Konvergenz Folgen, Wahl n_0 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 So 13.04.2014 | | Autor: | drossel |
Hallo. Also ich habe eine kleine Frage zur Wahl von [mm] n_0\in \mathbb{N} [/mm] bei der Konvergenz von Folgen, hier am Beispiel von [mm] \frac{1}{n} =a_n. [/mm] Generell wird bei uns im Ana1skript die Existenz immer mit dem archimedischen Axiom gezeigt. Also hier zb Sei [mm] \epsilon [/mm] >0, [mm] |\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}<\epsilon
[/mm]
Archimedisches Axiom: zu 1, [mm] \epsilon [/mm] >0 existiert, da [mm] \mathbb{R} [/mm] archimedisch angeordnet, ein [mm] n_0\in \mathbb{N}, [/mm] s.d. [mm] 1
Somit gilt:
Also: Für [mm] \epsilon [/mm] >0 existiert, da [mm] \mathbb{R} [/mm] archimedisch angeordnet, ein [mm] n_0 \in \mathbb{N}, [/mm] s.d. [mm] |\frac{1}{n}-0|=|\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}<\epsilon [/mm] für alle [mm] n\ge n_0 [/mm] . Ich verstehe das auch (und dass [mm] n_0 [/mm] von [mm] \epsilon [/mm] abhängt)
Meine Frage ist, spricht irgendwas dagegen das nicht mit dem archimedischen Axiom zu begründen und hier zb [mm] n_0= \lceil \frac{1}{\epsilon}\rceil [/mm] +1 zu wählen? Hier ist [mm] \lceil \frac{1}{\epsilon}\rceil =min\{z\in \mathbb{N} : z\ge \frac{1}{\epsilon} \}.
[/mm]
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 So 13.04.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo. Also ich habe eine kleine Frage zur Wahl von [mm]n_0\in \mathbb{N}[/mm]
> bei der Konvergenz von Folgen, hier am Beispiel von
> [mm]\frac{1}{n} =a_n.[/mm] Generell wird bei uns im Ana1skript die
> Existenz immer mit dem archimedischen Axiom gezeigt. Also
> hier zb Sei [mm]\epsilon[/mm] >0,
> [mm]|\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}<\epsilon[/mm]
> Archimedisches Axiom: zu 1, [mm]\epsilon[/mm] >0 existiert, da
> [mm]\mathbb{R}[/mm] archimedisch angeordnet, ein [mm]n_0\in \mathbb{N},[/mm]
> s.d. [mm]1
> Somit gilt:
> Also: Für [mm]\epsilon[/mm] >0 existiert, da [mm]\mathbb{R}[/mm]
> archimedisch angeordnet, ein [mm]n_0 \in \mathbb{N},[/mm] s.d.
> [mm]|\frac{1}{n}-0|=|\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}<\epsilon[/mm] für
> alle [mm]n\ge n_0[/mm] . Ich verstehe das auch (und dass [mm]n_0[/mm] von
> [mm]\epsilon[/mm] abhängt)
> Meine Frage ist, spricht irgendwas dagegen das nicht mit
> dem archimedischen Axiom zu begründen
Vermutlich nicht: Der Nachweis, dass die Folge, die konstant $=0$ ist, eine Nullfolge ist, muesste auch ohne diese Axiom machbar sein.
> und hier zb [mm]n_0= \lceil \frac{1}{\epsilon}\rceil[/mm]
> +1 zu wählen? Hier ist [mm]\lceil \frac{1}{\epsilon}\rceil =min\{z\in \mathbb{N} : z\ge \frac{1}{\epsilon} \}.[/mm]
>
Das Minimum der Menge existiert nur dann, wenn die Menge nicht leer ist. Nicht leer ist sie wegen des Archimedischen Axioms.
> Grüße
Ohne es genau ueberlegt zu haben: [mm] $\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}= [/mm] 0$ ist bestimmt aequivalent zum Archimedischen Axiom.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 So 13.04.2014 | | Autor: | drossel |
Hallo
dankeschön für die hilfreiche Antwort!
Oh, dann braucht man ja für die Wahl wie ich [mm] n_0 [/mm] oben explizit gewählt habe auch das archimedische Axiom.
Danke.
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 So 13.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo drossel,
Das Archimedische Axiom benötigen wir nur indirekt.
Zu zeigen: [mm] a_n:=\frac{1}{n} [/mm] ist eine Nullfolge.
Beweis:
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig. Wir wählen [mm] n_0\in\IN [/mm] mit [mm] n_0>\frac{1}{\epsilon}, [/mm] dann gilt für alle [mm] $n\ge n_0$:
[/mm]
[mm] |a_n-0|=|\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}\le\frac{1}{n_0}<\frac{1}{\frac{1}{\epsilon}}=\epsilon.
[/mm]
Das Archimedische Axiom wird benötigt für die Existenz von
einem [mm] n_0\in\IN [/mm] mit [mm] n_0>\frac{1}{\epsilon}. [/mm] Bei mir selbst kam der Funken erst
als ich verstanden habe was dieses [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] ist.
Ist dir das klar? Wenn nicht, dann frag ruhig. In diesem
Zusammenhang kannst du dir auch Gedanken machen was dieses
Epsilon ausmacht. Es ist im Grunde wie ein Spiel. Ich gebe
dir ein Epsilon vor und du gibst mir das [mm] n_0\in\IN. [/mm] 
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:43 Mo 14.04.2014 | | Autor: | drossel |
Hi
danke für dein Post. Ja, das ist mir klar geworden, bei mir kam der Funken auch nicht sofort.
Lg
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