Konvergenz Newton-Verfahren < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zz.: Für eine auf [mm] $U(\xi):=[\xi -r,\xi [/mm] +r]$ zweimal stetig differenzierbare Funktion [mm] $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ [/mm] mit einfacher Nullstelle [mm] $\xi$ [/mm] ist das Iterationsverfahren
[mm] $y^{(n)}:=x^{(n)}-\frac{f(x^{(n)})}{f'(x^{(n)})}$ [/mm] , [mm] $x^{(n+1)}:=y-\frac{f(y)}{f'(x^{(n)})}$
[/mm]
lokal konvergent von der Ordnung $3$. |
Ich bin bisher wie folgt vorgegangen: [mm] $f\in C^1$ [/mm] mit [mm] $f'(\xi)\ne 0\;\Rightarrow$ [/mm] es gibt eine Umgebung [mm] $U'(\xi)\subseteq U(\xi)$ [/mm] mit $|f'(x)|>0$ für alle [mm] $x\in U'(\xi)$. [/mm] Sei nun [mm] $x^{(n+1)}\in U'(\xi)$. [/mm] Mit dem Mittelwertsatz folgt die Existenz eines [mm] $\zeta\in (y^{(n)},\xi)$ [/mm] mit
[mm] $\left|x^{(n+1)}-\xi\right|\le \left|y^{(n)}-\xi\right|\left|1-\frac{f'(\zeta)}{f'(x^{(n)})}\right|$ [/mm] (Umformungen weggelassen)
sodass
[mm] $\left|1-\frac{f'(\zeta)}{f'(x^{(n)})}\right|\le q_1\in [/mm] (0,1)$
erreicht werden kann. Induktiv folgt [mm] $\left(x^{(n+1)}\right)_n\subset U'(\xi)$; [/mm] also ist das Verfahren wohldefiniert.
Ferner existiert auch ein [mm] $\eta\in (x^{(n)},\xi)$, [/mm] mit
[mm] $|y^{(n)}-\xi|\le \left|x^{(n)}-\xi\right|\left|1-\frac{f'(\eta)}{f'(x^{(n)})}\right|$
[/mm]
sodass
[mm] $\left|1-\frac{f'(\eta)}{f'(x^{(n)})}\right|\in q_2\in [/mm] (0,1)$
erreicht werden kann. Damit gilt:
[mm] $|x^{(n+1)}-\xi|\le q_1|y^{(n)}-\xi|\le q_1q_2|x^{(n)}-\xi|$
[/mm]
Damit liegt in jedem Fall lineare Konvergenz vor; dafür hätte ich die Bestimmung von [mm] $\eta$ [/mm] und [mm] $q_2$ [/mm] jedoch nicht gebraucht.
Wie zeige ich die lokale Konvergenz der Ordnung $p$, d.h.:
[mm] $|x^{(n+1)}-\xi|=\alpha|x^{(n)}-\xi|^3$ ($\alpha [/mm] >0$)
Da habe ich gerade keine Ahnung. Ich habe allerdings auch noch nicht ausgenutzt, dass $f$ ZWEIMAL stetig differenzierbar ist.
Weiß jemand Rat?
Gruß
Differential
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Kann mir niemand weiterhelfen? Habe ich den total falschen Ansatz gewählt? Oder kann ich euch noch weitere Informationen geben, um mir zu helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 15.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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