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Guten Morgen und Hallo ;)
Ich habe hier ne Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiterkomme. Die ist total komplex für mich. Aber ich sage kurz mal die Aufgabenstellung.
Ich habe eine unendliche Reihe: [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \pmat{ n + m \\ m }q^{n} [/mm] (*)
für vorgegebene Zahlen m [mm] \in \IN0 [/mm] und q [mm] \in \IC [/mm] sind u.a. wichtig zum Lösen linearer Rekursionsgleichungen. Die einfachste dieser Reihen ist die geometrische Reihe, welche man für die Wahl m = 0 erhält.
a) Beweisen sie, dass (*) genau |q | < 1 konvergiert
b) Zeigen sie durch Induktion nach m, dass im Konvergenzfall gilt
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \pmat{ n + m \\ m }q^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-q)^{m + 1}}
[/mm]
(Hinweis: Setzen Sie Induktionsschritt s := [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \pmat{ n + m + 1 \\ n }q^{n} [/mm] und versuchen Sie, mit Hilfe der Induktionsannahme eine Bestimmungsgleichung für s zu erhalten.)
c) Verwenden Sie die in Teil b) bestimmten Grenzwerte, um
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} nq^{n}
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} n^{2}q^{n}
[/mm]
für q [mm] \in \IC, [/mm] |q| < 1 zu berechnen
Diese Aufgabe ist so umfangreich, aber ich würde die eben gerne verstehen.
a) Da habe ich mir gedacht, wenn q < 1 ist, und m und n positiv, dann werden die Summanden ja immer kleiner. Das heißt die müsste konvergieren. Diese ganzen festen größern verwirren mich aber und dann noch die Mischung zwischen reel und komplex.
wenn ich das Wurzelkriterium anwende würde aus dem [mm] q^{n} [/mm] ja ein q werden. und dann wäre das ergebnis ja fast <1. Aber es gibt doch auch werte für m und n, sodass das Ergebnis nicht < 1 ist. Nach dem Kriterium würde die Reihe ja nicht konvergieren oder?
b) da habe ich überhaupt keine Idee... mich veriwrrt einmal, dass ich n+m über m habe und dann plötzlich n+m+1 über n. Müsste ich nicht n+m+1 über m haben?
Und irgendwie muss ich doch [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \pmat{ n + m \\ m }q^{n} [/mm] wieder umformen, sodass ich nichts mit fakultät stehen habe. Ist das vielleicht (n+m+2)(n+m+1) ?
c) ist bei dem ersten Grenzwert einfach m=1. Weiß gar nicht wie ich da rangehen soll. Einfach die ersten Werte ausrechnen?
beim zweiten Grenzwert müsste doch n+m über m = n² sein oder?
Ich hofe ihr könnt mir helfen. Ich würde so gerne diese Aufgabe verstehen. Weil ich weiß gar nichts mit ihr anzufangen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> a) Beweisen sie, dass (*) genau |q | < 1 konvergiert
Hierzu gehst du am besten mit dem Quotientenkriterium ran:
[mm] $\left|\bruch{\bruch{(n+m+1)!}{m!(n+1)!}q^{n+1}}{\bruch{(n+m)!}{m!(n)!}q^{n}}\right|=|q|*\bruch{(n+m+1)!m!n!}{(n+m)!m!(n+1)!}=|q|\bruch{n+m+1}{n+1}\to [/mm] |q|$.
Damit das Quotientenkriterium also zieht, muss $|q|<1$...
> b) Zeigen sie durch Induktion nach m, dass im
> Konvergenzfall gilt
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \pmat{ n + m \\ m }q^{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(1-q)^{m + 1}}[/mm]
> (Hinweis: Setzen Sie
> Induktionsschritt s := [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \pmat{ n + m + 1 \\ n }q^{n}[/mm]
> und versuchen Sie, mit Hilfe der Induktionsannahme eine
> Bestimmungsgleichung für s zu erhalten.)
Hier benutzt du einen Trick, und zwar die Formel [mm] $\vektor{n\\k}+\vektor{n\\k+1}=\vektor{n+1\\k+1}$.
[/mm]
Ich zeige dir jetzt nur den Induktionsschritt. Also, sei $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \pmat{ n + m \\ m }q^{n}= \bruch{1}{(1-q)^{m + 1}}$ [/mm] für $m$ bereits gezeigt.
Dann gilt für $m+1$:
[mm] $\summe_{n=0}^\infty \vektor{n+m+1\\m+1}q^n-\summe_{n=0}^\infty \vektor{n+m\\m}q^n= \summe_{n=0}^\infty \vektor{n+m\\m+1}q^n=q\summe_{n=1}^\infty \vektor{n+m\\m+1}q^{n-1}=q\summe_{n=0}^\infty \vektor{n+m+1\\m+1}q^n$.
[/mm]
Jetzt setze [mm] $s:=\summe_{n=0}^\infty \vektor{n+m+1\\m+1}q^n$. [/mm] Dann kriegst du die Formel:
[mm] $s-\summe_{n=0}^\infty \vektor{n+m\\m}q^n=qs$, [/mm] also [mm] $s-\bruch{1}{(1-q)^{m+1}}=qs$.
[/mm]
Nach $s$ auflösen ergibt [mm] $s=\bruch{1}{(1-q)^{m+2}}$. [/mm] Das ist die Behauptung!
> c) Verwenden Sie die in Teil b) bestimmten Grenzwerte, um
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} nq^{n}[/mm]
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} n^{2}q^{n}[/mm]
>
> für q [mm]\in \IC,[/mm] |q| < 1 zu berechnen
Für die erste benutzt du, dass [mm] $n=n+1-1=\vektor{n+1\\1}-1$.
[/mm]
Für die zweite: [mm] $n^2=(n+2)(n+1)-3n-2=\bruch 12\vektor{n+2\\2}-3n-2$...
[/mm]
> b) da habe ich überhaupt keine Idee... mich veriwrrt
> einmal, dass ich n+m über m habe und dann plötzlich n+m+1
> über n. Müsste ich nicht n+m+1 über m haben?
Wenn du in die Formel $m+1$ statt $m$ einsetzt bekommst du [mm] $\vektor{n+m+1\\m}=\vektor{n+m+1\\n}$...
[/mm]
> c) ist bei dem ersten Grenzwert einfach m=1. Weiß gar nicht
> wie ich da rangehen soll. Einfach die ersten Werte
> ausrechnen?
> beim zweiten Grenzwert müsste doch n+m über m = n² sein
> oder?
$m$ darf auf keinen Fall von $n$ abhängen, es muss eine Konstante sein!
Hilft dir das ein bisschen weiter? Hast du die Aufgabe jetzt verstanden?
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Mo 06.06.2005 | | Autor: | mathejoker |
Vielen lieben Dank banachella! ;)
Deine Antwort hat mir sehr geholfen. Konnte in der Besprechung viel für mich mitnehmen, da ich das Gefühl hatte, es zu verstehen. ;)
danke!
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