Konvergenz Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich bins mal wieder... Irgendwie tu ich mich sehr schwer mit dem Thema, Folgen, Reihen, Konvergenz und Co. Der Knoten scheint leider noch nicht geplatzt zu sein....
Beispielsweise soll ich prüfen, ob folgende Reihe konvergiert:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{k!})^{\bruch{2}{k}}
[/mm]
meine Idee war zunächst das ganze mit dem Quotientenkriterium zu prüfen.
Begonnen habe ich mit [mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_k}|
[/mm]
das ganze hab ich versucht immer weiter umgeformt und habe nun
|( [mm] (\bruch{1}{k+1}) [/mm] / [mm] (\bruch{1}{k!})^{\bruch{1}{k}} )^{\bruch{2}{k+1}}|
[/mm]
Damit kann ich jedoch irgendwie absolut nichts anfangen...
Bin ich schon falsch an die aufgabe rangegangen?
Ich sehe grad, dass das mit der Formatierung irgendwie nicht richtig klappt, vor lauter Brüchen, hab meine Lösung jetzt aufs wesentliche beschränkt und meine Zwischenschritte deshalb weggelassen...
Ich hoffe man kann einigermaßen lesen was gemeint ist...
Viele Grüße,
Pia
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Hallo Pia,
da ist jemand wirklich gut im Konstruieren von Aufgaben. Die hier ist richtig schwierig.
Weißt Du (und dürft Ihr verwenden), dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^s} [/mm] für s>1, [mm] s\in\IR, [/mm] konvergent ist?
Die entsprechende Reihe mit s=1,5 ist eine Majorante (erst ab n=30). Das ist allerdings nur schwer zu zeigen, scheint mir. Will heißen: ich kriegs gerade nicht hin...
Dürft Ihr die ![[]](/images/popup.gif) Stirling-Formel verwenden? Dann ist das Leben einfacher.
Es sieht nicht so aus, als ob Dir das Quotientenkriterium etwas bringt. Das Wurzelkriterium auch nicht.
Wahrscheinlich ist es gut, eine passende Majorante zu suchen. Außer der oben genannten wüsste ich aber gerade keine.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 So 05.12.2010 | | Autor: | Pia90 |
Erstmal vielen Dank für die Antwort!
Es beruhigt mich ein wenig, dass es außer mir auch andere Menschen gibt, die die Aufgabe auf Anhieb hinbekommen...
Die Stirling-Formel sagt mir jetzt nichts und da ich das mit der Majorante noch nicht wirklich verstehe, hab ich mich jetzt zunächst einmal an eine hoffentlich "einfachere" Reihe herangewagt und zwar [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
[/mm]
Ich habe auch hier nun zunächst das Quotientenkriterium versucht und komme damit nach einigen Umformungen auf [mm] |\bruch{x}{2k+2}| [/mm]
Jedoch weiß ich noch nicht genau, was ich damit jetzt anfangen kann...
eigentlich muss man jetzt überlegen, was passiert, wenn k [mm] \to \infty [/mm] geht, oder? Dann würde das ganze gegen 0 gehen, oder? aber das bedeutet, dass das Quotientenkriterium mir an dieser stelle nicht weiterhilft, oder?
Viele Grüße,
Pia
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Hallo Pia,
> Erstmal vielen Dank für die Antwort!
Gern doch. Dazu ist das Forum ja da. 
> Es beruhigt mich ein wenig, dass es außer mir auch andere
> Menschen gibt, die die Aufgabe auf Anhieb hinbekommen...
äh - "nicht hinbekommen" wäre treffender, oder?
> Die Stirling-Formel sagt mir jetzt nichts und da ich das
> mit der Majorante noch nicht wirklich verstehe, hab ich
> mich jetzt zunächst einmal an eine hoffentlich
> "einfachere" Reihe herangewagt und zwar
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm]
Hm. Na gut. Neues Spiel, neues Glück.
> Ich habe
> auch hier nun zunächst das Quotientenkriterium versucht
> und komme damit nach einigen Umformungen auf
> [mm]|\bruch{x}{2k+2}|[/mm]
> Jedoch weiß ich noch nicht genau, was ich damit jetzt
> anfangen kann...
> eigentlich muss man jetzt überlegen, was passiert, wenn k
> [mm]\to \infty[/mm] geht, oder? Dann würde das ganze gegen 0 gehen,
> oder? aber das bedeutet, dass das Quotientenkriterium mir
> an dieser stelle nicht weiterhilft, oder?
Alles richtig überlegt. Nur dass das QK hier doch weiterhilft. Schau mal bei einer vollständigen Formulierung des Kriteriums nach.
Das erklärt auch gleich den zweiten Teil der Aufgabe. In der Tat kannst Du doch ein q<1 (und es muss tatsächlich echt kleiner 1 sein!) definieren, dass für alle [mm] n>n_0 [/mm] eine obere Schranke bildet. Die untere (Null) ist zwar leicht zu ermitteln, aber eigentlich für das QK bedeutungslos. Andererseits klappt die [mm] n>n_0 [/mm] in all diesen Fällen...
Klarer?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 So 05.12.2010 | | Autor: | Pia90 |
>
> äh - "nicht hinbekommen" wäre treffender, oder?
>
ohja, das meinte ich auch eigentlich :)
>
> > Ich habe
> > auch hier nun zunächst das Quotientenkriterium versucht
> > und komme damit nach einigen Umformungen auf
> > [mm]|\bruch{x}{2k+2}|[/mm]
> > Jedoch weiß ich noch nicht genau, was ich damit jetzt
> > anfangen kann...
> > eigentlich muss man jetzt überlegen, was passiert,
> wenn k
> > [mm]\to \infty[/mm] geht, oder? Dann würde das ganze gegen 0 gehen,
> > oder? aber das bedeutet, dass das Quotientenkriterium mir
> > an dieser stelle nicht weiterhilft, oder?
>
> Alles richtig überlegt. Nur dass das QK hier doch
> weiterhilft.
Ok, mal ganz langsam für mich...
ich habe jetzt [mm]|\bruch{x}{2k+2}|[/mm] ...
wenn ich das jetzt richtig verstanden habe muss dies ja kleiner 1 sein und man kann jetzt überlegen, für welche x dies der fall ist, ist das soweit noch richtig?
Dann müsste doch |x| < |2k+2| sein, oder lässt sich das irgendwie anders angeben?
>Schau mal bei einer vollständigen
> Formulierung
> des Kriteriums nach.
Ich habe mir den Link angesehen... ich bin immernoch bei aufgaben etc. verwirrt in denen plötzlich ein [mm] n_0 [/mm] auftaucht, aber hier ist [mm] n_0 [/mm] = 0, wenn man die Null zu den [mm] \IN [/mm] zählt, oder? also einfach das kleinste n das es gibt?! Und alle n sind somit größer?
> Das erklärt auch gleich den zweiten Teil der Aufgabe.
Den 2. Teil der Aufgabe?
Sorry, dass ich anscheinend ein wenig schwer von Begriff bin...
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Hallo Pia,
hartnäckig bleiben ist gut. Ehrlich gemeinter Satz!
> Ok, mal ganz langsam für mich...
g u t m e i n e t
Pause
... w e g e n .
Pause
lange Pause
Mittagsschlaf
ich jedenfalls...
Lemma von allen: Mathematiker sind faul.
> ich habe jetzt [mm]|\bruch{x}{2k+2}|[/mm] ...
> wenn ich das jetzt richtig verstanden habe muss dies ja
> kleiner 1 sein und man kann jetzt überlegen, für welche x
> dies der fall ist, ist das soweit noch richtig?
Absolut, vollkommen und ohne jede Einschränkung.
> Dann müsste doch |x| < |2k+2| sein, oder lässt sich das
> irgendwie anders angeben?
Nur wenig. Immerhin ist k>0, so dass die rechten Betragsstriche wegfallen können.
> >Schau mal bei einer vollständigen
> > Formulierung
> > des Kriteriums nach.
>
> Ich habe mir den Link angesehen... ich bin immernoch bei
> aufgaben etc. verwirrt in denen plötzlich ein [mm]n_0[/mm]
> auftaucht, aber hier ist [mm]n_0[/mm] = 0, wenn man die Null zu den
> [mm]\IN[/mm] zählt, oder?
Nein, das hängt doch von x ab. Besser wäre hier vielleicht auch, die Laufvariable umzubenennen (und nicht mehr). Es ist das kleinste [mm] n_0 [/mm] gesucht, so dass [mm] |x|<2n_0+2 [/mm] ist, oder anders umgestellt, [mm] n_0>\bruch{|x|}{2}-1 [/mm] ist.
> also einfach das kleinste n das es gibt?!
> Und alle n sind somit größer?
Hmm. Schlecht formuliert, denke ich. Wenn Du das kleinste [mm] n_0 [/mm] gefunden hast, dann gilt die Ungleichung für alle [mm] n>n_0.
[/mm]
> > Das erklärt auch gleich den zweiten Teil der Aufgabe.
>
> Den 2. Teil der Aufgabe?
Na, ein passendes [mm] n_0 [/mm] zu finden.
> Sorry, dass ich anscheinend ein wenig schwer von Begriff
> bin...
Oh, wenn wir noch wen drittes finden, könnten wir nach belgischem Recht schon einen Verein gründen. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 So 05.12.2010 | | Autor: | Pia90 |
> hartnäckig bleiben ist gut.
ich wills ja schließlich verstehen :)
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> > ich habe jetzt [mm]|\bruch{x}{2k+2}|[/mm] ...
> > wenn ich das jetzt richtig verstanden habe muss dies ja
> > kleiner 1 sein und man kann jetzt überlegen, für welche x
> > dies der fall ist, ist das soweit noch richtig?
>
> Absolut, vollkommen und ohne jede Einschränkung.
>
> > Dann müsste doch |x| < |2k+2| sein, oder lässt sich das
> > irgendwie anders angeben?
>
> Nur wenig. Immerhin ist k>0, so dass die rechten
> Betragsstriche wegfallen können.
>
Ah stimmt, das k>0 ist, hatte ich irgendwie verdrängt :)
> Hmm. Schlecht formuliert, denke ich. Wenn Du das kleinste
> [mm]n_0[/mm] gefunden hast, dann gilt die Ungleichung für alle
> [mm]n>n_0.[/mm]
Also wir wissen ja jetzt, dass die Reihe konvergiert, wenn |x| < [mm] 2n_0+2 [/mm] ist, oder?
Nach der Wikipedia Definition ist die Reihe absolut konvergent. Ist das immer der Fall, wenn man mit dem Quotientenkriterium vorgeht, dass wenn man rausbekommt, dass die Reihe konvergent ist, diese absolut konvergent ist.
Oder was wäre der Unterschied, wenn eine Reihe bedingt konvergent ist?
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> > Sorry, dass ich anscheinend ein wenig schwer von Begriff
> > bin...
>
> Oh, wenn wir noch wen drittes finden, könnten wir nach
> belgischem Recht schon einen Verein gründen.
na, da wird sich doch bestimmt jemand finden ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:50 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Pia90 |
es besteht weiterhin Interesse an dieser Aufgabe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 Di 07.12.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo>
> Also wir wissen ja jetzt, dass die Reihe konvergiert, wenn
> |x| < [mm]2n_0+2[/mm] ist, oder?
>
> Nach der Wikipedia Definition ist die Reihe absolut
> konvergent. Ist das immer der Fall, wenn man mit dem
> Quotientenkriterium vorgeht, dass wenn man rausbekommt,
> dass die Reihe konvergent ist, diese absolut konvergent
> ist.
Im Quotientenkriterium spielt das Vorzeichen der Reihenglieder keine Rolle, es wird ja immer der Betrag genommen. Daher die absolute Konvergenz.
> Oder was wäre der Unterschied, wenn eine Reihe bedingt
> konvergent ist?
Nimm doch mal das berühmte Beispiel der alternierenden harmonischen Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] ,
die konvergent, aber nicht absolut konvergent ist. Bei dieser Reihe versagt das Quotientenkriterium.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 So 05.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn Du die Abschätzung [mm] n!>e*\left(\br{n}{e}\right)^n [/mm] benutzt kommst Du auf eine konvergente Majorante.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:49 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank, dann werd ich das damit mal probieren!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Di 07.12.2010 | | Autor: | Pia90 |
Ich habe nochmal eine Frage und zwar habe ich die Abschätzung n! [mm] \ge (\bruch{n}{e})^n, [/mm] weil ich das zuvor beweisen sollte...
mit der Abschätzung komme ich dann darauf, dass
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{k!})1{\bruch{2}{k}} \ge \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{e^2}{k^2} [/mm] - k-> [mm] \infty [/mm] -> 0
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Di 07.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pia!
Nein, das stimmt so nicht ganz. Zum einen konvergiert die Reihe mit Sicherheit nicht gegen 0.
Zum anderen dreht sich Deine Ungleichheitszeichen um, da der abzuschätzende Ausdruck im Nenner ist.
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{k!}\right)^{\bruch{2}{k}} \ \red{\le} \ \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{e^2}{k^2}[/mm]
Und von der rechten Reihe ist bekannt, dass sie konvergiert.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Di 07.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi Pia,
wie hast Du denn abgeschätzt. Zeige doch mal Deine Rechnung. Bedenke wenn [mm] n!>e*\left(\br{n}{e}\right)^n [/mm] dann ist [mm] \br{1}{n!}<\br{1}{e}*\left(\br{e}{n}\right)^n [/mm] gilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Pia90 |
ich habe abgeschätzt mit [mm] (\bruch{n}{e})^{n} \le [/mm] n! da ich dies zuvor bereits gezeigt habe...
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