Konvergenz / Grenzwertbestimmu < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Abend, liebe Gemeinde!
Ich habe bei mir noch 2 Aufgaben zum Thema Konvergenz und komme von allein leider nicht auf die Ansätze.
Deshab wäre es sehr nett, wenn ihr mir Tipps für den Ansatz 8oder den Ansatz selbst) geben könntet, ich versuche dann erstmal allein, die Lösung zu finden.
Wenn jedoch schon jemand die Lösung parat hat, würde ich mich darüber natürlich auch feuen, dann versuche ich zumindest zu begründen, warum die Schritte so gemacht worden sind.
1.) Beschränktheit und Monotonie untersuchen und ggf. den Grenzwert bestimmen von folgendem Term:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{c+ \wurzel{c+ \wurzel{c+...}}}
[/mm]
es sollen n Wurzeln dort stehen, d.h. bei n=3 steht dann:
[mm] \wurzel{c+ \wurzel{c+ \wurzel{c}}}
[/mm]
wobei gilt: c ist beliebig, c>0, und c ist konstant
Hinweis: Ich würde zunächst einerekursive Darstellung draus machen, jedoch habe ich nach langem rumexperimentieren nicht herausgefunden, wie ich das als rekusrsive darstellung schreiben kann.
2.) ebenfalls Monotonie und Grenzwertbestimmung (die Beschränkheit habe ich schon):
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{1}{n})^{n}
[/mm]
Wie gesagt, erstmal würden mir die Ansätze weiterhelfen. Vielen Dank an alle Helfer!
Gruss,
Stefan
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Wir wär's denn bei Aufgabe a.) mit folgender rekursiven Darstellung:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \begin{cases} \wurzel{c} & \mbox{,} \ n=1 \mbox{} \\ \wurzel{c + a_{n-1}} & \mbox{,} \ n \ge 2 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Grüße aus Hannover in meine Heimatstadt ...
Loddar
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Hallo Loddar!
Kann man dann nicht auch sagen:
[mm] a_{n}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ =0} \\ \wurzel{c+a_{n-1}}, & \mbox{für } n \mbox{ >= 1} \end{cases}
[/mm]
???
Gruss
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
> Kann man dann nicht auch sagen:
>
> [mm]a_{n}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ =0} \\ \wurzel{c+a_{n-1}}, & \mbox{für } n \mbox{ >= 1} \end{cases}
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Auch das scheint mir möglich ...
Kleiner Einwand:
Es sollte geklärt sein, ob die Folge mit $n=0$ bzw. $n=1$ startet, also ob man auch die 0 zuläßt, da Folgen eigentlich nur für natürliche Zahlen zulässig sind, und die arme 0 ...
(Das könnte aber auch etwas zu spitzfindig sein ...)
Loddar
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Hallo Loddar!
Da wir meiner Meinung nach im Unterricht auch immer die 0 mitbetrachtet haben - zumindest haben wir sie nicht explizit ausgenommen - gehe ich mal davon aus, das wir das auch so machen können.
Also gut, die Beschränktheit habe ich nun fertig.
Kannst du mir vielleicht noch einen Tipp für die Monotnie geben?
Soweit bin ich jetzt:
[mm] a_{n} [/mm] < [mm] a_{n+1}
[/mm]
[mm] \wurzel{c+a_{n-1}} [/mm] < [mm] \wurzel{c+a_{n}}
[/mm]
[mm] c+a_{n-1} [/mm] < [mm] c+a_{n}
[/mm]
Aber an der Stelle komme ich nicht weiter...denn man w+rde ja nun darauf kommen, dass
[mm] a_{n-1} [/mm] < [mm] a_{n}
[/mm]
Oder man macht es so:
[mm] a_{n} [/mm] > [mm] a_{n-1}
[/mm]
[mm] \wurzel{c+a_{n-1}} [/mm] > [mm] a_{n-1}
[/mm]
[mm] c+a_{n-1} [/mm] > [mm] a_{n-1}^2
[/mm]
Daher würde gerne noch weitere Tipps bekommen 
Gruss
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Loddar |
N'Abend Stefan ...
> Soweit bin ich jetzt:
> [mm]a_{n}[/mm] < [mm]a_{n+1}[/mm]
> [mm]\wurzel{c+a_{n-1}}[/mm] < [mm]\wurzel{c+a_{n}}[/mm]
> [mm]c+a_{n-1}[/mm] < [mm]c+a_{n}[/mm]
>
> Aber an der Stelle komme ich nicht weiter...
> denn man würde ja nun darauf kommen, dass
> [mm]a_{n-1}[/mm] < [mm]a_{n}[/mm]
Was gefällt Dir denn an diesem Ausdruck nicht?
Du hast ja oben behauptet:
[mm] [blue]$\blue{}$ [/mm] (streng) monoton steigend[/blue]
... und den (richtigen) Ansatz gemacht: [mm] $a_n [/mm] \ < \ [mm] a_{n+1}$.
[/mm]
Hast Du denn diese Behauptung nun nachgewiesen oder etwa einen Widerspruch gefunden?
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar!
Naja, das habe ich ja nicht bewiesen, also kann ich doch dann auch nicht sagen, ob
> $ [mm] a_{n-1} [/mm] $ < $ [mm] a_{n} [/mm] $
stimmt, oder nicht.
Das ist ja halt die Frage...obwohl, man könnte ja den Nachweis immer so weiter machen, un dann würde am Ende rauskommen:
0 < [mm] \wurzel{c+0}
[/mm]
also:
0 < c wahre Aussage (siehe Voraussetzung).
OK - also stimmt das alles.
Kannst du mir vielleicht jetzt noch beim Grenzwert helfen?
- Vor.: lim [mm] a_{n} [/mm] = g
lim [mm] a_{n+1} [/mm] = lim [mm] \wurzel{c+a_{n}}
[/mm]
= 0,5 lim c + 0,5 lim [mm] a_{n}
[/mm]
g = 0,5 c + 0,5 g
g = c
Stimmt das so? Weil nach meiner Vermutung ist g=c.
Kannst du mir dann (wenn du Zeit hast) noch Tipps zur 2.Aufgabe geben. Vielen Dank!
Gruss und schönen Abend noch!
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Max |
Dann mach halt ne vollständige Induktion.
1. Induktionsanfang:
Für $n=0$ gilt [mm] $\sqrt{c+0}<\sqrt{c+\sqrt{c}}$, [/mm] da $c>0 [mm] \Rightarrow \sqrt{c}>0$.
[/mm]
2. Induktionsschritt:
Induktionsannahme: Es gibt ein $n$ für das gilt [mm] $a_{n-1}
Behauptung: Es gilt dann auch [mm] $a_{n}
Wegen deiner Umformung gilt dann ja eben [mm] $\left( a_n < a_{n+1} \right)\gdw\left( a_{n-1} < a_n \right)$.
[/mm]
[mm] $\Box$
[/mm]
Jetzt kannst du wegen [mm] $a_0 [/mm] < [mm] a_1$ [/mm] auf [mm] $a_1 [/mm] < [mm] a_2$ [/mm] usw. schließen...
Gruß Brackhaus
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Hallo Loddar!
kannst du mir vielleicht den Weg zum Grenzwert noch mal genauer erklären?
ich habe seit gestern versucht, komme aber nicht darauf.
Wäre nett, wenn du noch mal eine Antwort posten könntest
Dankeschön!
Gruss,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Do 10.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Eine Idee für den Wert des Grenzwertes $g$ habe ich gerade auch nicht.
Ich wollte Dir gestern Abend nur sagen, daß Deine Vermutung mit $g \ = \ c$ nicht stimmen kann und hatte deshalb ein Gegenbeispiel geliefert ...
Gruß
Loddar
PS: Morgen nachmittag geht's wieder in die Stadt !!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Fr 11.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Stefan!
Also, Brackhaus hat dir ja hier im Prinzip schon verraten, wie es geht.
Man schließt nach seiner Argumentation auf
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty}a_n [/mm] = [mm] \sqrt{c + \lim\limits_{n \to \infty} a_n}$,
[/mm]
dann durch Quadrieren auf
[mm] $\left( \lim\limits_{n \to \infty} a_n \right)^2 [/mm] = c + [mm] \lim\limits_{n \to \infty} a_n$.
[/mm]
Daraus schließen wir, das [mm] $\lim\limits_{n \to \infty}a_n$ [/mm] eine Nullstelle des Polynoms:
$p(x)= [mm] x^2 [/mm] - x-c$
ist, also gleich:
[mm] $\frac{1}{2} [/mm] + [mm] \sqrt{\frac{1}{4} + c}$
[/mm]
oder gleich
[mm] $\frac{1}{2} [/mm] - [mm] \sqrt{\frac{1}{4} + c}$.
[/mm]
Welche der beiden Lösungen scheidet aus und warum?
Liebe Grüße
Julius
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Hallo Julius!
Vielen Dank für die Antwort! Ich hatte mich mit meiner Schranke 2c zu weit nach oben gewagt und bin (leider) nicht auf den eigentlichen Wert [mm] \wurzel{c}+1 [/mm] gekommen, der ja wesentlich besser zu beweisen ist
> Daraus schließen wir, das [mm]\lim\limits_{n \to \infty}a_n[/mm]
> eine Nullstelle des Polynoms:
>
> [mm]p(x)= x^2 - x-c[/mm]
>
> ist, also gleich:
>
> [mm]\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4} + c}[/mm]
>
> oder gleich
>
> [mm]\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{1}{4} + c}[/mm].
>
> Welche der beiden Lösungen scheidet aus und warum?
Die 2.Lösung fliegt raus, da die Folge monoton wachsend ist und der 2.Grenzwert kleiner als 0 wäre, was aber wegen der Monotonie nicht geht. Und selbst wenn der 2.grenzwert über 0 liegen würde, kann eine Folge nicht 2 Grenzwerte haben ...
Hoffe, dir damit "genügt" zu haben
Gruß
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Max |
Also Loddar hat ja schon erklärt dass [mm] $\lim_{n \to \infty}a_n \neq [/mm] c$ ist.
Mit [mm] $\lim_{n \to \infty}a_n [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}a_{n+1}=a$ [/mm] kann man über [mm] $a_{n+1}=\sqrt{c+a_n}$ [/mm] den Grenzwert berechnen.
Gruß Brackhaus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Nam |
1) Die Monotonie kannst du per Induktion zeigen. Zur Beschränktheit hab ich im Moment keine Idee.
2) Die Aufgabe hatte ich auf einem meiner Übungsblätter:
Wenn du zuerst (mit Bernoulli) zeigst, dass [mm](1 - \frac{1}{n^2})^n[/mm] gegen 1 konvergiert und du [mm]\frac{(1-\frac{1}{n^2})^n}{(1+\frac{1}{n})^n}[/mm] auf [mm](1-\frac{1}{n})^n[/mm] zurückführen kannst, hast du gewonnen, denn die Grenzwerte des Nenners und des Zählers sind bekannt (1 bzw. e).
Benutze dann:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_n}{b_n}} = \frac{\limes_{n\rightarrow\infty}{a_n}}{\limes_{n\rightarrow\infty}{b_n}}[/mm]
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Hallo Nam!
Es tut mir leid, aber leider kann ich deinen Weg bei der 2.Aufgabe nicht nachvollziehen.
Kannst du ihn vielleicht (wenn du Zeit hast) etwas genauer und mit Begründungen darstellen?
Vielen Dank und einen schönen Abend!
Gruss
Stefan
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 22:25 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Max |
Hi Stefan,
Nam benutzt einmal die dritte Binomische Formel um [mm] $\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{1}{n}\right)$ [/mm] aufzuspalten. Daher gilt dann
[mm] $\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}\frac{\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$.
[/mm]
Nach der Bernollie-Ungleichung gilt [mm] $(1-x)^n \le [/mm] 1-nx$ (Beweis durch vollständige Induktion). Angewandt auf [mm] $\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n$ [/mm] gilt:
[mm] $\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n \le \lim_{n \to \infty} \left( 1- n \cdot \frac{1}{n^2}\right) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n}\right) [/mm] = 1$
Den Grenzwert [mm] $\lim_{n \to \infty} \left(1+\frca{1}{n}\right)^n=e$ [/mm] kennt man. Damit gilt dann:
[mm] $\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}\frac{\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{1}{e}$.
[/mm]
Übrigens gilt allgemein: [mm] $\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^n=e^a$. [/mm] Du hast gerade mit $a=-1$ gearbeitet...
Gruß Brackhaus
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Vielen Dank, Brackhaus!
Werde mir die ganze Sache morgen mal genauer anschauen
>Du hast gerade mit $ a=-1 $ gearbeitet...
...war "leider" unsere Aufgabenstellung
Gruss
Stefan
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Hallo Brackhaus!
Tut mir leid, dass ich dich berichtigen muss:
>Nach der Bernollie-Ungleichung gilt $ [mm] (1-x)^n \le [/mm] 1-nx $ (Beweis durch >vollständige Induktion)....
Eigentlich muss es doch andersherum sein:
$ [mm] (1+x)^n \ge [/mm] 1+nx $
Ich weiß nicht, ob man es so einfach von "+" nach "-" umbauen kann...
Ich hatte heute noch mal meinen Lehrer gefragt und auch einen Schüler aus meiner klasse (hat die letzten Male den Bundeswettbewerb Mathematik gewonnen) und die meinten beide, dass es andersrum sein müsste. Als ich aber nachgerechnet habe, bin ich dort auch nicht unbedingt zum richtigen ergebnis gekommen :-(
Mein lehrer meinte es müsste so aussehen:
$1 [mm] \ge \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n \ge \lim_{n \to \infty} \left( 1- n \cdot \frac{1}{n^2}\right) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n}\right) [/mm] = 1 $
Ansonsten hat aber dein Weg prima funktioniert! Hat mir zwar keine Zensur oder sowas eingebracht, aber ich habe wieder was dazu gelernt.
Gruss,
Stefan
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Hallo!
Ich brauche doch noch einmal Hilfe bei der Beschränktheit für folgende Folge:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{c+ \wurzel{c+ \wurzel{c+...}}} [/mm] $
es sollen n Wurzeln dort stehen, d.h. bei n=3 steht dann:
$ [mm] \wurzel{c+ \wurzel{c+ \wurzel{c}}} [/mm] $
wobei gilt: c ist beliebig, c>0, und c ist konstant
Ich muss ja die Beschränktheit nach oben beweisen. kann mir dabei jemand helfen? ich bin so weit gekommen:
1.Induktionsanfang n=0 >> 0<=2c (wahre Aussage)
2.Induktionsannahme: A(n): [mm] a_{n} [/mm] <= 2c
3.Behauptung: A(n+1): [mm] a_{n+1} [/mm] <= 2c
4.Beweis: [mm] a_{n+1} [/mm] <= 2c
[mm] \wurzel{c+a_{n}} [/mm] <= 2c
c + [mm] a_{n} [/mm] <= 4 [mm] c^{2}
[/mm]
Aber an der Stelle komme ich nicht weiter.
Wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte
Vielen Dank!
Gruss,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 Fr 11.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan,
aus der (strengen) steigenden Monotonie sowie der Konvergenz (siehe Julius' Antwort) folgt unmittelbar die Beschränktheit.
(Unterste) Oberschranke entspricht genau dem Grenzwert.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:23 Fr 11.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Loddar!
Ich widerspreche dir wirklich ungern  , aber in diesem Fall ist das nicht ganz richtig.
Ich nutze die Konvergenz aus, um den Grenzwert zu bestimmen, tue also so, als wüsste ich schon, dass der Grenzwert in [mm] $\IR$ [/mm] existiert und nicht etwas gleich [mm] $+\infty$ [/mm] ist.
Denn, Vorsicht: Meine Schlussfolgerung kann man nur dann machen, wenn man weiß, dass [mm] $\lim\limits_{n \to \infty}a_n \in \IR$ [/mm] ist.
Denn die Gleichheit würde ja auch für [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} a_n [/mm] = [mm] +\infty$ [/mm] gelten.
Man muss also die Beschränktheit noch zeigen, um dann mit Hilfe der Monotonie auf die Konvergenz schließen zu können und damit dann letztendlich auf den von mir ermittelten Grenzwert.
Die Beschränktheit kann man aber induktiv zeigen.
Man zeigt einfach per vollständiger Induktion:
[mm] $a_n \le \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \sqrt{\frac{1}{4}+c}$
[/mm]
und nutzt dabei im Induktionsschritt aus, dass [mm] $\frac{1}{2} [/mm] + [mm] \sqrt{\frac{1}{4}+c}$ [/mm] eine Nullstelle von [mm] $p(x)=x^2-x-c$ [/mm] ist (denn das gilt immer!).
Das scheint im Wesentlichen das zu sein, was du schreibst, ist aber ein kleiner, feiner Unterschied in der Reihenfolge der Argumentation, der aber -mathematisch gesehen- wesentlich ist.
Ich hoffe du verzeihst mir meine Klugscheißerei. ![[streber]](/images/smileys/streber.gif "[streber]") ![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
Liebe Grüße
Julius
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Hallo!
Ich möchte mich hiermit noch einmal recht herzlich bei allen bedanken, die sich an der Antwort zu meinen Fragen beteiligt haben:
Loddar, Brackhaus, Nam und Julius!
Bis zum nächsten Mal!
Gruß,
Stefan
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Wo hast Du denn hier die Wurzel gelassen?
![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]"){kind=small}
