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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz/Divergenz v. Reihen
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Konvergenz/Divergenz v. Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:05 Mi 23.05.2012
Autor: Anazeug

Hab noch ne Reihe zur Übung:

[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2 + (-1)^k}{2^k} [/mm]

In dem Fall kann ich das Wurzel- und Quotientenkriterium nicht benutzen und eine harmonische Reihe oder das Leibnizkriterium kann ich ebenfalls nicht nutzen, eine geom. Reihe ist es auch nicht, hab ich was übersehen oder gibts hier wieder einen neuen Trick?


        
Bezug
Konvergenz/Divergenz v. Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Mi 23.05.2012
Autor: reverend

Hallo Anazeug,

> Hab noch ne Reihe zur Übung:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2 + (-1)^k}{2^k}[/mm]
>
> In dem Fall kann ich das Wurzel- und Quotientenkriterium
> nicht benutzen und eine harmonische Reihe oder das
> Leibnizkriterium kann ich ebenfalls nicht nutzen, eine
> geom. Reihe ist es auch nicht, hab ich was übersehen oder
> gibts hier wieder einen neuen Trick?

Klar. Teile die Reihe in zwei auf, die eine mit den ungeraden k, die andere mit den geraden. Dann untersuche beide.

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Konvergenz/Divergenz v. Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 Mi 23.05.2012
Autor: Anazeug

Ok,

Fall 1: k = 2n [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2^k} [/mm] konvergiert laut WK gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

Fall 2: k = 2n +1 [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3}{2^k} [/mm] im Quotientenkriterium: [mm] \bruch{3}{2^{n+1}} \bruch{2^n}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2^n}{2^{n+1}} [/mm]  den letzten Bruch kann man sicher auch ganz leicht kürzen, bin mir grad nur nicht sicher wie ...

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz/Divergenz v. Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:31 Mi 23.05.2012
Autor: Valerie20

Hi!

> Ok,
>
> Fall 1: k = 2n [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2^k}[/mm]
> konvergiert laut WK gegen [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> Fall 2: k = 2n +1 [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3}{2^k}[/mm] im
> Quotientenkriterium: [mm]\bruch{3}{2^{n+1}} \bruch{2^n}{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{2^n}{2^{n+1}}[/mm]  den letzten Bruch kann man sicher
> auch ganz leicht kürzen, bin mir grad nur nicht sicher wie
> ...  

[mm]x^{a+b}=x^a \cdot x^b[/mm]


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Konvergenz/Divergenz v. Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 Mi 23.05.2012
Autor: Anazeug

Haha, okay, peinlich, sorry ...

also auch gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] somit konvergiert die Reihe gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] was < 1 ist, somit konvergiert sie absolut, nech?

Ich danke euch! :)

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Bezug
Konvergenz/Divergenz v. Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Mi 23.05.2012
Autor: MathePower

Hallo Anazeug,

> Haha, okay, peinlich, sorry ...
>  
> also auch gegen [mm]\bruch{1}{2}[/mm] somit konvergiert die Reihe
> gegen [mm]\bruch{1}{2}[/mm] was < 1 ist, somit konvergiert sie
> absolut, nech?
>


Siehe dazu diesen Artikel.


> Ich danke euch! :)


Gruss
MathePower

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Konvergenz/Divergenz v. Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Mi 23.05.2012
Autor: MathePower

Hallo Anazeug,

> Ok,
>
> Fall 1: k = 2n [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2^k}[/mm]
> konvergiert laut WK gegen [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> Fall 2: k = 2n +1 [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3}{2^k}[/mm] im
> Quotientenkriterium: [mm]\bruch{3}{2^{n+1}} \bruch{2^n}{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{2^n}{2^{n+1}}[/mm]  den letzten Bruch kann man sicher
> auch ganz leicht kürzen, bin mir grad nur nicht sicher wie
> ...  


Da hast Du etwas verwechselt:

Für k=2n lautet die Reihe doch [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3}{2^{2n}}[/mm]

Für k=2n+1 lautet die Reihe:[mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2^{2n+1}}[/mm]


Gruss
MathePower

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Konvergenz/Divergenz v. Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Mi 23.05.2012
Autor: Anazeug

Oh, okay, dann komme ich auf:

für k = 2n  mithilfe des Quotientenkriterium [mm] \bruch{2^{2n}}{2^{2n+1}} [/mm] konvergiert gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

für k = 2n+1 mithilfe des Quotientenkriteriums [mm] \bruch{2^{2n+1}}{2^{2n+2}} [/mm] ebenfalls auf [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ...

So stimmts dann aber?

Danke fürs Aufmerksam machen :)

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Konvergenz/Divergenz v. Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Mi 23.05.2012
Autor: MathePower

Hallo Anazeug,

> Oh, okay, dann komme ich auf:
>
> für k = 2n  mithilfe des Quotientenkriterium
> [mm]\bruch{2^{2n}}{2^{2n+1}}[/mm] konvergiert gegen [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  

Hier musst Du doch untersuchen: [mm]\bruch{2^{2n}}{2^{2\left\blue{(n+1}}\right\blue{)}}[/mm]


> für k = 2n+1 mithilfe des Quotientenkriteriums
> [mm]\bruch{2^{2n+1}}{2^{2n+2}}[/mm] ebenfalls auf [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ...

>


Ebenso hier: [mm]\bruch{2^{2n+1}}{2^{2\left\blue{(}n+1\right\blue{)}\red{+1}}[/mm]
  

Du kannst hier nur eine Aussage machen ob diese Reihen konvergieren.
Über den Grenzwert kannst Du mit dem Quotientenkriterium nichts aussagen.


> So stimmts dann aber?
>  
> Danke fürs Aufmerksam machen :)


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz/Divergenz v. Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:03 Mi 23.05.2012
Autor: Anazeug


> Hallo Anazeug,
>  
> > Oh, okay, dann komme ich auf:
> >
> > für k = 2n  mithilfe des Quotientenkriterium
> > [mm]\bruch{2^{2n}}{2^{2n+1}}[/mm] konvergiert gegen [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  >  
>
> Hier musst Du doch untersuchen:
> [mm]\bruch{2^{2n}}{2^{2\left\blue{(n+1}}\right\blue{)}}[/mm]

Was ist bei deiner Aussage anders als bei meiner?

> > für k = 2n+1 mithilfe des Quotientenkriteriums
> > [mm]\bruch{2^{2n+1}}{2^{2n+2}}[/mm] ebenfalls auf [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ...
>  >
>  
>
> Ebenso hier:
> [mm]\bruch{2^{2n+1}}{2^{2\left\blue{(}n+1\right\blue{)}\red{+1}}[/mm]

Hab da doch das gleiche stehen, nur dass ich die 1'sen zusammen addiert habe

> Du kannst hier nur eine Aussage machen ob diese Reihen
> konvergieren.
>  Über den Grenzwert kannst Du mit dem Quotientenkriterium
> nichts aussagen.

okay, da stimm ich dir zu, kenne nur die Bedingung, dass das ausgerechnete, nennen wirs q < 1 sein soll und das wird hier erfüllt, somit konvergiert die Reihe ... ?

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenz/Divergenz v. Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:13 Mi 23.05.2012
Autor: MathePower

Hallo Anazeug,

> > Hallo Anazeug,
>  >  
> > > Oh, okay, dann komme ich auf:
> > >
> > > für k = 2n  mithilfe des Quotientenkriterium
> > > [mm]\bruch{2^{2n}}{2^{2n+1}}[/mm] konvergiert gegen [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  >  >  
> >
> > Hier musst Du doch untersuchen:
> > [mm]\bruch{2^{2n}}{2^{2\left\blue{(n+1}}\right\blue{)}}[/mm]
>  
> Was ist bei deiner Aussage anders als bei meiner?
>  


Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Reihengleider
stimmt nach Deiner Rechnung nicht.


> > > für k = 2n+1 mithilfe des Quotientenkriteriums
> > > [mm]\bruch{2^{2n+1}}{2^{2n+2}}[/mm] ebenfalls auf [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ...
>  >  >
>  >  
> >
> > Ebenso hier:
> >
> [mm]\bruch{2^{2n+1}}{2^{2\left\blue{(}n+1\right\blue{)}\red{+1}}[/mm]
>  
> Hab da doch das gleiche stehen, nur dass ich die 1'sen
> zusammen addiert habe
>  
> > Du kannst hier nur eine Aussage machen ob diese Reihen
> > konvergieren.
>  >  Über den Grenzwert kannst Du mit dem
> Quotientenkriterium
> > nichts aussagen.
>  
> okay, da stimm ich dir zu, kenne nur die Bedingung, dass
> das ausgerechnete, nennen wirs q < 1 sein soll und das wird
> hier erfüllt, somit konvergiert die Reihe ... ?


Ja, die Reihe konvergiert.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenz/Divergenz v. Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:16 Mi 23.05.2012
Autor: Anazeug

Ich danke dir! :)

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