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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Do 19.04.2012 | | Autor: | erha06 |
| Aufgabe | Folgende Reihe ist auf Konvergenz zu untersuchen:
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \bruch {k}{k^2+1}$ [/mm] |
Hallo ihr alle,
ich brauche einen Tipp für diese Aufgabe. Ich habe es bereits mit dem Quotientenkriterium versucht, jedoch komme ich, wenn ich den Limes bilde auf 1, wodurch dann das Quotientenkriterium leider nicht greift...
Danke für eure Hilfe
erha06
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Do 19.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Folgende Reihe ist auf Konvergenz zu untersuchen:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch {k}{k^2+1}[/mm]
> Hallo ihr alle,
>
> ich brauche einen Tipp für diese Aufgabe. Ich habe es
> bereits mit dem Quotientenkriterium versucht, jedoch komme
> ich, wenn ich den Limes bilde auf 1, wodurch dann das
> Quotientenkriterium leider nicht greift...
>
> Danke für eure Hilfe
> erha06
>
Finde a>0 so, dass [mm] \bruch{k}{k^2+1} \ge \bruch{a}{k} [/mm] für alle k.
Minorantenkriterium.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Do 19.04.2012 | | Autor: | erha06 |
| Aufgabe | | $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch {k}{k^3+1} [/mm] $ |
Ok, danke:
$ [mm] \bruch{k}{k^2+1}>\bruch{k}{k^2+k^2}=0,5*\bruch{k}{k^2} [/mm] =0,5 [mm] *\bruch{1}{k}$ [/mm] für alle k [mm] $\geq [/mm] $ 1.
Das gesuchte a ist also 0,5.
Ich hätte gedacht, dass die Reihe konvergiert, nicht, dass sie divergiert... Gibt es allgemein einen Trick, Divergenz zu sehen? (Außer, dass wenn die Folge keine Nullfolge ist, dass dann die Reihe divergiert.)
Ich habe nämlich noch eine weitere Reihe (s. oben) mit der ich Probleme habe... Bei dieser sagt zumindest Wolfram|Alpha, dass sie konvergiert :), ich finde aber keine Reihe, mit der ich das Majorantenkriterium anwenden könnte und das Quotientenkriterium greift wieder nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Do 19.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo erha!
Deine Abschätzung ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Was Du nun mit dem a meinst, erschließt sich mir nicht. Einen entsprechenden Wert sind bei Majoranten- und Minorantenkriterium nicht notwendig, wie z.B. beim Quotientenkriterium.
Anosnsten gilt: mit Übung "sieht" man auch, ob eine Reihe eher divergiert oder konvergiert.
Im Zweifelsfalle sind halt zwei Rechnungen durchzuführen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Fr 20.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch {k}{k^3+1}[/mm]
Ja, was ist denn jetzt los ?
Oben war von
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch {k}{k^2+1} [/mm] $
die Rede, und nun steht da
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch {k}{k^3+1}[/mm]
????
Die erste Reihe divergiert, die zweite konvergiert.
FRED
> Ok, danke:
> [mm]\bruch{k}{k^2+1}>\bruch{k}{k^2+k^2}=0,5*\bruch{k}{k^2} =0,5 *\bruch{1}{k}[/mm]
> für alle k [mm]\geq[/mm] 1.
>
> Das gesuchte a ist also 0,5.
>
> Ich hätte gedacht, dass die Reihe konvergiert, nicht, dass
> sie divergiert... Gibt es allgemein einen Trick, Divergenz
> zu sehen? (Außer, dass wenn die Folge keine Nullfolge ist,
> dass dann die Reihe divergiert.)
>
> Ich habe nämlich noch eine weitere Reihe (s. oben) mit der
> ich Probleme habe... Bei dieser sagt zumindest
> Wolfram|Alpha, dass sie konvergiert :), ich finde aber
> keine Reihe, mit der ich das Majorantenkriterium anwenden
> könnte und das Quotientenkriterium greift wieder nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Fr 20.04.2012 | | Autor: | erha06 |
> > [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch {k}{k^3+1}[/mm]
>
> Ja, was ist denn jetzt los ?
>
> Oben war von
>
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch {k}{k^2+1}[/mm]
>
>
> die Rede, und nun steht da
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch {k}{k^3+1}[/mm]
>
> ????
>
Das war eine weitere Reihe. ("Ich habe nämlich noch eine weitere Reihe (s. oben) mit der ich Probleme habe..."). Dieses Problem hat sich mittlerweile allerdings von selbst gelöst. Ich hätte wohl lieber einen neuen Thread aufgemacht, das hätte weniger verwirrt.
Danke für eure Hilfe!
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