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| Aufgabe | Es sei [mm] a_n [/mm] iterativ woe folgt definiert:
[mm] a_n:= [/mm] 1 und für alle [mm] n\ge [/mm] 2, [mm] a_n [/mm] := [mm] a^2_n_-_1 [/mm] -5
Konvergiert die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} 1/a_n [/mm] ? |
Hallo!
Also stehe bei dieser Aufgabe irgendwie auf dem Schlauch.
Kann man hier nicht einfach begründen, dass die die Reihe divergent ist, weil die Partialsummen nicht gegen Null konvergieren?
Die Reihe (Folge der Partialsummen) würde sich ja folgendermaßen fortsetzen:
1, 3/4, 37/44, 271/319, 0,8496..., 0,85...
Also die Folge der Partialsummen würde demnach gegen 0,85 konvergieren, aber wie kann ich das beweisen? Oder wie kann ich beweisen, dass die Folge der Partialsummen nicht gegen Null konvergiert?
Ist meine Vermutung überhaupt richtig??
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar 
Beste Grüße
Britta_lernt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Do 18.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Zeige: [mm] a_n \ge n^2 [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 3
FRED
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Hallo FRED,
> Zeige: [mm]a_n \ge n^2[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 3
>
> FRED
hmmm ist denn meine Folgerung soweit richtig gewesen? Ich muss leider zugeben, dass ich jetzt nicht so richtig weiß mit dem Tipp umzugehen ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Danke für die Hilfe.
Grüße
Britta_lernt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Do 18.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum sollten die Partialsummen denn gegen 0 konvergieren. die Reihe (wie viele andere die konvergieren hat ab n=3 lauter positive Summanden, du weisst also schon schnell dass sie nicht gegen 0 gehen kann.
vielleicht hast du was verwechselt,: eine notwendige (aber nicht hinreichende9 Bedingung, dass ne Reine konv. ist dass die Summanden [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge bilden
Was fred dir vorgeschlagen hat war eine Reihe zu finden, die ab einem festen n alle ssummanden kleiner sind als bei einer bekannten konvergenten Reihe, also das Majorantenkriterium.
gruss leduart
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Hallo Leduart,
achso ok. hmmm wir haben nur dieses Majorantenkriterium noch nicht in der Vorlesung gehabt :/. Kann man die Aufgabe auch irgendwie anders lösen.
> Warum sollten die Partialsummen denn gegen 0 konvergieren.
In meiner Frage meinte ich, dass man ja zeigen könnte, dass die Folge eben nicht gegen Null geht. Würde das die Aufgabe lösen?
Ich weiß nur nicht wie ich ansetzen soll.
Danke nochmal für die Hilfe!
beste Grüße
Britta_lernt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Do 18.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Reihe ist konvergent, die [mm] a_n [/mm] wachsen schnell, die [mm] 1/a_n [/mm] fallen deshalb schnell.
Welche Kriterien hattet ihr denn für Konvergenz?
vielleicht habt ihr es nur nicht Majorantenkriterium genannt?
Gruss leduart
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Hallo leduart,
> Hallo
> Die Reihe ist konvergent, die [mm]a_n[/mm] wachsen schnell, die
> [mm]1/a_n[/mm] fallen deshalb schnell.
> Welche Kriterien hattet ihr denn für Konvergenz?
> vielleicht habt ihr es nur nicht Majorantenkriterium
> genannt?
> Gruss leduart
>
Wir hatten endlich das Majorantenkriterium
Also muss man eine konvergente Majorante von [mm] a_n [/mm] finden, sodass wir darauf schließen können, dass [mm] a_n [/mm] konvergiert.
Also für [mm] n\ge [/mm] 3 ist dann
[mm] a_3=(-4)^2-5=11>9=3^2
[/mm]
Also ab n=3 ist
[mm] a_n \ge n^2
[/mm]
Nur ich habe Probleme das zu zeigen.
Wenn das gilt wäre dann
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}1/a_n [/mm] < [mm] 1/n^2
[/mm]
Also wäre [mm] 1/n^2 [/mm] eine konvergente Majorante.
Irgendwie noch nicht so richtig ausgereift???
Danke für die Hilfe.
Liebe Grüße
Britta_lernt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Mo 22.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Wir hatten endlich das Majorantenkriterium
>
>
> Also muss man eine konvergente Majorante von [mm]a_n[/mm] finden,
> sodass wir darauf schließen können, dass [mm]a_n[/mm]
> konvergiert.
> Also für [mm]n\ge[/mm] 3 ist dann
> [mm]a_3=(-4)^2-5=11>9=3^2[/mm]
> Also ab n=3 ist
>
> [mm]a_n \ge n^2[/mm]
> Nur ich habe Probleme das zu zeigen.
das geht mit Induktion
>
> Wenn das gilt wäre dann
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}1/a_n[/mm] < [mm]1/n^2[/mm]
so ist das falscht!
richtig ist
[mm] $\summe_{n=3}^{\infty}1/a_n$ [/mm] < [mm] $\summe_{n=3}^{\infty}1/n^2$
[/mm]
> Also wäre [mm]1/n^2[/mm] eine konvergente Majorante.
Nein, die Summe darüber.
Gruss leduart
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