Konvergenz; Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Do 05.06.2014 | | Autor: | Qight |
| Aufgabe | Entscheiden Sie für die nachstehend definierten Folgen, ob sie (eigentlich oder uneigentlich) konvergieren, und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert:
i) [mm] a_n = \bruch{(3n+1)^{2}*(2n+1)}{2n^{3}-1} [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
ii) [mm] b_n = (-1)^{n}*n^{2}} [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
iii) [mm] c_n = \bruch{(-1)^{n}*12n+4}{n^{2}} [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
iv) [mm] d_n = \bruch{2n^{2}*(-1)^{n+1}-n*\wurzel{n}+5}{n^{2}-4n*\wurzel{n}} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 17
v) [mm] e_n = \wurzel{n^{2}+n}-n [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
vi) [mm] f_n = \bruch{n!}{n^{n} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] |
Ich wollte dazu wissen, wenn man den Grenzwert berechnet, muss man dann noch die Konvergenz zeigen, da diese es doch impliziert.
Beispiel dafür i):
[mm] a_n = \bruch{(3n+1)^{2}*(2n+1)}{2n^{3}-1} = \bruch{18n^{3}+21n^{2}+8n+1}{2n^{3}-1} = \bruch{n^{3}}{n^{3}}*\bruch{18+\bruch{21}{n}+\bruch{8}{n^{2}}+\bruch{1}{n^{3}}}{2-\bruch{1}{n^{3}}} = \bruch{18}{2} = 9 [/mm]
Bei Aufgabe ii) muss man ja den Grenzwertsatz mit der Multiplikation anwenden. Dabei frage ich mich, da wegen [mm] (-1)^n [/mm] die Folge alterniert doch wegen [mm] n^{2} [/mm] dabei immer größer wird, handelt es sich doch dabei um Divergenz. Oder täusche ich mich darin?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Do 05.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Entscheiden Sie für die nachstehend definierten Folgen, ob
> sie (eigentlich oder uneigentlich) konvergieren, und
> bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert:
>
> i) [mm]a_n = \bruch{(3n+1)^{2}*(2n+1)}{2n^{3}-1}[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm]
>
> ii) [mm]b_n = (-1)^{n}*n^{2}}[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm]
> iii) [mm]c_n = \bruch{(-1)^{n}*12n+4}{n^{2}}[/mm]
> für n [mm]\in \IN[/mm]
> iv) [mm]d_n = \bruch{2n^{2}*(-1)^{n+1}-n*\wurzel{n}+5}{n^{2}-4n*\wurzel{n}}[/mm]
> für n [mm]\in \IN[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 17
> v) [mm]e_n = \wurzel{n^{2}+n}-n[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm]
> vi) [mm]f_n = \bruch{n!}{n^{n}[/mm]
> für n [mm]\in \IN[/mm]
> Ich wollte dazu wissen, wenn man den
> Grenzwert berechnet, muss man dann noch die Konvergenz
> zeigen, da diese es doch impliziert.
> Beispiel dafür i):
>
> [mm]a_n = \bruch{(3n+1)^{2}*(2n+1)}{2n^{3}-1} = \bruch{18n^{3}+21n^{2}+8n+1}{2n^{3}-1} = \bruch{n^{3}}{n^{3}}*\bruch{18+\bruch{21}{n}+\bruch{8}{n^{2}}+\bruch{1}{n^{3}}}{2-\bruch{1}{n^{3}}} = \bruch{18}{2} = 9[/mm]
Das vorletzte "=" ist nicht korrekt ! Richtig:
[mm]a_n = \bruch{(3n+1)^{2}*(2n+1)}{2n^{3}-1} = \bruch{18n^{3}+21n^{2}+8n+1}{2n^{3}-1} = \bruch{n^{3}}{n^{3}}*\bruch{18+\bruch{21}{n}+\bruch{8}{n^{2}}+\bruch{1}{n^{3}}}{2-\bruch{1}{n^{3}}} \to \bruch{18}{2} = 9[/mm] (n [mm] \to \infty)
[/mm]
>
> Bei Aufgabe ii) muss man ja den Grenzwertsatz mit der
> Multiplikation anwenden. Dabei frage ich mich, da wegen
> [mm](-1)^n[/mm] die Folge alterniert doch wegen [mm]n^{2}[/mm] dabei immer
> größer wird, handelt es sich doch dabei um Divergenz.
> Oder täusche ich mich darin?
Nein. Korrekte Begründung:
[mm] |b_n|=n^2, [/mm]
somit ist [mm] (b_n) [/mm] nicht beschränkt, also auch nicht konvergent.
(Konvergente Folgen sind beschränkt !)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Do 05.06.2014 | | Autor: | Qight |
Okay, dass mit dem "=" ist logisch, sorry deswegen. Bei der Begründung von ii) muss ich nochmal nach fragen. Also das eine konvergente Funktion beschränkt ist weiß ich und nun auch das [mm] b_n [/mm] = [mm] (-1)^{n}*n^{2} [/mm] divergent ist. Nur Frage ich mich wie genau die Begründung korrekt zu formulieren ist. Da [mm] (-1)^{n} [/mm] alterniert hängt es also nur noch von [mm] n^{2} [/mm] ab und da [mm] \betrag{b_n} [/mm] = [mm] n^{2} [/mm] keine Beschränkung hat folgt divergent. Muss ich das denn noch zeigen, sprich mit einen Widerspruchsbeweis des Monotoniekriteriums?
Dazu übergehend würde ich nämlich die iii) versuchen zu lösen.
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{n}*12n+4}{n^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{12n+4}{n^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n}*\bruch{12+\bruch{4}{n}}{n} [/mm] = [mm] \bruch{12}{n} \to [/mm] 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Do 05.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Okay, dass mit dem "=" ist logisch, sorry deswegen. Bei der
> Begründung von ii) muss ich nochmal nach fragen. Also das
> eine konvergente Funktion beschränkt ist weiß ich und nun
> auch das [mm]b_n[/mm] = [mm](-1)^{n}*n^{2}[/mm] divergent ist. Nur Frage ich
> mich wie genau die Begründung korrekt zu formulieren ist.
> Da [mm](-1)^{n}[/mm] alterniert hängt es also nur noch von [mm]n^{2}[/mm] ab
> und da [mm]\betrag{b_n}[/mm] = [mm]n^{2}[/mm] keine Beschränkung hat folgt
> divergent. Muss ich das denn noch zeigen,
[mm] (b_n) [/mm] ist beschränkt [mm] \gdw (|b_n|) [/mm] ist beschränkt.
> sprich mit einen
> Widerspruchsbeweis des Monotoniekriteriums?
Nein.
> Dazu übergehend würde ich nämlich die iii) versuchen zu
> lösen.
>
> [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{(-1)^{n}*12n+4}{n^{2}}[/mm] = [mm]\bruch{12n+4}{n^{2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{n}{n}*\bruch{12+\bruch{4}{n}}{n}[/mm] = [mm]\bruch{12}{n} \to[/mm]
> 0
Das zweite "=" ist falsch. Wo ist [mm] (-1)^n [/mm] geblieben ???. Dass [mm] (c_n) [/mm] gegen 0 konvergiert, ist richtig
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Do 05.06.2014 | | Autor: | Qight |
Also es reicht wenn ich schreibe [mm] b_n [/mm] = [mm] n^{2} [/mm] ist nicht beschränkt [mm] \gdw |b_n| [/mm] = [mm] n^{2} [/mm] ist nicht beschränkt, also folgt divergent? Ich bin da noch etwas verwirrt.
zu iii)
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{n}*12n+4}{n^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n}*\bruch{(-1)^{n}*12+\bruch{4}{n}}{n} \to \bruch{12*(-1)^{n}}{n} \to [/mm] 0
Ich denke so ist es dann richtig.
zu iv): [mm] d_n [/mm] = [mm] \bruch{2n^{2}*(-1)^{n+1}-n\wurzel{n}+5}{n^{2}-4n\wurzel{n}} =\bruch{n^{2}}{n^{2}}* \bruch{2*(-1)^{n+1}-n\wurzel{n}+\bruch{5}{n^{2}}}{1-\bruch{4\wurzel{n}}{n}} \to \bruch{2*(-1)^{n+1}}{1} \to [/mm] 2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Do 05.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Also es reicht wenn ich schreibe [mm]b_n[/mm] = [mm]n^{2}[/mm] ist nicht
> beschränkt [mm]\gdw |b_n|[/mm] = [mm]n^{2}[/mm] ist nicht beschränkt, also
> folgt divergent? Ich bin da noch etwas verwirrt.
Wo ist das [mm] $(-1)^n$ [/mm] abgeblieben?
Die Folge
[mm] b_n=(-1)^n*n^2
[/mm]
ist offensichtlich wegen
[mm] |b_n|=n^2
[/mm]
nicht beschränkt und damit auch nicht konvergent!
> zu iii)
> [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{(-1)^{n}*12n+4}{n^{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{n}{n}*\bruch{(-1)^{n}*12+\bruch{4}{n}}{n} \to \bruch{12*(-1)^{n}}{n} \to[/mm]
> 0
> Ich denke so ist es dann richtig.
Nein. Pass mit deinen [mm] \to [/mm] Zeichen auf. Das Ausklammern
ist hier nicht zu empfehlen, denn am Ende benötigst du
die gleiche Argumentation wenn du von Anfang an direkt
[mm] c_n=\bruch{(-1)^{n}*12n+4}{n^{2}}=\frac{(-1)^n*12n}{n^2}+\frac{4}{n^2}=\frac{(-1)^n*12}{n}+\frac{4}{n^2}
[/mm]
betrachtest. Hier müssen wir die Grenzwertsätze benutzen
bzw. die Eigenschaft, dass das Produkt einer Nullfolge und
einer beschränkten Folge wieder eine Nullfolge ist.
> zu iv): [mm]d_n[/mm] =
> [mm]\bruch{2n^{2}*(-1)^{n+1}-n\wurzel{n}+5}{n^{2}-4n\wurzel{n}} =\bruch{n^{2}}{n^{2}}* \bruch{2*(-1)^{n+1}-n\wurzel{n}+\bruch{5}{n^{2}}}{1-\bruch{4\wurzel{n}}{n}} \to \bruch{2*(-1)^{n+1}}{1} \to[/mm]
> 2
Im Zähler hast du den Term [mm] n\sqrt{n} [/mm] ignoriert. Du musst
auch hier mit deinen [mm] \to [/mm] Zeichen aufpassen. Der Grenzwert
stimmt nicht.
Tipp:
[mm] \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n=e^z [/mm] für alle [mm] z\in\IC.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Do 05.06.2014 | | Autor: | Qight |
Was die Folge [mm] b_n [/mm] = [mm] (-1)^{n}*n^{2} [/mm] bin ich mir irgendwie immer noch nicht sicher. Okay [mm] |b_n| [/mm] = [mm] n^{2} [/mm] ist nicht beschränkt, dass ist mir klar, nur soll ich das nicht auch noch zeigen, oder darf ich das einfach als verständlich voraussetzen? Wie gesagt, ich weiß wie sich die Folge entwickelt und das sie divergert, nur bin ich mir einfach mit der korrekten Formulierung nicht sicher.
Zu iii): Du hast ja den Bruch in zwei unterteilt und dann in [mm] \bruch{12n*(-1)^{n}}{n^{2}} [/mm] das n rausgezogen. So wird wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] aus [mm] \bruch{4}{n^{2}} [/mm] irgendwann 0 und aus [mm] \bruch{12n*(-1)^{n}}{n^{2}} [/mm] das gleiche woraus ja folgt, dass der Grenzwert 0 ist. Darauf bin ich mit meiner Umformung doch auch gekommen, wieso ist diese denn nicht korrekt? [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{12*(-1)^n+\bruch{4}{n}}{n} [/mm] läuft doch auch gegen 0. Was ist denn der genaue Fehler?
Ich verstehe was du gezeigt hast und es ist defintiv auch eleganter, da eben aus einer beschränkten Folge und einer Nullfolge wieder eine Nullfolge wird. Nur ist mein Ansatz falsch, dass würde mich halt interessieren.
zu iv) Ja, der Grenzwert ist falsch, dass habe ich auch gesehen, konnte es aber nicht mehr bearbeiten. Sollte -2 sein, da [mm] (-1)^{n+1} [/mm] ja [mm] (-1)^{n}*(-1) [/mm] ist. Dadurch ist mein Vorzeichen falsch gewesen. Der Fehler im Zähler ist mir erst gar nicht aufgefallen, stimmt, muss ja [mm] \bruch{\wurzel{n}}{n} [/mm] sein. Dadurch klappt ja erst die Abschätzung. Vor lauter Befehle habe ich nicht mehr alles gesehen. Dürfte dann aber passen, also:
[mm] \bruch{2*(-1)^{n}*(-1)-\bruch{\wurzel{n}}{n}+\bruch{5}{n^{2}}}{1-{\bruch{4n\wurzel{n}}{n}}} \to \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-2}{1} [/mm] = -2
zu der v): [mm] e_n [/mm] = [mm] \wurzel{n^{2}+n}-n [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{n^{2}+n}}{\wurzel{n^{2}+n}}-\bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}}
[/mm]
Nebenrechnung: [mm] \bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}}{n^{2}+n} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{n^{2}+n} \Rightarrow [/mm] Max 1 + [mm] \bruch{1}{n^{2}+n} [/mm] (für n = 1, da n [mm] \in \IN) [/mm] ist [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Also: Folge ist beschränkt und hat den Grenzwert [mm] \bruch{1}{2}. [/mm]
Ist das okay so zu schreiben?
Bei der letzten komme ich nicht ganz weiter. [mm] f_n [/mm] = [mm] \bruch{n!}{n^{n}}
[/mm]
Mir ist klar, dass sie gegen 0 konvergiert, doch wie kann ich das zeigen? Meine Idee war vielleicht: [mm] \bruch{(n-1)!}{n^{n-1}} [/mm] zu nutzen da es ja gleich [mm] \bruch{(n-1)!}{n^{n}*n^{(-1)}} [/mm] ist. Nur fehlt mir hier der kleine Tipp.
Und was deinen Tipp am Ende angeht, so habe ich diesen nicht ganz verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Do 05.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Was die Folge [mm]b_n[/mm] = [mm](-1)^{n}*n^{2}[/mm] bin ich mir irgendwie
> immer noch nicht sicher. Okay [mm]|b_n|[/mm] = [mm]n^{2}[/mm] ist nicht
> beschränkt, dass ist mir klar, nur soll ich das nicht auch
> noch zeigen, oder darf ich das einfach als verständlich
> voraussetzen? Wie gesagt, ich weiß wie sich die Folge
> entwickelt und das sie divergert, nur bin ich mir einfach
> mit der korrekten Formulierung nicht sicher.
Satz: Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Das ist somit ein notwendiges Kriterium für Folgenkonvergenz.
Wenn eine Folge konvergiert, dann muss sie auf jeden Fall
beschränkt sein. Wichtig ist, dass die Umkehrung nicht gilt.
Dazu betrachte zum Beispiel als Gegenbeispiel die Folge
[mm] g_n:=(-1)^n.
[/mm]
Die Folge ist nach oben durch die [mm] $1\$ [/mm] und nach unten durch
die [mm] $-1\$ [/mm] beschränkt, aber nicht konvergent (Wieso?).
Ihr habt doch mit Sicherheit gezeigt, dass die Folge
[mm] $h_n:=n$
[/mm]
bestimmt divergiert (oder uneigentlich konvergiert), da die
Folgenglieder beliebig groß werden und zu jedem [mm] A\in\IR [/mm] alle
Folgenglieder ab [mm] a_A [/mm] größer als [mm] $A\$ [/mm] sind. Mit exakt der
gleichen Argumentation folgt, dass [mm] b_n [/mm] nicht beschränkt ist.
> Zu iii): Du hast ja den Bruch in zwei unterteilt und dann
> in [mm]\bruch{12n*(-1)^{n}}{n^{2}}[/mm] das n rausgezogen. So wird
> wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] aus [mm]\bruch{4}{n^{2}}[/mm]
> irgendwann 0 und aus [mm]\bruch{12n*(-1)^{n}}{n^{2}}[/mm] das
> gleiche woraus ja folgt, dass der Grenzwert 0 ist. Darauf
> bin ich mit meiner Umformung doch auch gekommen, wieso ist
> diese denn nicht korrekt? [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{12*(-1)^n+\bruch{4}{n}}{n}[/mm]
> läuft doch auch gegen 0. Was ist denn der genaue Fehler?
Bis hierhin ist es richtig. Das danach ist wegen deiner
Schreibweise falsch, denn du kannst nicht den Grenzwert
"zwei Mal" ziehen. Du hast folgendes geschrieben:
[mm] $\cdot{}\bruch{(-1)^{n}\cdot{}12+\bruch{4}{n}}{n} \to \bruch{12\cdot{}(-1)^{n}}{n} \to [/mm] 0$.
Der Witz dabei ist, dass du hier die gleiche Argumentation
brauchen wirst und dein Ausklammern nicht viel gebracht hat.
Wieso also nicht das Ausklammern lassen und direkt zur Ar-
gumentation kommen? 
> Ich verstehe was du gezeigt hast und es ist defintiv auch
> eleganter, da eben aus einer beschränkten Folge und einer
> Nullfolge wieder eine Nullfolge wird. Nur ist mein Ansatz
> falsch, dass würde mich halt interessieren.
Ich finde es gut, dass du nachfragst!
> zu iv) Ja, der Grenzwert ist falsch, dass habe ich auch
> gesehen, konnte es aber nicht mehr bearbeiten. Sollte -2
> sein, da [mm](-1)^{n+1}[/mm] ja [mm](-1)^{n}*(-1)[/mm] ist. Dadurch ist mein
> Vorzeichen falsch gewesen. Der Fehler im Zähler ist mir
> erst gar nicht aufgefallen, stimmt, muss ja
> [mm]\bruch{\wurzel{n}}{n}[/mm] sein. Dadurch klappt ja erst die
> Abschätzung. Vor lauter Befehle habe ich nicht mehr alles
> gesehen. Dürfte dann aber passen, also:
> [mm]\bruch{2*(-1)^{n}*(-1)-\bruch{\wurzel{n}}{n}+\bruch{5}{n^{2}}}{1-{\bruch{4n\wurzel{n}}{n}}} \to \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-2}{1}[/mm]
> = -2
Deine Schreibweise ist auch hier falsch. Im Nenner ist auch
noch ein kleiner Fehler. Außerdem würde ich bevor ich den
Grenzwert berechne den Ausdruck
[mm] \frac{\sqrt{n}}{n}
[/mm]
umschreiben als
[mm] \frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}*\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}.
[/mm]
Hast du eigentlich meinen Tipp gelesen?
> zu der v): [mm]e_n[/mm] = [mm]\wurzel{n^{2}+n}-n[/mm] =
> [mm]\bruch{\wurzel{n^{2}+n}}{\wurzel{n^{2}+n}}-\bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}}[/mm]
> = 1 - [mm]\bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}}[/mm]
> Nebenrechnung: [mm]\bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{n^{2}}{n^{2}+n}[/mm] = 1 + [mm]\bruch{1}{n^{2}+n} \Rightarrow[/mm]
> Max 1 + [mm]\bruch{1}{n^{2}+n}[/mm] (für n = 1, da n [mm]\in \IN)[/mm] ist
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Also: Folge ist beschränkt und hat den Grenzwert
> [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]
> Ist das okay so zu schreiben?
Nein. Du darfst nicht einfach quadrieren. Erweitere mit
[mm] 1=\frac{\sqrt{n^2+n}+n}{\sqrt{n^2+n}+n}
[/mm]
und benutze die dritte binomische Formel.
> Bei der letzten komme ich nicht ganz weiter. [mm]f_n[/mm] =
> [mm]\bruch{n!}{n^{n}}[/mm]
> Mir ist klar, dass sie gegen 0 konvergiert, doch wie kann
> ich das zeigen? Meine Idee war vielleicht:
> [mm]\bruch{(n-1)!}{n^{n-1}}[/mm] zu nutzen da es ja gleich
> [mm]\bruch{(n-1)!}{n^{n}*n^{(-1)}}[/mm] ist. Nur fehlt mir hier der
> kleine Tipp.
Es gilt:
[mm] 0\le\frac{n!}{n^n}=\frac{n}{n}\cdot{}\frac{n-1}{n}\cdot{}\ldots\cdot{}\frac{1}{n}\le\frac{1}{n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Klingelt es?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Do 05.06.2014 | | Autor: | Qight |
Danke erstmal für die Mühe und Geduld mit mir. Ich denke nun, dass ich weiter bin. Also zur i) verwende ich dann, das aus der Vorlesung ja bekannt ist, dass eben [mm] g_n [/mm] = [mm] n^{2} [/mm] nicht beschränkt ist. Dann kann ich ja mit der Definition argumentieren.
zu ii). Gut, nun habe ich auch noch verstanden was an meiner Schreibweise nicht korrekt ist. Gut zu wissen, dass man nicht "zwei mal" das ganze so anwenden kann.
zu iii) Deinen Tipp habe ich gelesen doch habe ich ihn nicht ganz verstanden, sprich wie ich ihn so verwenden kann, dass es mir weiterhilft. Und den Fehler im Nenner habe ich wieder übersehen, mache hier noch sehr viele Fehler wenn ich die Sachen eingebe. Danke für den Hinweis. Nur eben den Tipp verstehe ich noch nicht. Hätte es nun auch wie in Aufgabe ii) gelöst, sprich Bruch in drei Komponenten aufgeteilt und dann das [mm] n^{2} [/mm] rausgezogen. Somit hätte ich dann eine beschränkte und zwei Nullfolgen und kann es genauso wie in ii) lösen. Noch dazu finde ich es sehr gut, wie du die Bruchwurzel umgeformt hast, mir ist die Regel in diesem Zusammenhang gar nicht mehr eingefallen. Sieht dadurch viel angenehmer aus die Nullfolge zu erkennen.
iv) Das man nicht quadrieren darf wusste ich nicht, dachte da ich das ja in einer Nebenrechnung anbringe um was zu verdeutlichen. Vor allem weil mir beim besten Willen nicht die dritte binomische Formel mit der Erweiterung aufgefallen ist. So lässt es sich schöner schreiben. Nun ist es:
[mm] d_n [/mm] = [mm] \wurzel{n^{2}+n}-n [/mm] = [mm] \bruch{(\wurzel{n^{2}+n}+n)*(\wurzel{n^{2}+n}-n)}{\wurzel{n^{2}+n}+n} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}+n-n^{2}}{\wurzel{n^{2}+n}+n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}+n} [/mm] = [mm] 1+\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}} [/mm] und da ja [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}} [/mm] monoton fallend ist und aus n [mm] \in \IN [/mm] folgt, dass die Folge beschränkt ist, konvergiert und [mm] \bruch{1}{2} [/mm] der Grenzwert ist.
zu der letzten Aufgabe. Hm, ich muss noch kurz darüber nachdenken ob mir klar ist warum nun genau das so gilt. Aber stimmt das ( und davon gehe ich aus, wie gesagt will das nur auch ganz verstehen) dann hieße es ja, dass die Folge kleiner oder gleich der Nullfolge [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist. Wenn diese also mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] gegen 0 konvergiert, dann muss das die kleinere Folge auch, nur eben schneller, also ist das somit gezeigt. Habe ich das richtig verstanden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Do 05.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Das davor ist alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> iv) Das man nicht quadrieren darf wusste ich nicht, dachte
> da ich das ja in einer Nebenrechnung anbringe um was zu
> verdeutlichen. Vor allem weil mir beim besten Willen nicht
> die dritte binomische Formel mit der Erweiterung
> aufgefallen ist. So lässt es sich schöner schreiben. Nun
> ist es:
> [mm]d_n[/mm] = [mm]\wurzel{n^{2}+n}-n[/mm] =
> [mm]\bruch{(\wurzel{n^{2}+n}+n)*(\wurzel{n^{2}+n}-n)}{\wurzel{n^{2}+n}+n}[/mm]
> = [mm]\bruch{n^{2}+n-n^{2}}{\wurzel{n^{2}+n}+n}[/mm] =
> [mm]\bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}+n}[/mm] =
> [mm]1+\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}}[/mm] und da ja
Falsch. Es gilt:
[mm] \frac{a}{b+c}\not=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}.
[/mm]
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}}[/mm] monoton fallend ist und aus n
> [mm]\in \IN[/mm] folgt, dass die Folge beschränkt ist, konvergiert
> und [mm]\bruch{1}{2}[/mm] der Grenzwert ist.
Der Grenzwert stimmt, aber die Argumentation benötigst du
hier nicht unbedingt, denn es geht auch direkt. Wir haben
[mm] \bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}+n}.
[/mm]
Klammere in der Wurzel [mm] $n^2\$ [/mm] aus und ziehe es aus der
Wurzel. Dann klammerst du im Nenner [mm] $n\$ [/mm] aus und kürzt
das mit dem Zähler.
Zur Kontrolle:
[mm] \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}.
[/mm]
Jetzt wird auch der Grenzwert "sofort" ersichtlich.
> zu der letzten Aufgabe. Hm, ich muss noch kurz darüber
> nachdenken ob mir klar ist warum nun genau das so gilt.
> Aber stimmt das ( und davon gehe ich aus, wie gesagt will
> das nur auch ganz verstehen) dann hieße es ja, dass die
> Folge kleiner oder gleich der Nullfolge [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist.
> Wenn diese also mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] gegen 0
> konvergiert, dann muss das die kleinere Folge auch, nur
> eben schneller, also ist das somit gezeigt. Habe ich das
> richtig verstanden?
Ja, es gilt:
[mm] 0\le d_n\le\frac{1}{n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Jetzt benutze den ![[]](/images/popup.gif) Einschnürungssatz.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Do 05.06.2014 | | Autor: | Qight |
Okay, habe es nun gesehen.
Zu der iv) [mm] \bruch{(\wurzel{n^{2}+n}+n)*(\wurzel{n^{2}+n)}-n}{\wurzel{n^{2}+n}+n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}+n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{\wurzel{n^{2}*(1+\bruch{1}{n})}+n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}
[/mm]
Stimmt, nun sieht man den Grenzwert wirklich besser.
Und ich habe nun auch die letzte Aufgabe richtig verstanden. Durch das Umschreiben von [mm] \bruch{n!}{n^n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n}*\bruch{n-1}{n}*\ldots*\bruch{1}{n} [/mm] kann man nun ja das Sandwichprinzip/Einschließungsprinzip verwenden. Musste mir vor allem klar machen warum die Umformung stimmt.
Danke dir für deine Hilfe! Konnte heute vieles lernen, allen voran die Schreibweise einfacher zu gestalten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Do 05.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Okay, habe es nun gesehen.
> Zu der iv)
> [mm]\bruch{(\wurzel{n^{2}+n}+n)*(\wurzel{n^{2}+n)}-n}{\wurzel{n^{2}+n}+n}[/mm]
> = [mm]\bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}+n}[/mm] =
> [mm]\bruch{n}{\wurzel{n^{2}*(1+\bruch{1}{n})}+n}[/mm] =
> [mm]\bruch{n}{n\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+n}[/mm] = [mm]\bruch{n}{n}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}[/mm]
> Stimmt, nun sieht man den Grenzwert wirklich besser.
Richtig.
> Und ich habe nun auch die letzte Aufgabe richtig
> verstanden. Durch das Umschreiben von [mm]\bruch{n!}{n^n}[/mm] =
> [mm]\bruch{n}{n}*\bruch{n-1}{n}*\ldots*\bruch{1}{n}[/mm] kann man
> nun ja das Sandwichprinzip/Einschließungsprinzip
> verwenden. Musste mir vor allem klar machen warum die
> Umformung stimmt.
Es gilt:
[mm] n!=n*(n-1)*\ldots*1
[/mm]
und
[mm] n^n=\underbrace{n*\ldots*n}_{\text{n-mal}}.
[/mm]
Abschätzung sollte klar sein.
> Danke dir für deine Hilfe! Konnte heute vieles lernen,
> allen voran die Schreibweise einfacher zu gestalten
Gern geschehen.
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