Konvergenz Funktionenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Mo 07.07.2014 | | Autor: | Qight |
| Aufgabe | Für n [mm] \in \IN [/mm] seien die Abbildungen [mm] f_n [/mm] , [mm] g_n [/mm] , [mm] h_n [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm] definiert durch
[mm] f_n(x) = x + \bruch{1}{n} [/mm] , [mm] g(x)_n = \bruch{1}{n} * f_n(x) [/mm] , [mm] h_n(x) = (f_n(x))^{2} [/mm] .
i) Zeigen Sie, dass die Folgen [mm] (f_n)_{n \in \IN} [/mm] , [mm] (g_n)_{n \in \IN} [/mm] , [mm] (h_n)_{n \in \IN} [/mm] punktweise auf ganz [mm] \IR [/mm] konvergieren.
ii) Welche dieser Folgen konvergieren gleichmäßig auf [mm] \IR [/mm] ? |
Ich denke, dass ich sie richtig bearbeitet habe, mich wundert nur mein Ergebnis zu Teil ii).
i)
[mm] f_n(x) = x + \bruch{1}{n}[/mm] , sei [mm] f(x) = \limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x) \Rightarrow f(x) = x[/mm]
[mm] g_n(x) = \bruch{1}{n} * f_n(x) = \bruch{1}{n} * x + \bruch{1}{n^{2}} [/mm] , sei [mm] g(x) = \limes_{n\rightarrow\infty} g_n(x) \Rightarrow g(x) = 0 [/mm]
[mm] h_n(x) = (f_n(x))^{2} = x^{2} + 2 * \bruch{x}{n} + \bruch{1}{n^{2}} [/mm] , sei [mm] h(x) = \limes_{n\rightarrow\infty} h_n(x) \Rightarrow h(x) = x^{2} [/mm]
Damit dürfte ich i) ja richtig beantwortet haben.
ii)
Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0.
[mm] |f(x) - f_n(x)| < \epsilon [/mm]
[mm] \gdw |x - x + \bruch{1}{n} | = | \bruch{1}{n} | < \epsilon [/mm]
also ist die Funktionenfolge über [mm] \IR [/mm] glm. konvergent
[mm] |g(x) - g_n(x) | < \epsilon [/mm]
[mm] \gdw |0 - (\bruch{1}{n} * x + \bruch{1}{n^{2}}) | = | - \bruch{1}{n} * x - \bruch{1}{n^{2}} | \le | - \bruch{1}{n} * x - 1 | [/mm]
da nicht [mm] \forall \epsilon [/mm] diese Ungleichung gilt [mm] \Rightarrow [/mm] nicht glm. konvergent.
[mm] |h(x) - h_n(x) | < \epsilon [/mm]
[mm] |x^{2} - ( x^{2} + 2 * \bruch{x}{n} + \bruch{1}{n^{2}} ) | = | - 2 * \bruch{x}{n} - \bruch{1}{n^{2}} | \le | - 2 * \bruch{x}{n} - 1 | [/mm]
da nicht [mm] \forall \epsilon [/mm] diese Ungleichung gilt [mm] \Rightarrow [/mm] nicht glm. konvergent.
Dürfte doch soweit alles stimmen, oder?
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Hiho,
deine Ansätze sind alle gut und richtig, du hast bei den letzten Aufgaben aber mehrere Fehler im gleichen Schritt gemacht:
> | - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * x - [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] | [mm] \le [/mm] | - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * x - 1 |[/mm]
1.) Diese Abschätzung ist im Allgemeinen falsch.
2.) Selbst wenn sie stimmen würde, hättest du nur gezeigt, dass du mit deiner Abschätzung nicht zeigen könntest, dass der Betrag gleichmäßig kleiner als ein beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] wird.
Mit so einer Abschätzung könnte ich auch argumentieren: 1 [mm] \le [/mm] 1000 => 1000 ist immer größer als 2, also gilt nie $1 [mm] \le [/mm] 2$, was natürlich quatsch ist.
3.) wenn du zeigen willst, dass etwas NICHT gleichmäßig konvergiert, musst du eben zeigen, dass es ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gibt, so dass für alle [mm] n\in\IN [/mm] ein x existiert, so dass [mm] $|f_n(x) [/mm] - f| > [mm] \varepsilon$
[/mm]
Konstruiere dir also oben jeweils so ein x (was natürlich im Allgemeinen von n abhängen wird)
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Mo 07.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Nutze doch (wenn bekannt) folgendes um die gleichmäßige Konvergenz zu zeigen:
[mm] $\lim_{n\to\infty} ||f_n-f||_{\infty}=0$
[/mm]
Was meiner Meinung nach bedeutend einfacher sein sollte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Mo 07.07.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
das läuft aber aufs selbe hinaus, denn wie willst du [mm] $||f_n [/mm] - [mm] f||_\infty \not\to [/mm] 0$ zeigen?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Mo 07.07.2014 | | Autor: | Qight |
Hallo Gono,
Danke erstmal für deine schnelle Antwort. Habe mir fast schon gedacht, dass ich bei der ii) Fehler begangen habe.
Meine Abschätzung hatte die Idee, dass ich den hinteren Bruch vereinfache, indem ich die größtmögliche Option davon verwende (sprich n= |1| ). Damit wären also alle kleiner. Wenn diese Abschätzung aber falsch ist, danke ich dir über die Verbesserung.
Das ich zeigen soll, dass $ [mm] |f_n(x) [/mm] - f| > [mm] \varepsilon [/mm] $ habe ich damit eigentlich versucht.
Durch die Abschätzung würde für [mm] | -\bruch{1}{n} * x - 1| [/mm] ja mit n [mm] \to \infty [/mm] | -1| sein. Damit gibt es also [mm] \epsilon [/mm] für die das gilt.
Ich schaue mal ob ich es dann auch ohne die falsche Abschätzung hinbekomme.
Gruß
Qight
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:54 Di 08.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Zu [mm] (g_n):
[/mm]
Betrachte mal die Folge [mm] (g_n(n))
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Di 08.07.2014 | | Autor: | Qight |
Hallo Fred,
Also ich habe mal die Aufgaben etwas anders versucht zu lösen. Eben auch mit dem Fall x = n.
[mm] | g(x) - g_n(x) | = | 0 - ( \bruch{x}{n} + \bruch{1}{n^{2}} ) | = | \bruch{-x*n^{2} - n}{n^{3}} | \le | \bruch{-x*n^{2}}{n^{3}} | = \bruch{| -x |}{n} [/mm]
Sei nun x = n
[mm] \Rightarrow \bruch{| -n |}{n} = 1 [/mm] , da dass aber [mm] \forall \epsilon > 0 [/mm] gelten muss, folgt:
[mm] 1 > \epsilon [/mm] mit [mm] 0 \le \epsilon < 1[/mm] und damit nicht für alle [mm] \epsilon. [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] nicht glm. konvergent.
[mm] | h(x) - h_n(x) | = | x^{2} - ( x^2 + \bruch{2*x}{n} + \bruch{1}{n^{2}} = | \bruch{-2*x*n^{2} - n}{n^3} | \le | \bruch{-2*x*n^{2}}{n^3} | = \bruch{| -2*x |}{n} [/mm]
Sei nun x = n
Ähnliche Begründung, nur das es sogar 2 ist. Damit folgt also auch, dass es nicht glm. konvergent ist.
Auch die Abschätzungen dürften diesmal alle richtig sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Di 08.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> Also ich habe mal die Aufgaben etwas anders versucht zu
> lösen. Eben auch mit dem Fall x = n.
>
> [mm]| g(x) - g_n(x) | = | 0 - ( \bruch{x}{n} + \bruch{1}{n^{2}} ) | = | \bruch{-x*n^{2} - n}{n^{3}} | \le | \bruch{-x*n^{2}}{n^{3}} | = \bruch{| -x |}{n}[/mm]
Obiges " [mm] \le [/mm] ist doch völlig falsch !!
[mm] $|\bruch{-x*n^{2} - n}{n^{3}} [/mm] | [mm] \le [/mm] | [mm] \bruch{-x*n^{2}}{n^{3}} [/mm] | $
ist für jedes x [mm] \ge [/mm] 0 falsch.
Es ist doch [mm] |g(n)-g_n(n)|=1+\bruch{1}{n^2}
[/mm]
Daran sieht man doch, dass [mm] (g_n) [/mm] nicht glm. auf [mm] \IR [/mm] konvergieren kann
FRED
>
> Sei nun x = n
> [mm]\Rightarrow \bruch{| -n |}{n} = 1[/mm] , da dass aber [mm]\forall \epsilon > 0[/mm]
> gelten muss, folgt:
> [mm]1 > \epsilon[/mm] mit [mm]0 \le \epsilon < 1[/mm] und damit nicht für
> alle [mm]\epsilon.[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] nicht glm. konvergent.
>
> [mm]| h(x) - h_n(x) | = | x^{2} - ( x^2 + \bruch{2*x}{n} + \bruch{1}{n^{2}} = | \bruch{-2*x*n^{2} - n}{n^3} | \le | \bruch{-2*x*n^{2}}{n^3} | = \bruch{| -2*x |}{n}[/mm]
>
> Sei nun x = n
> Ähnliche Begründung, nur das es sogar 2 ist. Damit folgt
> also auch, dass es nicht glm. konvergent ist.
> Auch die Abschätzungen dürften diesmal alle richtig sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Di 08.07.2014 | | Autor: | Qight |
Ja stimmt, die Abschätzung ist mit dem Betrag natürlich absoluter Unsinn. Dafür entschuldige ich mich, wo hatte ich da nur meine Gedanken.
In beiden Fällen argumentiere ich mit [mm] x = n [/mm] .
[mm] | g(x) - g_n(x) | = 1 + \bruch{1}{n^{2}} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] glm. Konvergenz in [mm] \IR.
[/mm]
[mm] | h(x) - h_n(x) | = 2 + \bruch{1}{n^{2}} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] glm. Konvergenz in [mm] \IR. [/mm]
So dürfte es dann ja aber stimmen. Danke für die Hilfe!
Gruß
Qight
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 Di 08.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja stimmt, die Abschätzung ist mit dem Betrag natürlich
> absoluter Unsinn. Dafür entschuldige ich mich, wo hatte
> ich da nur meine Gedanken.
> In beiden Fällen argumentiere ich mit [mm]x = n[/mm] .
> [mm]| g(x) - g_n(x) | = 1 + \bruch{1}{n^{2}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] glm. Konvergenz in [mm]\IR.[/mm]
Eben nicht !!! [mm] (g_n) [/mm] konvergiert auf [mm] \IR [/mm] nicht glm.
>
> [mm]| h(x) - h_n(x) | = 2 + \bruch{1}{n^{2}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] glm. Konvergenz in [mm]\IR.[/mm]
Eben nicht !!! [mm] (h_n) [/mm] konvergiert auf [mm] \IR [/mm] nicht glm.
FRED
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> So dürfte es dann ja aber stimmen. Danke für die Hilfe!
>
> Gruß
> Qight
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Di 08.07.2014 | | Autor: | Qight |
Sorry, meinte ich natürlich. Boah mache ich gerade Fehler, natürlich konvergieren sie NICHT.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:52 Di 08.07.2014 | | Autor: | Qight |
Also, sie konvergieren nicht gleichmäßig, dass meinte ich natürlich.
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