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Hallo,
gegeben ist die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{3n^2-1}
[/mm]
Habe ich das richtig erkannt, dass diese Reihe divergent ist, weil die
harmonische Reihe eine divergente Minorante von [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{3n^2-1} [/mm] ist.
(da [mm] \bruch{n}{3n^2-1}=\bruch{1}{3n-1} [/mm] > [mm] \bruch{1}{3n}=\bruch{1}{3}*\bruch{1}{n})
[/mm]
Oder liege ich total falsch?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 Mi 03.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> gegeben ist die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{3n^2-1}[/mm]
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> Habe ich das richtig erkannt, dass diese Reihe divergent
> ist, weil die
> harmonische Reihe eine divergente Minorante von
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{3n^2-1}[/mm] ist.
Fast richtig.
> (da [mm]\bruch{n}{3n^2-1}=\bruch{1}{3n-1}[/mm] >
> [mm]\bruch{1}{3n}=\bruch{1}{3}*\bruch{1}{n})[/mm]
Das erste "=" ist falsch ! Richtig:
[mm]\bruch{n}{3n^2-1}=\bruch{1}{3n-\bruch{1}{n}}[/mm] > [mm]\bruch{1}{3n}=\bruch{1}{3}*\bruch{1}{n})[/mm]
FRED
>
> Oder liege ich total falsch?
>
> Danke,
> Anna
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Hallo Fred,
DANKE für Deine Antwort!
> > (da [mm]\bruch{n}{3n^2-1}=\bruch{1}{3n-1}[/mm] >
> > [mm]\bruch{1}{3n}=\bruch{1}{3}*\bruch{1}{n})[/mm]
>
> Das erste "=" ist falsch ! Richtig:
>
> [mm]\bruch{n}{3n^2-1}=\bruch{1}{3n-\bruch{1}{n}}[/mm] >
> [mm]\bruch{1}{3n}=\bruch{1}{3}*\bruch{1}{n})[/mm]
Oh, stimmt.
Noch eine ähnliche Reihe in diesem Zusammenhang:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{n^3-1}[/mm]
Hier ist ja
[mm] \bruch{n}{n^3-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^2-\bruch{1}{n}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{n^2}
[/mm]
Hm, die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] wäre aber konvergent.
Ist hier mein Ansatz falsch?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Mi 03.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> DANKE für Deine Antwort!
>
> > > (da [mm]\bruch{n}{3n^2-1}=\bruch{1}{3n-1}[/mm] >
> > > [mm]\bruch{1}{3n}=\bruch{1}{3}*\bruch{1}{n})[/mm]
> >
> > Das erste "=" ist falsch ! Richtig:
> >
> > [mm]\bruch{n}{3n^2-1}=\bruch{1}{3n-\bruch{1}{n}}[/mm] >
> > [mm]\bruch{1}{3n}=\bruch{1}{3}*\bruch{1}{n})[/mm]
>
> Oh, stimmt.
>
> Noch eine ähnliche Reihe in diesem Zusammenhang:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{n^3-1}[/mm]
>
> Hier ist ja
> [mm]\bruch{n}{n^3-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n^2-\bruch{1}{n}}[/mm] >
> [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm]
Diese Abschätzung ist richtig, bringt Dir aber nichts
>
> Hm, die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm] wäre
> aber konvergent.
Eben, die Reihe ist konvergent.
> Ist hier mein Ansatz falsch?
Es ist [mm] \bruch{n}{n^3-1} \le \bruch{2}{n^2} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2, , also ist [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{n^3-1}[/mm] konvergent
FRED
>
> Danke,
> Anna
>
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Hallo Fred,
> > Noch eine ähnliche Reihe in diesem Zusammenhang:
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{n^3-1}[/mm]
> >
> > Hier ist ja
> > [mm]\bruch{n}{n^3-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n^2-\bruch{1}{n}}[/mm] >
> > [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm]
>
>
> Diese Abschätzung ist richtig, bringt Dir aber nichts
Ja, habe ich dann auch gemerkt.
> >
> > Hm, die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm] wäre
> > aber konvergent.
>
>
> Eben, die Reihe ist konvergent.
> > Ist hier mein Ansatz falsch?
>
> Es ist [mm]\bruch{n}{n^3-1} \le \bruch{2}{n^2}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 2, ,
> also ist [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{n^3-1}[/mm]
> konvergent
Und zwar aufgrund des Majorantenkriteriums, da [mm] \bruch{2}{n^2} [/mm] = 2 * [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] und die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2} [/mm] konvergiert. Richtig?
Danke,
Anna
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Hallo Anna!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:07 Mi 03.03.2010 | | Autor: | Anna-Lyse |
Danke Fred und Roadrunner!
Gruß
Anna
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