Konvergenz/ Divergenz Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Di 28.01.2014 | | Autor: | iehtz |
| Aufgabe | Konvergiert oder divergiert die Reihe?
a) [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)!}{n^n}
[/mm]
b) [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^4-1}{n^5+1} [/mm] |
Hallo, ich wiederhole zur Zeit Aufgaben der Analysis im Hinblick Klausur und komme bei diesen Aufgaben nicht weiter.
Zu a) Quotientenkriterium liefert:
[mm] $\limes_{n \to \infty} |\bruch{\bruch{((n+1)+1)!}{(n+1)^n+1}}{\bruch{(n+1)!}{n^n}}|=\limes_{n \to \infty} |\bruch{((n+2)!*n^n}{(n+1)^n+1*(n+1)!}|=\limes_{n \to \infty} \bruch{((n+2)*(n+1)!*n^n}{(n+1)^n*(n+1)*(n+1)!}=\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)*n^n}{(n+1)^n*(n+1)}
[/mm]
An dem Punkt weiß ich nicht mehr richtig weiter... Ich könnte jetzt noch folgendes machen:
[mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)*n^n}{(n+1)^n*(n+1)}=\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)}{(n+1)}*\bruch{n^n}{(n+1)^n}=\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)}{(n+1)}*(\bruch{n}{(n+1)})^n=\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)}{(n+1)}*(\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})})^n
[/mm]
Wenn ich jetzt n gegen unendlich laufen lassen, kann ich dann den rechten und linken Teil getrennt betrachten? Dann würde der rechte ja zu $e$ werden... Aber ich bezweifle, dass das geht. Jedenfalls weiß ich dann nicht mehr weiter.
Bei b) finde ich nicht das richtige Kriterium.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Di 28.01.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo iehtz!
> b) [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^4-1}{n^5+1}[/mm]
>
> Bei b) finde ich nicht das richtige Kriterium.
Versuche eine Abschätzung gegenüber der harmonischen Reihe zu finden.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Di 28.01.2014 | | Autor: | iehtz |
> Hallo iehtz!
>
>
> > b) [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^4-1}{n^5+1}[/mm]
> >
> > Bei b) finde ich nicht das richtige Kriterium.
>
> Versuche eine Abschätzung gegenüber der harmonischen
> Reihe zu finden.
>
>
> Gruß
> Loddar
Hallo Loddar,
ich habe jetzt folgendes:
[mm] $\bruch{n^4-1}{n^5+1} \le \bruch{n^4-1}{n^5}=\bruch{n^4}{n^5}-\bruch{1}{n^5}=\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^5}$
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $\lim_{n \to \infty} \bruch{1}{n}$ [/mm] ist divergent nach der allg. harmonischen Reihe und
[mm] $\lim_{n \to \infty} \bruch{1}{n^5}$ [/mm] ist konvergent nach der allg. harmonischen Reihe.
Das verwirrt mich. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Di 28.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo nochmal,
> Es ist keine divergente Majorante?
Es gibt nur: konvergente Majorante oder divergente Minorante.
> War meine Aussage also
> richtig, dass man die Abschätzungsoptionen des Zählers
> und Nenners nicht vermischen darf?
Nein, das hat damit eigentlich nicht viel zu tun.
> Ich habe die Reihe jetzt einmal bei Wolfram Alpha
> eingegeben, dort kommt auch heraus, dass die Reihe
> divergent ist.
Um ehrlich zu sein hätte ich das auch nicht gedacht!
> Ich stehe jetzt aber absolut auf dem Schlauch. Was wäre
> denn hier eine sinnvolle Abschätzung nach oben?
Mir fällt gerade auch nichts ein..
Ich lasse die Frage mal auf unbeantwortet.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Mi 29.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Zur Reihe
$ [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^4-1}{n^5+1} [/mm] $
Vorweg: ich bin ein großer Freund von "Abschätzen". Das muss geübt, geübt, geübt werden.
Dennoch möchte ich eine Weg aufzeigen, der einem das Leben einfacher machen kann:
Wir setzen [mm] a_n:=\bruch{n^4-1}{n^5+1}. [/mm] Für große n verhält sich [mm] a_n [/mm] wie [mm] \bruch{n^4}{n^5}=\bruch{1}{n}=:b_n.
[/mm]
Da [mm] \sum_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] divergiert, liegt die Vermutung nahe, dass [mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] ebenfalls divergiert.
Somit denken wir an das Minorantenkriterium und es ist ein c>0 gesucht mit:
[mm] $a_n \ge c*b_n$ [/mm] für fast alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Die Frage ist nun, wie man solch ein geeignetes c findet. Mit geschicktem Abschätzen findet man solch ein c. Reverend wurde fündig.
Ohne Abschätzung kann man so fündig werden:
Wegen
[mm] \bruch{a_n}{b_n}= \bruch{n^5-n}{n^5+1} \to [/mm] 1 ( n [mm] \to \infty)
[/mm]
gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] \bruch{a_n}{b_n} \ge \bruch{1}{2} [/mm] für alle n>N.
Damit haben wir:
[mm] a_n \ge \bruch{1}{2}*b_n [/mm] für alle n>N.
Hurra ! Ich musste mich weniger abstrampeln als reverend.
So, für Dich zum Einüben der obigen Methode:
1. Zeige: [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{23}+n^{19}-n^{7}+123n^3-50n^2+63n+2341}{n^{24}+n^6+8n^4+9n^2+1} [/mm] ist divergent
2. Zeige: [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{23}+n^{19}-17n^{12}-67n^5-5n^2+63n+12}{12n^{28}+n^{26}+n^4+9n^3+4711} [/mm] ist konvergent.
Bei beiden Reihen ist reines "Abschätzen" ein mühsames Geschäft !
Viel Spass
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:09 Mi 29.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Fred,
Das kommt auch auf meinem Merkzettel 
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:32 Mi 29.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
Hallo DuAcht,
> Das kommt auch auf meinem Merkzettel
Freut mich. Was steht denn sonst noch so auf dem Merkzettel ?
Gruß FRED
>
> Gruß
> DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:48 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo DieAcht,
>
> > > In Deinem Profil steht so gut wie nix über Dich.
> > > Angesichts Deiner, in der Regel, sehr guten Beiträge wäre
> > > es interessant, etwas mehr über Dich zu erfahren.
> >
> > Danke dir für die netten Worte!
> >
> > Ich habe mein Profil ein bisschen überarbeitet.
>
> Na, aber nicht so unglaublich grundlegend... 
>
> > Ich studiere übrigens WiMa an der TU-Berlin,
>
> Ach ja. Eine typische interne Abkürzung. WiMa=
> - windige Machenschaften (mein Favorit)
> - wichtige Manöver
> - winzige Makaken
> - wirsche Maßregelungen
> - Widukinds Marienverehrung
> - wilhelminische Mannschaftsaushebung
> - WindelMaße
> - witzige Marschbefehle
> - wie's magst
Wirre Maenschen... Ach man, diese neue Rechtschreibung ver-wirrt.
WiMa = Wilde Masterstudenten!
Jetzt MEIN Favorit:
Wirrer Marcel
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:25 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo Fred,
> >
>
> Hallo DuAcht,
>
>
> > Das kommt auch auf meinem Merkzettel
geben wir der Sache doch 'nen Namen:
etwa
Heuser, Lehrbuch der Analysis, 14. Auflage, Satz 33.6
Grenzwertkriterium (für Reihen)
Ich liebe diese Methode des Abschätzens genauso wie Du, aber man kann
ja einfach direkt diesen Satz "anschmeißen" und das Ergebnis benutzen. Da
passiert ja genau das, was Du hier etwas spezieller machst.
Mich freut es aber, dass ich mal sehe, dass nicht alle Dozenten diese
Methode oder den Satz "unterschlagen".
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:35 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zur Reihe
>
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^4-1}{n^5+1}[/mm]
>
> Vorweg: ich bin ein großer Freund von "Abschätzen". Das
> muss geübt, geübt, geübt werden.
>
> Dennoch möchte ich eine Weg aufzeigen, der einem das Leben
> einfacher machen kann:
>
> Wir setzen [mm]a_n:=\bruch{n^4-1}{n^5+1}.[/mm] Für große n
> verhält sich [mm]a_n[/mm] wie [mm]\bruch{n^4}{n^5}=\bruch{1}{n}=:b_n.[/mm]
>
> Da [mm]\sum_{n=1}^{\infty}b_n[/mm] divergiert, liegt die Vermutung
> nahe, dass [mm]\sum_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] ebenfalls divergiert.
>
> Somit denken wir an das Minorantenkriterium und es ist ein
> c>0 gesucht mit:
>
> [mm]a_n \ge c*b_n[/mm] für fast alle n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Die Frage ist nun, wie man solch ein geeignetes c findet.
> Mit geschicktem Abschätzen findet man solch ein c.
> Reverend wurde fündig.
>
> Ohne Abschätzung kann man so fündig werden:
>
> Wegen
>
> [mm]\bruch{a_n}{b_n}= \bruch{n^5-n}{n^5+1} \to[/mm] 1 ( n [mm]\to \infty)[/mm]
>
> gibt es ein N [mm]\in \IN[/mm] mit: [mm]\bruch{a_n}{b_n} \ge \bruch{1}{2}[/mm]
> für alle n>N.
>
> Damit haben wir:
>
> [mm]a_n \ge \bruch{1}{2}*b_n[/mm] für alle n>N.
>
> Hurra ! Ich musste mich weniger abstrampeln als reverend.
>
> So, für Dich zum Einüben der obigen Methode:
>
> 1. Zeige: [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{23}+n^{19}-n^{7}+123n^3-50n^2+63n+2341}{n^{24}+n^6+8n^4+9n^2+1}[/mm]
> ist divergent
>
> 2. Zeige: [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{23}+n^{19}-17n^{12}-67n^5-5n^2+63n+12}{12n^{28}+n^{26}+n^4+9n^3+4711}[/mm]
> ist konvergent.
ich übe mal mit:
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{\red{n^{23}}+n^{19}-n^{7}+123n^3-50n^2+63n+2341}{\red{n^{24}}+n^6+8n^4+9n^2+1}$
[/mm]
verhält sich wie
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{\red{n^{23}}}{\red{n^{24}}},$
[/mm]
dat letzte Ding da divergiergt.
Was mache ich? Etwa Satz 33.6 vom Heuser, Analysis I, 14. Auflage anwerfen
und
[mm] $\lim_{n \to \infty}\frac{\bruch{\red{n^{23}}+n^{19}-n^{7}+123n^3-50n^2+63n+2341}{\red{n^{24}}+n^6+8n^4+9n^2+1}}{\frac{\red{n^{23}}}{\red{n^{24}}}}=1 [/mm] > 0$
nachrechnen.
P.S. Spaßeshalber könnten wir auch mal
[mm] $\sum_{n=\red{17}}^\infty [/mm] ...$
hinschreiben - nur, damit die Leute nicht immer denken, dass unter der Reihe
der Index doch wohl immer 0 oder 1 sein muss (beim Nachhilfegeben
fallen durchaus schonmal solche Fragen an).
P.S. Das schöne an dem Ergebnis ist doch eigentlich:
Die letzten Reihen sehen erstmal kompliziert aus, aber nur mit einem einfachen
Blick kann man wenigstens schonmal direkt die Frage nach Konvergenz
oder Divergenz beantworten.
Wer die Methode kennt, könnte also in einer mündlichen Prüfung diese
Fragen oben innerhalb von ca. 10 Sekunden beantworten.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:41 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S.
Zusatzübung:
3: Zeige
[mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{23}+n^{19}-17n^{12}-67n^5-5n^2+63n+12}{\red{\,-\,}12.73n^{24+1/1000}\red{\,-\,}\pi n^{23}\red{\,-\,}15n^4\red{\,-\,}9n^3+4711}[/mm]
ist konvergent.
Hinweis: [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$ [/mm] konvergiert (genau) dann, wenn...?
Hinweis zum Hinweis: Wer nichts findet, denke (bzgl. "Konvergenz") mit dem
Cauchyschen Verdichtungssatz nach!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo iehtz,
das mit dem Vergleichskriterium musst Du Dir dringend noch einmal anschauen, so dass Du es auch logisch verstehst.
Es gibt immer divergente Majoranten. Sie sagen nichts aus. Das gleiche gilt für konvergente Minoranten. Die gibts auch immer, interessieren also überhaupt nicht.
> > Du hast folgenden Bruch:
> >
> > [mm]\frac{n^4-1}{n^5+1}[/mm]
> >
> > Du willst nach oben abschätzen.
Nein, eben nicht, sondern nach unten. Er liegt für große n ja in der Größenordnung von [mm] \frac{1}{n}, [/mm] die Reihe ist also ziemlich sicher divergent. Das muss man jetzt eben nur zeigen. Wurzel- und Quotientenkriterium bringen hier nichts und in der Tat ist das Vergleichskriterium das Mittel der Wahl.
> > Einen Bruch vergrößerst du, indem du z.B. folgendes
> > tust:
> >
> > 1. Den Nenner verkleinern.
> > 2. Den Zähler vergrößern.
Jetzt brauchen wir also die umgekehrte Vorgehensweise.
> > Jetzt solltest du es aber sehen.
>
> Ok, das war mir bewusst. Allerdings habe ich irgendwo im
> Hinterkopf, dass man beide Optionen nicht vermischen
> darf... Sonst könnte ich ja jetzt einfach
> sagen:
>
> [mm]\frac{n^4-1}{n^5+1} \le \bruch{n^4}{n^5+1} \le \bruch{n^4}{n^5}=\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Das ist eine divergente Majorante, somit wäre die Reihe
> divergent.
Die richtige Abschätzung könnte so aussehen:
[mm] \br{n^4-1}{n^5+1}>\br{n^4-1}{2n(n^4-1)}=\br{1}{2}*\br{1}{n}
[/mm]
Sie ist zwar für n=1 nicht definiert, gilt aber sonst immer. Außerdem ist sie ziemlich grob, aber das ist ja egal.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:25 Mi 29.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo reverend,
Ich schiebe mal meinen Aussetzer auf die Müdigkeit
> [mm]\br{n^4-1}{n^5+1}>\br{n^4-1}{2n(n^4-1)}=\br{1}{2}*\br{1}{n}[/mm]
Ich habe gestern noch bestimmt eine Stunde probiert eine
sehr "schöne kleine" Abschätzung zu finden und habe dabei
völlig aus den Augen verloren, dass ich das gar nicht brauche!
Heute ist mir klar, dass das nicht möglich war,
denn es existiert kein [mm] N\in\IN [/mm] mit
[mm] a_n\ge\frac{1}{n} [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
Hätte ich mal an den Grenzwertübergang nachgedacht..
Wie dem auch sei, danke dir für's Aufpassen!
Gruß
DieAcht
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Fasse längere Exponenten mit geschweiften Klammern ein. Dann klapt es auch mit der korrekten Darstellung.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nicht ganz. Schau noch mal genauer hin.
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]"){kind=small}
![[]](http://www.videoload.de/images/WUHosting16/images/boomerang/Series_133_11/pic_1507356.jpg){kind=small}
die dritte von links, ganz links, das bin ich FRED