Konvergenz, Induktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Fr 12.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihe :
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k(k+1)}
[/mm]
auf Konvergenz. Weisen Sie dazu zuerst nach, dass
[mm] \summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{k}-\bruch{1}{(k+2)}) [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{3+2n}{(n+1)(n+2)}
[/mm]
für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt. Falls die Reihe konvergiert, dann berechnen Sie ihren Grenzwert. |
Ich habe jetzt versucht diese durch Induktion zu beweisen
i.A. n=1
[mm] \summe_{k=1}^{1} (\bruch{1}{1}-\bruch{1}{(1+2)}) [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{3+2*1}{(1+1)(1+2)} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1- [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{5}{6} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \bruch{9}{6} [/mm] - [mm] \bruch{5}{6} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
gilt.
i.V.
[mm] \summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{k}-\bruch{1}{(k+2)}) [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{3+2n}{(n+1)(n+2)}
[/mm]
i.S. n+1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} (\bruch{1}{k}-\bruch{1}{(k+2)}) [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{3+2(n+1)}{((n+1)+1)((n+1)+2)}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{k}-\bruch{1}{(k+2)}) [/mm] + [mm] (\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+3}) [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{5+2n}{(n+2)(n+3)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{3+2n}{(n+1)(n+2)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+3} [/mm]
= [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{3+2n}{(n+1)(n+2)} [/mm] + [mm] \bruch{(n+2)}{(n+1)(n+2)}-\bruch{1}{n+3} [/mm]
= [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{5+3n}{(n+1)(n+2)}-\bruch{1}{n+3} [/mm]
Bin bis dahin gekommen und weiß nicht mehr was ich mit dem [mm] \bruch{1}{n+3} [/mm] machen soll. Kann mir jemand mal zeigen wie es weiter geht oder was ich eventuell falsch gemacht habe?
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Hiho,
> [mm]\gdw \summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{k}-\bruch{1}{(k+2)})[/mm] + [mm](\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+3})[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] - [mm]\bruch{5+2n}{(n+2)(n+3)}[/mm]
Hier ist dir auf der rechten Seite das (n+1) abhanden gekommen.
Dann: Ich würde dir Empfehlen gerade bei Summeninduktionen nicht beide Seiten umzuformen (das geht meistens spätestens bei Ungleichungen schief), sondern mit der linken Seite zu beginnen und so lange Umzuformen, bis die rechte Seite da steht. Das funktioniert bei Summen nämlich recht gut, da man nur das letzte Glied abspalten und dann direkt die IV anwenden kann. Dann ist der Rest nur noch Umformen, bis die rechte Seite da steht.
Versuch das mal!
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Fr 12.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
Ich habe doch in beide Gleichungen das n mit n+1 ersetzt, dann auf der linken Seite IV+rest herzustellen und habe das mit der IV auf der linken Seite mit der IV aus der rechten ersetzt. Ich versuche jetzt das Ganze umzuformen komme aber nicht weiter..
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Hiho,
stimmt, ich habe übersehenl, dass du aus der 3 eine 5 gemacht hast....
Danach werden deine Umformungen aber sehr wüst. Mal schreibst du dann [mm] \gdw [/mm] ohne die Aussagen zu behalten etc.
Was du noch korrekt gemacht hast, war ja:
$ [mm] \gdw \summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{k}-\bruch{1}{(k+2)}) [/mm] $ + $ [mm] (\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+3}) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{3}{2} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{5+2n}{(n+2)(n+3)} [/mm] $
Dann die IV eingesetzt
$ [mm] \gdw \bruch{3}{2} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{3+2n}{(n+1)(n+2)} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+3}) [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{5+2n}{(n+2)(n+3)} [/mm] $
Streiche nun auf beiden Seiten die [mm] $\bruch{3}{2}$, [/mm] bringe beide Seiten auf den Hauptnenner $(n+1)(n+2)(n+3)$, dann steht es doch schon da!
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Fr 12.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
> Hiho,
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> stimmt, ich habe übersehenl, dass du aus der 3 eine 5
> gemacht hast....
>
> Danach werden deine Umformungen aber sehr wüst. Mal
> schreibst du dann [mm]\gdw[/mm] ohne die Aussagen zu behalten etc.
>
> Was du noch korrekt gemacht hast, war ja:
>
> [mm]\gdw \summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{k}-\bruch{1}{(k+2)})[/mm] +
> [mm](\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+3})[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] -
> [mm]\bruch{5+2n}{(n+2)(n+3)}[/mm]
>
> Dann die IV eingesetzt
>
> [mm]\gdw \bruch{3}{2}[/mm] - [mm]\bruch{3+2n}{(n+1)(n+2)} + (\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+3}) = \bruch{3}{2} - \bruch{5+2n}{(n+2)(n+3)}[/mm]
>
> Streiche nun auf beiden Seiten die [mm]\bruch{3}{2}[/mm], bringe
> beide Seiten auf den Hauptnenner [mm](n+1)(n+2)(n+3)[/mm], dann
> steht es doch schon da!
>
> Gruß,
> Gono
[mm] \gdw \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{3+2n}{(n+1)(n+2)} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+3}) [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{5+2n}{(n+2)(n+3)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{3+2n}{(n+1)(n+2)} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+3}) [/mm] = [mm] \bruch{5+2n}{(n+2)(n+3)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(3+2n)(n+3)}{(n+1)(n+2)(n+3)} [/mm] + [mm] (\bruch{(n+2)(n+3)}{(n+1)(n+2)(n+3)}-\bruch{(n+1)(n+2)}{(n+1)(n+2)(n+3)}) [/mm] = [mm] \bruch{5+2n}{(n+2)(n+3)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(3+2n)(n+3)+(n+2)(n+3)-(n+1)(n+2)}{(n+1)(n+2)(n+3)} [/mm] = [mm] \bruch{5+2n}{(n+2)(n+3)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(3n+9+2n^2+6n)+(n^2+3n+2n+6)-(n^2+2n+n+2)}{(n+1)(n+2)(n+3)} [/mm] = [mm] \bruch{5+2n}{(n+2)(n+3)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(2n^2+11n+13)}{(n+1)(n+2)(n+3)} [/mm] = [mm] \bruch{5+2n}{(n+2)(n+3)}
[/mm]
Bin bis dahin gekommen und komme wieder nicht weiter. Habe versucht [mm] (2n^2+11n+13)/(n+1) [/mm] zu dividieren um (n+1) auszuklammern und zu kürzen, es geht aber nicht!
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Hiho,
> Bin bis dahin gekommen und komme wieder nicht weiter. Habe
> versucht [mm](2n^2+11n+13)/(n+1)[/mm] zu dividieren um (n+1)
> auszuklammern und zu kürzen, es geht aber nicht!
mag vielleicht daran liegen, dass du unsauber aufgeschrieben hast.
> [mm]\gdw \bruch{3+2n}{(n+1)(n+2)}[/mm] + [mm](\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+3})[/mm] = [mm]\bruch{5+2n}{(n+2)(n+3)}[/mm]
Wo ist das Minus auf beiden Seiten hin?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Fr 12.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
Ich habe beide Seiten mit (-1) multipliziert.
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Hiho,
> Ich habe beide Seiten mit (-1) multipliziert.
dann tue das doch mal bitte anständig!
Was passiert denn mit dem zweiten Summanden auf der linken Seite?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Fr 12.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
Der wird mit (x+2)(x+3) multipliziert
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Hiho,
auch hier wieder: UNSAUBER AUFGESCHRIEBEN!
> Der wird mit (x+2)(x+3) multipliziert
was soll denn jetzt x sein??
Du meinst n! Es macht einfach keine n Spaß dir zu helfen, wenn von dir nicht der geringste Versuch unternommen wird, sauber und ordentlich zu arbeiten. Mit Verlaub: Das geht auch nicht, wenn man versucht 3 Aufgaben parallel zu lösen!
Nochmal: Da stand
$ [mm] \gdw [/mm] - [mm] \bruch{3+2n}{(n+1)(n+2)} [/mm] $ + $ [mm] (\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+3}) [/mm] $ = $ [mm] -\bruch{5+2n}{(n+2)(n+3)} [/mm] $
wenn du nun beide Seiten mit (-1) multiplizierst, steht da was?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Fr 12.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
> Hiho,
>
> auch hier wieder: UNSAUBER AUFGESCHRIEBEN!
>
> > Der wird mit (x+2)(x+3) multipliziert
>
> was soll denn jetzt x sein??
> Du meinst n! Es macht einfach keine n Spaß dir zu helfen,
> wenn von dir nicht der geringste Versuch unternommen wird,
> sauber und ordentlich zu arbeiten. Mit Verlaub: Das geht
> auch nicht, wenn man versucht 3 Aufgaben parallel zu
> lösen!
>
> Nochmal: Da stand
>
> [mm]\gdw - \bruch{3+2n}{(n+1)(n+2)}[/mm] +
> [mm](\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+3})[/mm] = [mm]-\bruch{5+2n}{(n+2)(n+3)}[/mm]
Klar ausm + wird -, sorry
>
> wenn du nun beide Seiten mit (-1) multiplizierst, steht da
> was?
>
> Gruß,
> Gono
>
[mm] \gdw \bruch{3+2n}{(n+1)(n+2)} [/mm] -
[mm] \bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+3} [/mm] = [mm] \bruch{5+2n}{(n+2)(n+3)}
[/mm]
Damit wird:
[mm] \bruch{(3n+9+2n^2+6n)-(n^2+3n+2n+6)+(n^2+2n+n+2)}{(n+1)(n+2)(n+3)} [/mm] = [mm] \bruch{(2n^2+7n+5)}{(n+1)(n+2)(n+3)} [/mm] = [mm] \bruch{(5+2n)(n+1)}{(n+1)(n+2)(n+3)} [/mm] = [mm] \bruch{5+2n}{(n+2)(n+3)}
[/mm]
Alles klar, danke! Mir passiert es oft, dass ich mich an einer Stelle verreichne oder irgendwas vergesse.
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Hiho,
> Alles klar, danke! Mir passiert es oft, dass ich mich an
> einer Stelle verreichne oder irgendwas vergesse.
da hilft nur konzentrierter und gründlicher arbeiten. So vermeidet man Fehlder.....
Gruß,
Gono
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