Konvergenz & Grenzwert < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Di 31.05.2005 | | Autor: | Adele |
Hallo,
ich hab noch ein Problem bei einer Aufgabe, wieder zu Konvergenz.
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Die Aufgabe ist den Grenzwert zu bestimmen, falls die Reihe konvergent ist.
Die erste Reihe ist
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n(n+1)}
[/mm]
das lässt sich umschreiben in
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n²+n}
[/mm]
Wenn ich da dann das Quotientenkriterium anwende bekomme ich 1 raus, aber das Quotientenkriterium ist ja für =1 nicht definiert.
Wie mache ich das dann am besten?
Habe so meine Probleme mit dem Majorantenkriterium.
Dann habe ich eine 2te Reihe, nämlich
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{2n+1}{n(n+1)} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{2n+1}{n²+n}
[/mm]
Wenn ich hier das Quotientenkriterium anwende, bleibe ich an dieser Stelle hängen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] |\bruch{2n³+5n²+3n}{2n³+7n²+2}|
[/mm]
Muss ich hier ausklammern? Oder wie geh ich am besten vor?
Wäre sehr dankbar über erneute Hilfe.
Liebe Grüße,
Adele
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Also das Quotientenkriterium ist hier nicht sehr hilfreich.
Probiers mal mit dem Majorantenkriterium.
Das erste geschickt abschaetzen und beim zweiten mal ausklammern
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Di 31.05.2005 | | Autor: | Adele |
Danke für die schnelle Antwort, jedoch hilft mir das nicht sonderlich weiter, da ich wie gesagt so meine Probleme mit dem Majoranten Kriterium und dem abschätzen habe.
Wie setze ich denn damit am besten an?
Liebe Grüße,
Adele
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Di 31.05.2005 | | Autor: | Adele |
Zum ersten Teil der Aufgabe, stimmt das?
Mit dem Majorantenkriterium:
Für n>0 gilt
[mm] \bruch{1}{n²+n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n²}
[/mm]
und da
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n²}
[/mm]
konvergiert, konvergiert die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n²+n}
[/mm]
auch.
So, ich habe bei der 2ten Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{2n+1}{n²+n}
[/mm]
im Quotientenkriterium auch =1 rausbekommen, also muss ich ja auch wieder das Majorantenkriterium anwenden.
Ich weiß allerdings nicht wie ich das abschätzen muss. Kann man bei dem Kriterium auch nach unten abschätzen oder geht das nur nach oben?
Ich finde da einfach nichts um das nach oben abzuschätzen. Könnte mir da viellecht jemand einen Tipp geben?
Liebe Grüße,
Adele
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Adele!
> Zum ersten Teil der Aufgabe, stimmt das?
>
> Mit dem Majorantenkriterium:
> Für n>0 gilt
> [mm]\bruch{1}{n²+n}[/mm] < [mm]\bruch{1}{n²}[/mm]
> und da
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n²}[/mm]
> konvergiert,
> konvergiert die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n²+n}[/mm]
> auch.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> So, ich habe bei der 2ten Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{2n+1}{n²+n}[/mm]
> im
> Quotientenkriterium auch =1 rausbekommen, also muss ich ja
> auch wieder das Majorantenkriterium anwenden.
> Ich weiß allerdings nicht wie ich das abschätzen muss.
> Kann man bei dem Kriterium auch nach unten abschätzen oder
> geht das nur nach oben?
Das geht auch andersherum, dann hat man ein Divergenzkriterium.
Und in der Tat gilt hier:
[mm] $\frac{2n+1}{n^2+n} \ge \frac{2n}{2n^2} [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$,
[/mm]
so dass die Divergenz der zu betrachtenden Reihe aus der Divergenz der harmonischen Reihe folgt.
Viele Grüße
Julius
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