Konvergenz/Divergenz n!/(n^n) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche der Folgen konvergieren, welche divergieren? Bestimme die Grenzwerte.
(ii) [mm] {n!/(n^n)} [/mm] |
Tja, so sieht die Aufgabe aus und ich stehe ein wenig auf dem Schlauch. Und zwar nicht wie sich das ganze entwickelt, sondern eher, wie man so etwas aufschreibt.
Wir wissen, dass [mm] n!
Es ist ja offensichtlich, dass die Folge gegen 0 konvergieren wird, da [mm] n^n [/mm] wesentlich schneller anwächst.
Allerdings weiß ich nicht, wie ich das beweisen soll.
Mit der vollständigen Induktion kommt man imho auch nur zu dem was wir schon wissen [mm] (n!
Es könnte ja auch sein, dass es nich gegen 0 konvergiert, sondern gegen 0,2 (rein hypothetisch, wenn wir nicht beweisen, dass es nicht so ist).
Hat dort irgendjemand einen heißen Tip?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Mo 15.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Welche der Folgen konvergieren, welche divergieren?
> Bestimme die Grenzwerte.
> (ii) [mm]{n!/(n^n)}[/mm]
> Tja, so sieht die Aufgabe aus und ich stehe ein wenig auf
> dem Schlauch. Und zwar nicht wie sich das ganze entwickelt,
> sondern eher, wie man so etwas aufschreibt.
>
> Wir wissen, dass [mm]n!
> 5*5*5*5*5).
> Es ist ja offensichtlich, dass die Folge gegen 0
> konvergieren wird, da [mm]n^n[/mm] wesentlich schneller anwächst.
> Allerdings weiß ich nicht, wie ich das beweisen soll.
> Mit der vollständigen Induktion kommt man imho auch nur
> zu dem was wir schon wissen [mm](n!
> konkreten Antwort.
> Es könnte ja auch sein, dass es nich gegen 0 konvergiert,
> sondern gegen 0,2 (rein hypothetisch, wenn wir nicht
> beweisen, dass es nicht so ist).
>
> Hat dort irgendjemand einen heißen Tip?
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?t=732644
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Mo 15.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Fred
>
> Schau mal hier:
>
> https://matheraum.de/read?t=732644
>
> FRED
> >
Wenn du einen Link setzt, tue das doch sinnvollerweise mit [url="link"]"Linkname"[/url]. Das macht diesen dann nämlich "klickbar" und man muss sich nicht neu einloggen, bei manch einem passiert das nämlich, wenn man vom Matheraum auf Vohilfe oder in die Mathebank wechselt.
Also: [url=https://matheraum.de/read?t=732644]Tipp[/url]
ergibt dann direkt den Link zum Tipp
Marius
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Leider hat mich der Tip nicht wirklich weitergebracht :(. Dafür habe ich allerdings einen alternativen Lösungsansatz.
Man kann ja n! auch so ausdrücken:
n! = n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k)*1, mit k:=n-1
Und man kann [mm] n^n [/mm] auch so ausdrücken:
[mm] n^n=n*n*n*...*n [/mm] (Das ganze n-Mal).
Also könnte man sagen:
[mm] \bruch{n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k)*1}{n*n*n*...*n}.
[/mm]
Man könnte dann die einzelnen Terme "auseinanderziehen",
sodass gilt:
[mm] \bruch{n!}{n^n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n} [/mm] * [mm] \bruch{n-1}{n} [/mm] * [mm] \bruch{n-2}{n} [/mm] * ... * [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Würde man nun für jeden einzelnen dieser Teilbrüche den Limes betrachten, dann würde gelten:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!}{n^n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!}{n^n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n} [/mm] * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n-1}{n} [/mm] * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n-2}{n} [/mm] * ... * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}.
[/mm]
Also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n} [/mm] = [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] * [mm] \bruch{\infty-1}{\infty} [/mm] * [mm] \bruch{\infty-2}{\infty} [/mm] * ... * [mm] \bruch{1}{\infty}.
[/mm]
Also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n} [/mm] = [mm] 1*1*...*1*\bruch{1}{\infty}
[/mm]
Womit also im Grunde gilt:
Also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n} [/mm] = 0
Kann man so argumentieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Mo 15.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Leider hat mich der Tip nicht wirklich weitergebracht :(.
> Dafür habe ich allerdings einen alternativen
> Lösungsansatz.
>
> Man kann ja n! auch so ausdrücken:
>
> n! = n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k)*1, mit k:=n-1
>
> Und man kann [mm]n^n[/mm] auch so ausdrücken:
>
> [mm]n^n=n*n*n*...*n[/mm] (Das ganze n-Mal).
>
> Also könnte man sagen:
>
> [mm]\bruch{n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k)*1}{n*n*n*...*n}.[/mm]
>
> Man könnte dann die einzelnen Terme "auseinanderziehen",
> sodass gilt:
>
> [mm]\bruch{n!}{n^n}[/mm] = [mm]\bruch{n}{n}[/mm] * [mm]\bruch{n-1}{n}[/mm] *
> [mm]\bruch{n-2}{n}[/mm] * ... * [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
Gute Idee !
>
> Würde man nun für jeden einzelnen dieser Teilbrüche den
> Limes betrachten, dann würde gelten:
Jetzt wirds abenteuerlich !
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!}{n^n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!}{n^n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n}[/mm] *
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n-1}{n}[/mm] *
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n-2}{n}[/mm] * ... *
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}.[/mm]
>
> Also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n}[/mm] =
> [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] * [mm]\bruch{\infty-1}{\infty}[/mm] *
> [mm]\bruch{\infty-2}{\infty}[/mm] * ... * [mm]\bruch{1}{\infty}.[/mm]
>
> Also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n}[/mm] =
> [mm]1*1*...*1*\bruch{1}{\infty}[/mm]
Das oben ist grober Unfug !
>
> Womit also im Grunde gilt:
>
> Also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n}[/mm] = 0
>
>
> Kann man so argumentieren?
Nein
Wir haben:
$ [mm] \bruch{n!}{n^n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n} [/mm] * [mm] \bruch{n-1}{n} [/mm] * [mm] \bruch{n-2}{n} [/mm] * ... * [mm] \bruch{1}{n} [/mm] $
Die ersten n-1 Faktoren rechts sind alle [mm] \le [/mm] 1. Somit
$ 0 [mm] \le \bruch{n!}{n^n} \le \bruch{1}{n} [/mm] $
FRED
P:S.: mit meinem Link in meiner ersten Antwort habe ich daneben gegriffen, pardon
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Vielen Dank für die Hilfe Fred!
Habe es kapiert. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht  .
Aus $ 0 [mm] \le \bruch{n!}{n^n} \le \bruch{1}{n} [/mm] $ folgt dann natürlich mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=0
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!}{n^n}=0, [/mm] da
[mm] 0\le\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!}{n^n}\le0 [/mm] ist.
Sehr gut. Vielen Dank!
Nach Denkfehler hat dieser Abschnitt ein wenig länger gedauert:
Wir sollen nun auch die Folge [mm] \bruch{n!}{2^n} [/mm] auf Konvergenz untersuchen,
dann könnte man ja wieder das n! so schreiben:
n! = n*(n-1)*(n-2)*...*1
Also kann man [mm] \bruch{n!}{2^n} [/mm] auch schreiben als:
[mm] \bruch{n*(n-1)*(n-2)*...*1}{2^n}, [/mm] also gilt dann auch:
[mm] \bruch{n!}{2^n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2^n} [/mm] + [mm] \bruch{n-1}{2^n} [/mm] + [mm] \bruch{n-2}{2^n} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{2^n}.
[/mm]
Da für alle n (wir sind in einer Folge, daher [mm] n\in\IN) [/mm] gilt [mm] \bruch{n!}{2^n}>1 [/mm] gilt dementsprechend
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!}{2^n} [/mm] konvergiert gegen [mm] \infty
[/mm]
Ist das so richtig? Wenn ja, dann hab ich es geschnallt!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo wagenlenker,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> [mm]\bruch{n*(n-1)*(n-2)*...*1}{2^n},[/mm] also gilt dann auch:
>
> [mm]\bruch{n!}{2^n}[/mm] = [mm]\bruch{n}{2^n}[/mm] + [mm]\bruch{n-1}{2^n}[/mm] + [mm]\bruch{n-2}{2^n}[/mm] + ... + [mm]\bruch{1}{2^n}.[/mm]
Nanana, wo kommen denn hier die Pluszeichen her? Es gilt:
[mm]\bruch{n!}{2^n} = \bruch{n}{2}*\bruch{n-1}{2}*\bruch{n-2}{2}* ... *\bruch{1}{2}[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Mo 15.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du denn von dem Produkt n*(n-1)...
auf die Summe? Das ist sicher falsch.
schreibs als Produkt dann merkst du wie es läüft. und dann hast du immer nur eine 2 und nicht [mm] 2^n [/mm] im Nenner
Gruss leduart.
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Ich kann euch sagen wie ich auf den Mist komme ;).
Ich hatte gedacht, dass durchgehend [mm] 2^n [/mm] im Nenner stehen würde, was natürlich Blödsinn ist (das wäre dann [mm] 2^n^n, [/mm] afaik).
Also nach den Korrekturen muss dann gelten:
[mm] \bruch{n!}{2^n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2}*\bruch{n-1}{2}*...*\bruch{1}{2}.
[/mm]
Was mich dann doch zu dem bringt was ich vorher als Denkfehler eingestuft habe. Wir wissen ja nicht direkt, dass das ganze gegen [mm] \infty [/mm] konvergiert, dachte ich mit dem [mm] 2^n [/mm] im Nenner. Das würde in dem Fall erst ab [mm] n\ge5 [/mm] der Fall sein, aber in diesem Fall wissen wir ja quasi schon nach n=3, dass der finale Wert gegen [mm] \infty [/mm] konvergiert. Da ja:
[mm] \bruch{n!}{2^n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2}*\bruch{n-1}{2}*...*\bruch{6}{2}*\bruch{2}{2}\bruch{1}{2} [/mm] äquivalent ist zu
[mm] \bruch{n!}{2^n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2}*\bruch{n-1}{2}*...*3*1*\bruch{1}{2}
[/mm]
Und damit ist dann auch [mm] \bruch{n!}{2^n} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] konvergierend.
Sorry,zienmlich hastig, bin los zum Sport.
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