Konvergenz: Definition? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Mo 05.01.2009 | | Autor: | GrandixX |
| Aufgabe | Die Zahlenfolge (an) konvergiert oder strebt gegen a, wenn es zu jeder positiven Zahl e einen Index n0(e) gibt, so daß
für alle n>n0(e) stets |an - a| < e
ist. |
Meine Frage ist für jeden Könner trivial, jedoch steh ich endweder auf der Leitung oder das ist so easy, dass ich es nicht blicke :-(
Diese Definition ist mir im Allgemeinen klar, jedoch wenn ich ein Beispiel habe, weiß ich nicht genau wie ich da vorgehen soll oder gar welche Denkschritte da mir durch den Kopf gehen sollen, um jegliche Folge anhand dieser Defintion zu lösen.
Könnte mir jemand anhand eines Beispiels Schritt für Schritt das Veranschaulichen?
Ich habe etliche Bücher durchgestöbert, aber irgendwie steht überall das gleiche und ich blicks immer noch net -.-
ich weiß die Mühe zu schätzen  Würde mich sehr um diese Hilfe freuen.
Greetz
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Hallo GrandixX,
> Die Zahlenfolge (an) konvergiert oder strebt gegen a, wenn
> es zu jeder positiven Zahl e einen Index n0(e) gibt, so
> daß
>
> für alle n>n0(e) stets |an - a| < e
>
> ist.
> Meine Frage ist für jeden Könner trivial, jedoch steh ich
> endweder auf der Leitung oder das ist so easy, dass ich es
> nicht blicke :-(
>
> Diese Definition ist mir im Allgemeinen klar, jedoch wenn
> ich ein Beispiel habe, weiß ich nicht genau wie ich da
> vorgehen soll oder gar welche Denkschritte da mir durch den
> Kopf gehen sollen, um jegliche Folge anhand dieser
> Defintion zu lösen.
Das eigentliche Hauptproblem ist bei diesen Aufgaben, diesen Betrag [mm] $|a_n-a|$ [/mm] abzuschätzen und so das gesuchte [mm] $n_0$ [/mm] zu konstruieren
>
> Könnte mir jemand anhand eines Beispiels Schritt für
> Schritt das Veranschaulichen?
Nehmen wir etwas nicht zu triviales, wie wäre es mit der Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n=\frac{2n^2+1}{n^2-1}$
[/mm]
Die strebt ja offensichtlich für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen 2
Nun geben wir uns unser [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig vor und schätzen in einer Nebenrechnung den Betrag [mm] $\left|\frac{2n^2+1}{n^2-1}-2\right|$ [/mm] ab:
[mm] $\left|\frac{2n^2+1}{n^2-1}-2\right|=\left|\frac{2n^2+1}{n^2-1}-\frac{2(n^2-1)}{n^2-1}\right|=\left|\frac{2n^2+1-2n^2+2}{n^2-1}\right|=\left|\frac{3}{n^2-1}\right|=\frac{3}{n^2-1} [/mm] \ \ \ [mm] (\star)$
[/mm]
Das soll nun kleiner als unser beliebig vorgegebenes [mm] $\varepsilon$ [/mm] sein
Also [mm] $\frac{3}{n^2-1}\overset{!}{<}\varepsilon$
[/mm]
Übergang zum Kehrbruch:
[mm] $\Rightarrow \frac{n^2-1}{3}>\frac{1}{\varepsilon}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow n^2-1>\frac{3}{\varepsilon}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow n^2>\frac{3}{\varepsilon}+1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow n>\sqrt{\frac{3}{\varepsilon}+1}$
[/mm]
Damit haben wir unser [mm] $n_0$
[/mm]
Nun sauber aufschreiben:
Sei [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] wähle [mm] $n_0>\sqrt{\frac{3}{\varepsilon}+1}$ [/mm] (oder, wenn du es genau als natürliche Zahl, die es ja sein soll, angeben willst: wähle [mm] $n_0:=\left[\sqrt{\frac{3}{\varepsilon}+1}\right]+1$, [/mm] wobei [] die Gaußklammer ist; das so gewählte [mm] $n_0$ [/mm] ist das kleinste [mm] $n_0$, [/mm] das es tut)
Dann gilt für alle [mm] $n>n_0$ [/mm] ....
Nun die Abschätzungskette aus der obigen Nebenrechnung, schreibe dir das nochmal selbst schön auf mit dem [mm] $n_0$ [/mm] ... (also schätze das $n$ am Ende der Kette an der Stelle [mm] $(\star)$ [/mm] gegen das [mm] $n_0$ [/mm] ab und du kommst auf [mm] $<\varepsilon$)
[/mm]
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> Ich habe etliche Bücher durchgestöbert, aber irgendwie
> steht überall das gleiche und ich blicks immer noch net
> -.-
>
> ich weiß die Mühe zu schätzen Würde mich sehr um diese
> Hilfe freuen.
>
> Greetz
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Mo 05.01.2009 | | Autor: | GrandixX |
Vielen vielen Dank... das hat mir alles um einiges einleutender gemacht jetzt versteh ich wo mein Gedanke falsch angelegt war.
nun eine Frage noch... Bei deiner Nebenrechnung hast du ja direkt den Grenzwert abgeschätzt... Das heißt ja für mich in einer Aufgabe, dass ich eigentlich die Definition gar nicht schriftlich anhand deiner Erklärung darlegen muss, sondern anhand durch Umformungen den Grenzwert abschätzen muss...
Heißt das jetzt im Klartext für mich, dass ich wenn der Grenzwert nur gesucht ist in einer belibigen Aufgabe, den Term vereinfachen muss, um an den Grenzwert zu kommen ohne diese Epsilon-Abschätzung durchzuführen?
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Hallo!
Um eine Vermutung für den Grenzwert zu erhalten kannst du möglichst größe n in deine Folge einsetzten z.B bei [mm] (a_n)_{n\in N} [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] wirst du so Zahlen erhalten die sich an 0 annähern.
Danach führst du den eigentlichen Beweis durch nach dem Epsilon-Kriterium.Natürlich kannst du, wenn ihr sie behandelt habt, auch mit den Grenzwertsätzen argumentieren aber sonst bleibt dieser Beweis deiner Vermutung unumgänglich.Wichtig ist das immer unendlich viele Glieder deiner Folge in der beliebig kleinen Epsilon-Umgebung des Grenzwerts liegen.Dh. wenn es nur die Glieder mit z.B. [mm] n_0=3 \qquad n\le [/mm] 3 wären für [mm] n\in [/mm] N dann handelt es sich nicht um den Grenzwert.
Gruß
Angelika
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