Konvergenz Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Rudy |
| Aufgabe | Untersuchen sie die rekursiv definierte Folge auf Konvergenz und geben sie dann gegebenenfalls den Grenzwert an:
[mm] a_1:=1
[/mm]
[mm] a_{n+1}:= \sqrt{4a_n} [/mm] |
Hallo. Blöde Frage, aber wie macht man diese Aufgaben?
Ich habe erst einmal philosophiert
Prinzipiell folgt doch aus $ [mm] a_n\le [/mm] $ 1 dass $ [mm] a_{n+1} \le [/mm] $ 1,
Muss ich jetzt noch zeigen, die Folge monoton wächst. also $ [mm] a_n
Ne, ich glaube, ich habe das alles komplett falsch verstanden :(
Hilfe :(
Lieben Gruß
Rudy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rudy!
Zusätzlich zur Monotonie musst Du noch zeigen, dass diese Folge auch beschränkt ist: [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ 4$ .
Edit: Hier war doch glatt das falsche Ungleichheitszeichen drin. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") Loddar
Daraus folgt dann in Verbindung mit der Monotonie die Konvergenz.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Rudy |
| Aufgabe | | Zu Zeigen, dass [mm] a_n [/mm] mit $ [mm] a_{n+1}:= \sqrt{4a_n} [/mm] $ beschränkt ist. |
Hallo.
Und wie soll man das allgemein zeigen?
Soll ich das erst einmal nach [mm] a_n [/mm] auflösen
$ [mm] a_n:= \br{a_{n+1}^2}{4} [/mm] $
Und dann
| [mm] \br{\br{a{n+1}}{4a_{n+1]}}}{\br{a_{n+1}^2}{4}}| [/mm] $
und so weiter?
Oder bin ich auf dem Holzweg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Rudy!
Die Beschränktheit kannst Du ziemlich schnell über eine vollständige Induktion zeigen mit [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 4$ .
Damit ist es fast ein Zweizeiler ...
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rudy!
Mit der Monotonie und der Beschränktheit wissen wir auch, dass diese Folge konvergiert; d.h. der Grenzwert [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ =: \ a$ existiert.
Mit dem Ansatz [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ =: \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] \ = \ a$ wird dann in der Rekursionsvorschrift:
[mm] $a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{4*a_n}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{4*\limes_{n\rightarrow\infty}a_n}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $a \ = \ [mm] \wurzel{4*a}$
[/mm]
Nun nach $a \ = \ ...$ auflösen (dabei entfällt eine der beiden rechnerischen Lösungen, warum?).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Rudy |
Guten Morgen
Wie kommt man eigentlich auf das:
$ [mm] a_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 4 $ ?
Und wie genau geht das mit vollständiger Induktion?
Wie haben $ [mm] a_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 4 $ und $ [mm] a_{n+1}:= \sqrt{4a_n} [/mm] $
[mm] a_1 [/mm] = 1 < 4, stimmt
und nun n -> n+1
[mm] a_{n+1} \le [/mm] 4
Nach Induktionsannahme für [mm] a_{n+1}
[/mm]
[mm] \sqrt{4a_n} \le [/mm] 4
quadriert [mm] 4a_n \le [/mm] 16
[mm] a_n \le [/mm] 4
Ich habe auch mal eine Frage zur Monotonie, ich sagte ja "Prinzipiell folgt doch aus $ [mm] a_n\le [/mm] $ 1 dass $ [mm] a_{n+1} \le [/mm] $ 1, " Stimmt das überhaupt?
Ich bin mir jetzt durch dieses [mm] a_n \le [/mm] 4 gar nicht mal so sicher, dass ich darauf schließen konnte, dass [mm] a_n \le [/mm] 1 ist. Diese Annahme von mir war doch falsch, oder? Oder war sie richtig - dann könnte ich sie jetzt aber nicht mehr begründen. Hat dazu jemand einen Kommentar?
Gruß,
Rudy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rudy!
> Wie kommt man eigentlich auf das: [mm]a_n \ \le \ 4[/mm] ?
Hier habe ich mal etwas ausprobiert und durch Einsetzen festgestellt, welcher Grenzwert bzw. welche Schranke vorliegt.
> quadriert [mm]4a_n \le[/mm] 16
> [mm]a_n \le[/mm] 4
Du verwendest hier die Induktionsvoraussetzung [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 4$ gar nicht.
[mm] $a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{4*a_n} [/mm] \ \ [mm] \text{IV} [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ \ [mm] \wurzel{4*\red{4}} [/mm] \ = \ ...$
> Ich habe auch mal eine Frage zur Monotonie, ich sagte ja
> "Prinzipiell folgt doch aus [mm]a_n\le[/mm] 1 dass [mm]a_{n+1} \le[/mm] 1, "
Andersrum: Es gilt ja [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ 1$ !!
Und das kann man dann anolog zu oben mittels vollständiger Induktion zeigen (ist aber m.E. überflüssig durch die nachgewiesene steigende Monotonie).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Rudy |
Hallo
> $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ $ a \ = \ [mm] \wurzel{4\cdot{}a} [/mm] $
> Nun nach $ a \ = \ ... $ auflösen (dabei entfällt eine der beiden rechnerischen Lösungen, warum?).
Nach quadrieren und PQFormel komme ich auf [mm] a_1 [/mm] = 0 und einmal [mm] a_2 [/mm] = 4
Weil [mm] a_{n+1} \le a_{n} [/mm] ist, ist der Grenzwert a=4.
Oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rudy!
Deine Rechnung und Dein Ergebnis sind richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Allerdings gilt natürlich: [mm] $a_{n+1} [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ [mm] a_n$ [/mm] (Folge monoton steigend!)
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Rudy |
| Aufgabe | Untersuchen sie die rekursiv definierte Folge auf Konvergenz und geben sie dann gegebenenfalls den Grenzwert an:
$ [mm] a_1:=1 [/mm] $
$ [mm] a_{n+1}:= \sqrt{4a_n} [/mm] $ |
Hallo.
Also diese aufgabe wirft bei mir immer neue Fragezeichen auf. Auf das $ [mm] a_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 4 $kam man ja, indem man den Grenzwert schon ausgerechnet hat. Nur warum soll [mm] a_n [/mm] nicht größer gleich 4 sein, also von oben gegen die vier laufen? Weil [mm] a_1 [/mm] = 1 war?
Und dann noch einmal zur Monotonie.
Da gilt ja,
- monoton wachsend, wenn [mm] a_n \le a_{n+1}
[/mm]
- monoton fallend, wenn [mm] a_n \ge a_{n+1}
[/mm]
Warum soll jetzt $ [mm] a_{n+1} [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ [mm] a_n [/mm] $ sein? SChätze ich das hier: [mm] $a_{n+1}:= \sqrt{4a_n}$ [/mm] ab? Wobei mir da nicht ersichtlich wäre, warum dann [mm] a_{n+1} \ge a_n [/mm] sein sollte.
Und dann auch bei der vollständigen Induktion,
$ [mm] a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{4\cdot{}a_n} [/mm] \ \ [mm] \text{IV} [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ \ [mm] \wurzel{4\cdot{}\red{4}} [/mm] \ = \ ... $
gehört da nicht nur noch eine 16 hin und schon ist man fertig? Dass [mm] $a_{n+1}< [/mm] 16$ ist, ergibt sich aus dem Grenzwert?
Sorry, aber da habe ich ein großes Fragezeichen im Gesicht.
Aber den Grenzwert 0 können wir ausschließen, weil wir sagten, dass $ [mm] a_{n+1} \le a_{n} [/mm] $ und somit monoton steigend ist, heißt also [mm] $a_1 [/mm] < [mm] a_n [/mm] < [mm] a_{n+1}\le [/mm] 4$
Das habe ich schon mal verstanden? 
Danke für die viele Hilfe!
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Behauptung: 0 < [mm] a_n \le [/mm] 4 für alle n.
IA. 0 < [mm] a_1=1 \le [/mm] 4
IS. [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{4a_n} [/mm] > [mm] \wurzel{4*0} [/mm] = 0
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{4a_n} \le \wurzel{4*4}=\wurzel{16}=4
[/mm]
Die reelle Zahlenfolge ist beschränkt.
Behauptung: Die Folge ist monoton wachsend.
Aus 0 < [mm] a_n \le [/mm] 4 folgt 0 < [mm] a_{n}^2 \le 4a_n [/mm] folgt 0 < [mm] a_n \le \wurzel{4a_n} [/mm] = [mm] a_{n+1}
[/mm]
Also ist die Folge konvergent. Der Grenzwert heiße a. Dann gilt:
a = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{4a_n} [/mm] = [mm] \wurzel{4*\limes_{n\rightarrow\infty}a_n} [/mm] = [mm] \wurzel{4a}
[/mm]
Daraus folgt a=0 oder a=4. Der Fall a=0 ist nicht möglich, da [mm] a_1 [/mm] = 1 und die Folge monoton wachsend ist. Also ist der Grenzwert der Folge a=4.
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