Konvergenz Iterationsverfahren < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Romario |
| Aufgabe | Gegen sei das lineare GS
[mm] 2x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = 3
[mm] 3x_1 [/mm] + [mm] 4_2 [/mm] = 7
und ein Iterationsverfahren
[mm] x_1^{(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(3-x_1^{(n)})
[/mm]
[mm] x_2^{(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5}(7+x_2^{(n)})
[/mm]
Konvergiert das Verfahren für einen beliebigen Startvektor [mm] x^{(0)} [/mm] gegen die Lösung des Gleichungssystems? Begründen Sie Ihre Aussage. |
Hallo zusammen,
irgendwie fehlt mir der passende Ansatz bei dieser Aufgabe.
Also die exakte Lösung des Gleichungssystems lautet : [mm] x_1 [/mm] = 1 und [mm] x_2 [/mm] = 1
Reicht es in diesem Fall schon die exakte Lösung in das Iterationsverfahren einzusetzen und festzustellen, dass sich [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] in n-Iterationsschritten nicht mehr ändern?
Beim Gauss-Seidel oder Jacobi Verfahren kenne ich noch die Aussage über den Spektralradius etc. Die kann man doch hier nicht anwenden, da es sich um ein anderes Iterationsverfahren handelt, oder?
Ich bin für jeden Tipp dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Romario,
> Reicht es in diesem Fall schon die exakte Lösung in das
> Iterationsverfahren einzusetzen und festzustellen, dass
> sich [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] in n-Iterationsschritten nicht mehr
> ändern?
Nein, das reicht nicht ist aber eine notwendige Bedingung.
> Beim Gauss-Seidel oder Jacobi Verfahren kenne ich noch die
> Aussage über den Spektralradius etc. Die kann man doch hier
> nicht anwenden, da es sich um ein anderes
> Iterationsverfahren handelt, oder?
Ja, Du mußt nur die Iterationsmatrix M des Verfahrens raussuchen.
[mm] x^{(n+1)}=Mx^{(n)}+c
[/mm]
So wie ihr das auch bei Jacobi bzw. Gauß-Seidel-verfahren gemacht habt.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Romario |
ok, vielen Dank. Das habe ich jetzt verstanden, aber ich weiß leider nicht, wie ich die Iterationsmatrix für dieses Verfahren bestimme (stehe irgendwie auf dem Schlauch).
Beim Jacobi Verfahren weiß ich, dass die Iterationsmatrix z.B. für A = [mm] \pmat{ 1 & \bruch{1}{2} & 1 \\ \bruch{1}{2} & 1 & 1 \\ -2 & 2 & 1 }
[/mm]
[mm] M_{JAC} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -\bruch{1}{2} & -1 \\ - \bruch{1}{2} & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 0 } [/mm] ist.
Aber ich habe hier ja kein Jacobi-Verfahren vorliegen. Wie kann ich denn mit dem angegebenen Verfahren die Iterationsmatrix bestimmen?
Danke für deine/eure Geduld!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Romario |
Ich habe jetzt noch ein wenig "rumprobiert" und die Iterationsmatrix [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 1 & -3 } [/mm] herausbekommen.
Als Eigenwerte habe ich {-1, -3} erhalten. Das würde aber doch bedeuten, dass dieses Verfahren gar nicht gegen die Lösung des Gleichungssystems konvergiert, oder?
Habe ich denn die Iterationsmatrix richtig bestimmt? Ich glaube, ich brauche hier noch ein wenig Hilfe.
Wäre nett, wenn sich noch jemand die Mühe macht mir das zu erklären.
Danke euch.
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Hallo Romario,
Um die Iterationsmatrix herauszufinden mußt Du das Iterationsverfahren in Matrixschreibweise umschreiben
[mm] x_1^{(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(3-x_1^{(n)})
[/mm]
[mm] x_2^{(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5}(7+x_2^{(n)}) [/mm]
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2}=M*\vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] + c
Mir ist aber gerade was anderes aufgefallen. Hast Du denn schon überprüft was passiert wenn Du die exakte Lösung in dein Iterationsverfahren einsetzt?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Romario |
Hallo mathemaduenn,
wenn ich die exakte Lösung [mm] x_1 [/mm] = 1 und [mm] x_2 [/mm] = 1 in das Iterationsverfahren einsetze, dann kommt wieder die exakte Lösung raus.
[mm]\bruch{1}{2}(3-x_1^{(n)})[/mm] = 1
[mm]\bruch{1}{5}(7+x_2^{(n)})[/mm] = 1
Das mit der Matrixschreibweise verstehe ich aber leider nicht. Kannst du mir vielleicht ein Besipiel geben wie ich das machen muss? Und was ist das "c" in untenstehender Gleichung? Der Lösungsvektor?
[mm]\vektor{x_1 \\ x_2}=M*\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] + c
Danke.
Romario
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Hallo Romario,
> Iterationsverfahren einsetze, dann kommt wieder die exakte
> Lösung raus.
>
> [mm]\bruch{1}{2}(3-x_1^{(n)})[/mm] = 1
> [mm]\bruch{1}{5}(7+x_2^{(n)})[/mm] = 1
[mm] \bruch{1}{5}(7+1)=1 [/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Sicher?
Nochmal zur Matrixschreibweise Wenn Du ein beliebiges lineares Gleichungssystem hast z.B.
[mm] x_1^{(n+1)}=1x_1^{(n)}+2x_2^{(n)}+5
[/mm]
[mm] x_2^{(n+1)}=3x_1^{(n)}+4x_2^{(n)}+6
[/mm]
kann man das in Matrixschreibweise aufschreiben
[mm]\vektor{x_1 \\ x_2}=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }*\vektor{x_1 \\ x_2} + \vektor{5 \\ 6}[/mm]
Nun klarer?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Romario |
Ich habe gerade gesehen, dass sich in meiner Fragestellung ein Fehler eingeschlichen hat!
Ich habe das Iterationsverfahren falsch abgeschrieben!
Nach Einsetzen der exakten Lösung in das "richtige" Verfahren erhalte ich nun:
[mm] x_1^{(n+1)} [/mm] = [mm]\bruch{1}{2}(3-x_1^{(n)})[/mm] = 1
[mm] x_2^{(n+1)} [/mm] = [mm]\bruch{1}{5}(7+x_1^{(n)} - 3x_2^{(n)})[/mm] = 1
Werde das jetzt mit der Matrixschreibweise noch einmal ausprobieren.
Danke nochmal für deine Geduld.
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