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| Aufgabe | Man untersuche folgende Reihen auf Konvergent:
(a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3*k+5}{2*k^{3}+1}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{k+(-1)^{k}}
[/mm]
(c) [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}*(k+5)}{k^{2}}
[/mm]
(d) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{k+5}{3*k-2})^{3*k}
[/mm]
(e) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2*k^{2}}{(k+1)*3^{k}}
[/mm]
(f) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{k+1}-\wurzel{k}}{k} [/mm] |
Hallo zusammen,
Ich würde mich freuen wenn jemand auf meine Frage antwortet, auch wenn ich soo viel geschrieben habe.
Ich habe die Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Ich weiß nicht, ob ich das alles so richtig verstehe.
a)
da würde ich als erstes mal k ausklammern, sodass ich
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3*k+5}{2*k^{3}+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3+\bruch{5}{k}}{k^{2}*(2+ \bruch{1}{k^{3}})} [/mm] erhalte. Das kann ich doch dann mit dem MajorantenKriterium abschätzen.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3*k+5}{2*k^{3}+1} \le \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3}{k^{2}} [/mm] und da ich weiß das [mm] 1/k^{2} [/mm] konvergiert ist die Reihe auch konvergent.
Habe ich das richtig gemacht/ verstanden?
b) [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{k+(-1)^{k}}
[/mm]
Hier denke ich kann ich wieder das Majorantenkriterium anwenden.
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{k+(-1)^{k}} \ge \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{k-1}
[/mm]
und [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{k-1} [/mm] divergiert
c) [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}*(k+5)}{k^{2}}
[/mm]
Hier kann ich das Leibniz-kriterium anwenden. (denke ich zumindest)
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} (-1)^{k}*a_{n}
[/mm]
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{(k+5)}{k^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{(1+\bruch{5}{k})}{k}
[/mm]
diese Folge [mm] a_{n} [/mm] ist monoton fallend und somit konvergiert die Reihe.
ich weiß nicht ob ich das so alles aufschreiben kann, deshalb wäre ich auch dankbar für jeden tipp wie man die sachen aufschreiben kann. zudem weiß ich nicht ob und wenn ja wo ich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] einsetzen muss, damit es eine richtige Form hat.
d) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{k+5}{3*k-2})^{3*k}
[/mm]
Hier habe ich nur eine Idee wie ich diese Aufgabe lösen kann.
Ich denke diese aufgabe muss ich mit dem Quotientenkriterium lösen.
dann habe ich da sowas stehen:
[mm] \bruch{(\bruch{(k+1)+5}{3*(k+1)-2})^{3*(k+1)}}{(\bruch{k+5}{3*k-2})^{3*k}}
[/mm]
ab hier komme ich dann nicht mehr weiter :-(
e) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2*k^{2}}{(k+1)*3^{k}}
[/mm]
hier würde ich wieder das Quotientenkriterium anwenden
[mm] \bruch{2*(k+1)^{2}}{((k+1)+1)*3^{k+1}}*\bruch{(k+1)*3^{k}}{2*k^{2}}
[/mm]
kürzen
[mm] \bruch{(k+1)^{2}}{(k+2)*3}*\bruch{(k+1)}{k^{2}}= \bruch{(k+1)^{3}}{(k+2)*3*k^{2}}
[/mm]
hier komme ich wieder nicht weiter. der obere ausdruck muss kleiner als 1 sein, damit es sich um eine konvergente Reihe handelt nur wie schätze ich da gescheit ab?
f) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{k+1}-\wurzel{k}}{k}
[/mm]
hier habe ich keine ahnung und bin über jeden Tipp dankbar.
löst man diese aufgabe mit dem Wurzelkriterium?
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Hallo,
bei deinen Ansätzen fehlt meist, zu zeigen, dass deine Abschätzungen für alle [mm] k\ge [/mm] K gelten, z.B. bei [mm] b):\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{k+(-1)^{k}} [/mm]
[mm] \bruch{1}{k+(-1)^{k}}=\bruch{1}{k-1} [/mm] für ungerade k, [mm] \bruch{1}{k+(-1)^{k}}=\bruch{1}{k+1} [/mm] [mm] \le [/mm] [mm] \bruch{1}{k-1} [/mm] für gerade k, da k>0, daher musst du dir eine andere Minorante heranziehen (z.B. mit k+1).
a) ist korekt, c) ist korrekt.
Bei d): da kannst du den inneren Term mit einer Abschätzung nach unten vereinfachen (aber denk an die Voraussetzung, dass [mm] k\ge K\in \IN [/mm] , und K endlich ist.)
Bei e): Multiplizier einfach mal aus und schätz ab.
Bei f): Häufig hilft, zur 3. binomische Formel zu erweitern.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{k+1}-\wurzel{k}}{k}=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k+1-k}{k*(\wurzel{k+1}+\wurzel{k})}, [/mm] nun kann man das QK anwenden.
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