Konvergenz Gegenbeispiel < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 Mo 26.05.2008 | | Autor: | vju |
| Aufgabe | 1. Sei die Funktion [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} [/mm] (f(x) + g(x)) konvegent.
Folgt hieraus, dass entweder [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}f(x) [/mm] oder [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}g(x) [/mm] konvergieren? |
Hallo Leute,
Ich bin beim überarbeiten unseres Skriptes auf diese Aufgabe hier gestoßen. Ich schätze mal, dass man das nicht folgern kann und grübel schon ein bischen länger an einem Gegenbeispiel. Es will mir aber leider keins einfallen.
Liebe Grüße
~ Vju
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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> 1. Sei die Funktion [mm]\limes_{x\rightarrow\x_0}(f(x)[/mm] + g(x))
> konvegent.
> Folgt hieraus, dass entweder [mm]\limes_{x\rightarrow\x_0}f(x)[/mm]
> oder [mm]\limes_{x\rightarrow\x_0}g(x)[/mm] konvergieren?
> Hallo Leute,
> Ich bin beim überarbeiten unseres Skriptes auf diese
> Aufgabe hier gestoßen. Ich schätze mal, dass man das nicht
> folgern kann und grübel schon ein bischen länger an einem
> Gegenbeispiel. Es will mir aber leider keins einfallen.
Hallo,
kennst Du irgendeine Funktion f, die gegen 0 nicht konvergiert?
Nimm dann g:=-f.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mo 26.05.2008 | | Autor: | vju |
Vielen Dank für die Antwort Angela. Ich habe grade gemerkt, dass ich mich bei der Aufgabe verschrieben hatte.
Es sollte nicht gelten [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] sondern [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}.
[/mm]
Ich habe jetzt noch veständnis Probleme was das [mm] \limes_{x \rightarrow\ x_0} [/mm] angeht.
Für [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] cos(x) divergiert die Funktion, weil man keinen genauen Grenzwert angeben kann.
Wenn ich nun [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} [/mm] cos(x) habe, dann ist Funktion doch konvergent und es wäre [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} [/mm] cos(x) = [mm] cos(x_0) [/mm] oder?
Ich würde sonst halt f(x) = cos(x) und g(x) = - cos(x) wählen.
Liebe Grüße
~ Vju
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die Antwort Angela. Ich habe grade gemerkt,
> dass ich mich bei der Aufgabe verschrieben hatte.
>
> Es sollte nicht gelten [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] sondern
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0}.[/mm]
>
> Ich habe jetzt noch veständnis Probleme was das [mm]\limes_{x \rightarrow\ x_0}[/mm]
> angeht.
>
> Für [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] cos(x) divergiert die
> Funktion, weil man keinen genauen Grenzwert angeben kann.
man kann nicht nur keinen genauen Grenzwert angeben, man kann überhaupt keinen Grenzwert angeben. Das [mm] $\lim_{x \to \infty} \cos(x)$ [/mm] nicht existiert, kann man sich mithilfe der Nullstellen und der Maximalstellen von [mm] $\cos(.)$ [/mm] leicht überlegen bzw. durch Betrachtung der Folgen [mm] $x_n:=\frac{\pi}{2}+n*\pi$ [/mm] und [mm] $y_n:=n*2\pi$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$)...
[/mm]
> Wenn ich nun [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0}[/mm] cos(x) habe, dann
> ist Funktion doch konvergent und es wäre
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0}[/mm] cos(x) = [mm]cos(x_0)[/mm] oder?
Wenn Du weißt, dass [mm] $\cos(.)$ [/mm] stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] ist (d.h., dass [mm] $\cos(.)$ [/mm] stetig in jeder Stelle [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] ist), so ist das gerade eine Aussage aus der Analysis. Denn im Prinzip "ziehst Du den [mm] $\lim...$" [/mm] in die Funktion:
[mm] $\lim_{x \to x_0}\cos(x)=\cos(\lim_{x \to x_0}x)=\cos(x_0)$ [/mm] (die erste Gleichheit gilt halt wegen der Stetigkeit in der Stelle [mm] $x_0$, [/mm] die zweite ist eine Banalität)...
> Ich würde sonst halt f(x) = cos(x) und g(x) = - cos(x)
> wählen.
Ja, wie Du schon sagst: "...sonst..." Wenn bei Dir [mm] $\lim_{x \to x_0}$ [/mm] steht, ist das natürlich nicht das, was Du suchst. Ich gebe Dir mal ein Beispiel:
Für die auf [mm] $\IR$ [/mm] definierte Funktion
[mm] $f(x):=\begin{cases} \sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{ für }x\not=0 \\ 0, & \mbox{ für } x=0 \end{cases}$ [/mm]
existiert [mm] $\lim_{x \to 0}f(x)$ [/mm] nicht (dazu überlege Dir vll. zunächst: [mm] $\lim_{x \to 0 \mbox{ mit } x > 0}f(x)$ [/mm] existiert nicht; Tipp dazu: Betrachte wieder die Nullstellen bzw. Extremstellen, insbesondere "rechts und nahe der $0$ gelegen").
Jetzt betrachte einfach $g:=-f$, und für den Fall [mm] $x_0=0$ [/mm] hast Du damit ein Beispiel, wo in trivialer Weise [mm] $\lim_{x \to 0}(f(x)+g(x))=0$, [/mm] aber weder [mm] $\lim_{x \to 0}f(x)$ [/mm] noch [mm] $\lim_{x \to 0}g(x)$ [/mm] existieren.
Für allgemeines [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] kann man das ganze auf den obigen zurückführen, nämlich, indem man sich überlegt:
Wenn ich eine Funktion $r(x)$ gegeben habe, wie hängt dann die Funktion [mm] $s(x):=r(x-x_0)$ [/mm] mit dieser zusammen...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Mo 26.05.2008 | | Autor: | vju |
Hallo,
Ich glaube ich habe das mit dem [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} [/mm] verstanden. Es muss immer der Linksseitige Häufungspunkt anders sein wie der Rechtsseitige Häufungspunkt? Also habe ich in diesem doch Fall:
[mm] f(x):=\begin{cases} \sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{ für }x\not=0 \\ 0, & \mbox{ für } x=0 \end{cases} [/mm] und
[mm] g(x):=\begin{cases} -\sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{ für }x\not=0 \\ 0, & \mbox{ für } x=0 \end{cases}
[/mm]
Kann man das ganze denn auch auf Produkte übertragen?
Da würde ich dann z.B. f(x) und g(x) so wählen:
[mm] f(x):=\begin{cases} \sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{ für }x\not=0 \\ 0, & \mbox{ für } x=0 \end{cases}
[/mm]
[mm] g(x):=\begin{cases} \sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{ für }x=0 \\ 0, & \mbox{ für } x\not=0 \end{cases}
[/mm]
Liebe Grüße
~ Vju
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Mo 26.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> Ich glaube ich habe das mit dem [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0}[/mm]
> verstanden. Es muss immer der Linksseitige Häufungspunkt
> anders sein wie der Rechtsseitige Häufungspunkt? Also habe
> ich in diesem doch Fall:
>
> [mm]f(x):=\begin{cases} \sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{ für }x\not=0 \\ 0, & \mbox{ für } x=0 \end{cases}[/mm]
> und
>
> [mm]g(x):=\begin{cases} -\sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{ für }x\not=0 \\ 0, & \mbox{ für } x=0 \end{cases}[/mm]
>
> Kann man das ganze denn auch auf Produkte übertragen?
>
> Da würde ich dann z.B. f(x) und g(x) so wählen:
>
> [mm]f(x):=\begin{cases} \sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{ für }x\not=0 \\ 0, & \mbox{ für } x=0 \end{cases}[/mm]
>
> [mm]g(x):=\begin{cases} \sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{ für }x=0 \\ 0, & \mbox{ für } x\not=0 \end{cases}[/mm]
>
> Liebe Grüße
>
> ~ Vju
Du brauchst nicht einmal solche künstlich aufgespalteten Funktionsvorschriften.
Nimm [mm] f(x)=\bruch{1}{x-x_0} [/mm] und
[mm] g(x)=\bruch{-1}{x-x_0}
[/mm]
Zwar existieren beide Grenzwerte für x gegen [mm] x_0 [/mm] nicht, aber die Summe f(x)+g(x) hat den konstanten Wert 0 und damit auch einen Grenzwert.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mo 26.05.2008 | | Autor: | vju |
Ja, vielen Dank eure Hilfe. Ich habe das ganze mit der Summe jetzt verstanden.
Könnt ihr mir noch was zu den Produkten aus beiden sagen?
Kann ich das Beispiel für f(x) und g(x) aus meiner oberen Antwort so wählen (Einfaches Ja/Nein würde mir schon reichen^_^)?
Liebe Grüße
~ Vju
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 22:03 Mo 26.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Ja, vielen Dank eure Hilfe. Ich habe das ganze mit der
> Summe jetzt verstanden.
>
> Könnt ihr mir noch was zu den Produkten aus beiden sagen?
> Kann ich das Beispiel für f(x) und g(x) aus meiner oberen
> Antwort so wählen (Einfaches Ja/Nein würde mir schon
> reichen^_^)?
>
> Liebe Grüße
>
> ~ Vju
Ich denke, dein Beispiel funktioniert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Mo 26.05.2008 | | Autor: | vju |
Vielen Dank :)
Damit bin ich heute wieder ein bischen schlauer *gg*
*Knuff*
~ Vju
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 03:13 Di 27.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
@ Abakus: Bitte Edit unten lesen.
> > Ja, vielen Dank eure Hilfe. Ich habe das ganze mit der
> > Summe jetzt verstanden.
> >
> > Könnt ihr mir noch was zu den Produkten aus beiden sagen?
> > Kann ich das Beispiel für f(x) und g(x) aus meiner oberen
> > Antwort so wählen (Einfaches Ja/Nein würde mir schon
> > reichen^_^)?
> >
> > Liebe Grüße
> >
> > ~ Vju
>
> Ich denke, dein Beispiel funktioniert.
>
nein, denn das ist ja mein $f(x)$ (siehe hier unten auch [mm] $(\star)$), [/mm] und wenn er $g=f$ setzt, so existiert auch mal wieder [mm] $\lim_{x \to 0}(f(x)*f(x))$ [/mm] nicht (man betrachte wieder die oben von mir erwähnten Folgen [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(y_n)_{n \in \IN}$). [/mm]
Es gibt ein viel schöneres Beispiel:
[mm] $f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in \IQ \\ 1, & \mbox{für } x \in \IR \setminus \IQ \end{cases}$
[/mm]
[mm] $g(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in \IQ \\ 0, & \mbox{für } x \in \IR \setminus \IQ \end{cases}$
[/mm]
Und hier braucht man noch nicht mal speziell [mm] $x_0=0$ [/mm] betrachten, sondern kann für jedes [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] zeigen:
[mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)$ [/mm] und [mm] $\lim_{x \to x_0}g(x)$ [/mm] existieren nicht, aber wegen $f*g=0$ (d.h. $f(x)*g(x)=0$ für alle $x [mm] \in \IR$) [/mm] ist [mm] $\lim_{x \to x_0}(f(x)*g(x))=0$.
[/mm]
Übrigens @vju:
Bei [mm] $(\star)$ [/mm] $f$ mit [mm] $f(x):=\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] für $x [mm] \not=0$ [/mm] und $f(0):=0$ braucht man nicht so etwas, wie, dass der linksseitige Grenzwert nicht mit dem rechtsseitigen übereinstimmt (ich weiß auch nicht, warum Du da von Häufungspunkten oder sowas sprichst). Hier existiert ja schon [mm] $\lim_{x \to 0^+} f(x)=\lim_{x \to 0 \mbox{ mit }x > 0}f(x)$ [/mm] nicht, wie man durch Betrachtung der beiden Folgen, in [mm] $(0,\infty)$, $a_n:=\frac{1}{\pi+n*2\pi}$ [/mm] und [mm] $b_n:=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n*2\pi}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] leicht einsehen sollte.
(Ich verweise mal auf ![[]](/images/popup.gif) Definition 10.4 [mm] ($\leftarrow$ bitte anklicken).)
P.S.:
Die hier oben stehenden Funktionen passen übrigens sowohl bei $\lim_{x \to x_0} (f(x)+g(x))$ sowie auch bei $\lim_{x \to x_0}(f(x)*g(x))$, da hier:
$f+g=1$ und $f*g=0$, aber $\lim_{x \to x_0}f(x)$ und $\lim_{x \to x_0}g(x)$ existieren nicht (egal, welches $x_0 \in \IR$ man betrachtet).
Edit:
@ Abakus:
Sorry, ich habe gar nicht gesehen, dass die Funktion $g(x)$ doch nicht $=f(x)$ gewählt wurde. Nichtsdestotrotz kann er natürlich nicht $g(0):=\sin(1/0)$ definieren...
Leider hatte ich das eben übersehen, also sollte man das vielleicht nicht als *fundamentalen* Fehler, sondern nur als *kleinen* Fehler kennzeichnen...
Gruß,
Marcel
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:17 Di 27.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> Ich glaube ich habe das mit dem [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0}[/mm]
> verstanden. Es muss immer der Linksseitige Häufungspunkt
> anders sein wie der Rechtsseitige Häufungspunkt? Also habe
> ich in diesem doch Fall:
>
> [mm]f(x):=\begin{cases} \sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{ für }x\not=0 \\ 0, & \mbox{ für } x=0 \end{cases}[/mm]
> und
>
> [mm]g(x):=\begin{cases} -\sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{ für }x\not=0 \\ 0, & \mbox{ für } x=0 \end{cases}[/mm]
>
> Kann man das ganze denn auch auf Produkte übertragen?
>
> Da würde ich dann z.B. f(x) und g(x) so wählen:
>
> [mm]f(x):=\begin{cases} \sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{ für }x\not=0 \\ 0, & \mbox{ für } x=0 \end{cases}[/mm]
>
> [mm]g(x):=\begin{cases} \sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{ für }x=0 \\ 0, & \mbox{ für } x\not=0 \end{cases}[/mm]
>
bei $g(x)$ macht Deine Definition [mm] $g(0)=\sin(1/0)$ [/mm] sicherlich keinen Sinn. Am besten setzt Du einfach $g(x) [mm] \equiv [/mm] 0$, dann ist $f*g=0$ und damit [mm] $\lim_{x \to 0} (f(x)*g(x))=\lim_{x \to 0}0=0$, [/mm] aber [mm] $\lim_{x \to 0}f(x)$ [/mm] existiert weiterhin nicht.
(Ein Beispiel, wo sogar [mm] $\lim_{x \to 0}f(x)$ [/mm] und [mm] $\lim_{x \to 0}g(x)$ [/mm] nicht existieren, findest Du in meiner Korrekturmitteilung zu Abakus Antwort. Bitte beachte:
Wenn Du $g$ mittels $g(x):=0$ für $x [mm] \not=0$ [/mm] definierst, so ist [mm] $\lim_{x \to 0}g(x)=0$, [/mm] egal, wie $g(0)$ definiert ist. Vgl. dazu auch nochmal die von mir erwähnte Definition 10.4 in der Mitteilung.)
Gruß,
Marcel
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