicht, wann ich was tun muss.
Bzw wo die Umformung sinnvoll ist.
[mm] \bruch{|x-1|}{3}*\limes_{k\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{k})^k
[/mm]
=
[mm] \bruch{|x-1|}{3}*\limes_{k\rightarrow\infty}*e
[/mm]
oder [mm] \bruch{|x-1|}{3}*e
[/mm]
oder gar [mm] e^{\bruch{|x-1|}{3}}
[/mm]
Ich vermute mal eher nicht?
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Hallo,
> Doch hab ich.
Offensichtlich nicht!
>
> Also für die hintere Klammer e einsetzen?
Nein, für den Limes dieses Klammerausdrucks!
> Ich verstehe einfahc nicht, wann ich was tun muss.
> Bzw wo die Umformung sinnvoll ist.
>
> [mm]\bruch{|x-1|}{3}*\limes_{k\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{k})^k[/mm]
>
> =
>
> [mm]\bruch{|x-1|}{3}*\limes_{k\rightarrow\infty}*e[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist doch [mm]e=\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k[/mm]
Also [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\ldots=\frac{e}{3}\cdot{}|x-1|[/mm]
Das ist also gem. QK (absolut) konvergent, wenn [mm]\frac{e}{3}|x-1|<1[/mm] ist, also für [mm]|x-1|<\frac{3}{e}[/mm]
Aber das hatte ich alles bereits erwähnt.
Die Pupsi-Rechnungen hättest du ausführen sollen/müssen/können ...
>
> oder [mm]\bruch{|x-1|}{3}*e[/mm]
Aha!
>
> oder gar [mm]e^{\bruch{|x-1|}{3}}[/mm]
Ach du Sch...
Wie das denn?
Weniger raten, mehr denken!
>
> Ich vermute mal eher nicht?
Tor 1,2 oder 3?
Gruß
schachuzipus
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Konvergenzen sind noch mein Ende...
Wenn ich so die komplette Rechnung vor mir liegen habe, sieht es insgesamt weniger schwer und kompliziert aus. Aber auf die Umstellung und Anwendung, gerade die Sache mit dem e ...
Ich zeige mal dass/ob ich es kann an c)
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^k}{3^k*k!} [/mm] mittels QK
[mm] \bruch{\bruch{(k+1)^{k+1}}{3^{k+1}*(k+1)!}}{\bruch{k^k}{3^k*k!}} [/mm] = [mm] \bruch{(k+1)^{k+1}*3^k*k!}{3^{k+1}*(k+1)!*k^k} [/mm] = [mm] \bruch{(k+1)^k*(k+1)*3^k*k!}{3^k*3*k!*(k+1)*k^k} [/mm] = [mm] \bruch{(k+1)^k}{3*k^k} [/mm]
= [mm] \bruch{(k+1)^k}{k^k}*\bruch{1}{3}= (\bruch{k+1}{k})^k*\bruch{1}{3} [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{k})^k*\bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{e}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{e}{3}< [/mm] 1 dh. absolut konvegent
Und? Immerhin besser als der letzte Versuch?
LG, WU))
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
)
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]"){kind=small}
![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]"){kind=small}
