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| Aufgabe | Erraten Sie für die angegebenen Folgen (ak)k∈ ℕ > = 0 , (bk) k∈ ℕ > = 0, (ck)k∈ ℕ > = 0 einen Limes und beweisen Sie die Konvergenz.
ak= 1/k², [mm] bk=q^k [/mm] mit 0 <= q < = 1 ck= 1 + [mm] 1/k^2 [/mm] |
Hallo Leute,
Ich habe einfach für k natürliche Zahlen für größer/gleich 0 eingesetzt und es kamen Zahlen raus die immer kleiner wurden und ich behaupte es konvergiert gegen 0. Nun möchte ich das erstmal für ak beweisen, aber weiß nicht wie. Ich bin mir sicher, dass ihr mir helfen könnt und hoffe darauf. Ich bedanke mich im voraus.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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oder
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Hallo und herzlich Willkommen,
gut, dann kümmern wir uns mal um die erste Aufgabe:
Zu zeigen ist: [mm] a_k=\frac{1}{k^2} [/mm] konvergiert gegen 0.
Zunächst wollen wir mal festhalten, dass hier die [mm] k\ge{0} [/mm] schwachsinnig ist, denn für k=0 ist [mm] a_k [/mm] gar nicht definiert. Denn 1/0 ist ein unbestimmter Ausdruck. Wir gehen also von k>0 aus.
Wir benutzen die Definition für die Konvergenz einer Zahlenfolge:
Eine Folge [mm] a_k [/mm] konvergiert, wenn für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] k_0\in\IN [/mm] existiert derart, dass [mm] |a_k-a|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] $k>k_0$. [/mm] $a$ heißt Grenzwert der Folge.
So, na dann schauen wir mal. Als Grenzwert vermuten wir a=0. Wir wollen nun ein [mm] k_0 [/mm] finden, sodass wir für alle [mm] \varepsilon [/mm] sicher sein können, dass [mm] |a_k-a|<\epsilon [/mm] ist - zumindest für [mm] k>k_0.
[/mm]
Wir setzen also einfach mal ein:
[mm] |a_k-a|=|(1/k^2)-0|=1/k^2<\varepsilon
[/mm]
Wir stellen mal um und erhalten [mm] \sqrt{\frac{1}{\varepsilon}}
Also: Sagen wir z.b. [mm] \varepsilon=0,01. [/mm] Dann muss [mm] k_0>10 [/mm] sein. Du kannst das gerne mal testen.
Wir können nun also für jedes beliebige [mm] \varepsilon [/mm] ein solches [mm] k_0 [/mm] angeben. Damit sind wir am Ziel unserer Träume.
So, dies war nun das Prinzip des Nachweises der Konvergenz. Probier es nun mit den anderen Folgen.
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Danke für diese umfangreiche antwort richie. Super gut erklärt
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