Konvergenz Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 So 02.09.2012 | | Autor: | Ciotic |
Hallo zusammen. Ich tue mich mit Folgen und Reihen, bzw. deren Konvergenz recht schwer. Könnte mir jemand anschaulich erklären, wie man die Konvergenz einer Folge/Reihe zu deuten hat und warum man nicht vom einen aufs andere schließen kann?
Ein Beispiel:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{k}.
[/mm]
Die Folge [mm] a_{n}=(\bruch{1}{2})^{k} [/mm] konvergiert, da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=0. [/mm] Kann man sagen, dass die Folge gegen 0 konvergiert? Was ist, wenn der Grenzwert 1 wäre? Würde die Folge dann gegen 1 konvergieren?
Wenn ich mir nun die Reihe anschaue, würde ich denken, dass diese divergiert, da [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{8} [/mm] doch in unendliche geht. Dem ist aber nicht so, aber warum?
Danke!
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Hallo,
> Hallo zusammen. Ich tue mich mit Folgen und Reihen, bzw.
> deren Konvergenz recht schwer. Könnte mir jemand
> anschaulich erklären, wie man die Konvergenz einer
> Folge/Reihe zu deuten hat und warum man nicht vom einen
> aufs andere schließen kann?
>
> Ein Beispiel:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{k}.[/mm]
>
> Die Folge [mm]a_{n}=(\bruch{1}{2})^{k}[/mm] konvergiert, da
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=0.[/mm] Kann man sagen, dass die
> Folge gegen 0 konvergiert? Was ist, wenn der Grenzwert 1
> wäre? Würde die Folge dann gegen 1 konvergieren?
Auf alle Fragen: ja.
Vielleicht rührt dein Problem daher, dass du die Begriffe Folge und Reihe zu wenig gegeneinander abgrenzt. Eine Reihe ist ja unter gewissen Gesichtspunkten auch eine Folge, ihr Reihenwert ist (so vorhanden) ihr Grenzwert. Folgenkonvergenz ist ja eigentlich ganz klar definiert durch die einschlägig bekannten Kriterien. Eine (unendliche) Reihe ist konvergent, wenn die Folge iherer Teilsummen konvergent ist. Das kann man flapsig auch so formulieren, dass die Reihe trotz unendlich vieler Summanden einen endlichen Wert besitzt.
> Wenn ich mir nun die Reihe anschaue, würde ich denken,
> dass diese divergiert, da
> [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{8}[/mm] doch in unendliche
> geht. Dem ist aber nicht so, aber warum?
>
> Danke!
In diesem Fall ist es so, dass die Summanden schnell genug gegen Null konvergieren. Generell ist es eine notwendige Bedingung für die Reihenkonvergenz, dass die Folge Reihenglieder gegen Null konvergiert. Hinreichend ist das allerdings nicht. So ist bspw. die harmonische Reihe
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}[/mm]
divergent, während die Reihe
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm]
bekanntlich konvergent ist. Ich weiß nicht, ob man da allzusehr nach anschaulichen Begründungen suchen sollte. Das Phänomen gibt es ja auch bei uneigentlichen Integralen, und auch dort ist es schwierig, das mit der Anschauung in Einklang zu bringen. Man denke etwa an ins Unendlich reichende Flächen, deren Inhalt endlich ist. Lässt man die betreffende Fläche um die x-Achse rotieren, so ist das Volumen manchmal dennoch unendlich groß. Und noch besser: das ganze gibt es auch anders herum.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:30 So 02.09.2012 | | Autor: | Valerie20 |
Hi!
> In diesem Fall ist es so, dass die Summanden schnell genug
> gegen Null konvergieren. Generell ist es eine notwendige
> Bedingung für die Reihenkonvergenz, dass die Folge
> Reihenglieder gegen Null konvergiert. Hinreichend ist das
> allerdings nicht. So ist bspw. die harmonische Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}[/mm]
>
> divergent, während die Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm]
>
> bekanntlich konvergent ist. Ich weiß nicht, ob man da
> allzusehr nach anschaulichen Begründungen suchen sollte.
Ich hatte das hier mal versucht:
https://matheraum.de/read?i=846349
Vielleicht hilft es ja weiter.
Valerie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 So 02.09.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Valerie20,
nun, das ist der übliche Divergenzbeweis der harmomischen Reihe. Aber zu einer besseren Anschaulichkeit der Problematik trägt er m.E. auch nicht bei, da er ja rein rechnerisch abläuft.
Bei der in der Ausgangsfrage angegebenen geometrischen Reihe ist es einfach: man denke sich etwa ein Quadrat der Seitenlänge 1. Dieses halbiert man, etwa durch eine Mittelparallele und erhält zwei Teilflächen der Größe 1/2. Eine davon betrachtet man als 'gekauft'  , die andere wird halbiert und die eine Hälfte wieder dazugekauft. Auf diese Weise 'kauft' man immer mehr der Quadratfläche, ohne jemals darüber hinauszukommen.
Aber mir ist kein Ansschauungsmodell bekannt, welches universell für alle Reihen funktionieren würde. Nicht umsonst wird ja auch meist die Begründung angegeben, dass die Reihenglieder eine Folge bilden müssen, die schnell genug gegen Null konvergiert. Dieses schnell genug kann man natürlich mathematisch aufs genaueste definieren, aber es ist sehr schwierig, dafür eine anschauliche Entsprechung zu finden.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 So 02.09.2012 | | Autor: | Valerie20 |
Hallo Diophant,
> nun, das ist der übliche Divergenzbeweis der harmomischen
> Reihe. Aber zu einer besseren Anschaulichkeit der
> Problematik trägt er m.E. auch nicht bei, da er ja rein
> rechnerisch abläuft.
>
Ja, Anschaulich ist das nicht wirklich. Mir hat das damals allerdings sehr weitergeholfen, wie es darum ging überhaupt zu verstehen warum die harmonische Reihe denn divergent sein soll.
Es gibt allerdings ein interessantes Beispiel zur Anwendung der geometrischen Reihe:
Man nehme p.ex. Einheitswürfel [mm][0,1]^3[/mm] und versuche den obersten Würfel durch Stapeln der Einheitswürfel so zu positionieren, dass er beliebig weit vom untersten versetzt ist. Der Schwerpunkt des jeweils darüberliegenden Würfels muss dann mit der linke oder rechten Kante des (je nachdem wie man stapelt) darunterliegenden Würfels übereinstimmen.
Als Lösung für den jeweiligen Schwerpunkt kann man errechnen:
[mm]x_n=[/mm][mm]\frac{1}{2}\cdot\summe_{k=1}^{n} \frac{1}{k}[/mm]
Da dies die harmonische Reihe ist, kann man also theoretisch unendlich weit in x-Richtung bauen kann.
Valerie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 So 02.09.2012 | | Autor: | Ciotic |
Danke für Eure Erklärungen!
Ich beginne langsam ein grundlegendes Verständnis zu entwickeln. Alles eine Sache der Übung und eines guten Formelzettels. ;)
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