Konvergenz Untersuchen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 Fr 08.02.2013 | | Autor: | Franhu |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{3^{n}} [/mm] b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^{2} + 1}{n^{3}+1} [/mm] c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}} [/mm] |
Hallo Zusammen
Mit welchen Kriterien würdet Ihr bei diesen Reihen am Besten auf Konvergenz prüfen.
a) weiss ich nicht, Vielleicht Wurzelkriterium?
b) Vergleichstest mit dem Grenzwert mit [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{n^{2} + 1}{n^{3}+1}}{\bruch{1}{n}} [/mm] Wenn jetzt der Grenzwert endlich positiv oder (bei divergente Vergleichsreihen unendlich) dann divergiert die Reihe b) auch, Wenn der Grenzwert 0 ist, sagt dieser Test nichts aus)
c) Quotiententest:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{((n+1)+1)^{(n+1)-1}}{(-(n+1))^{n+1}} }{\bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}} }
[/mm]
Wenn der Grenzwert kleiner als 1 ist konvergiert die Reihe, wenn er grösser als 1 ist divergiert die Reihe, und bei gleich 1 kann man nichts sagen.
Würdet Ihr auch so vorgehen?
Danke und Gruss
Franhu
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Hallo,
> Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
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> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{3^{n}}[/mm] b)
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^{2} + 1}{n^{3}+1}[/mm] c)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}}[/mm]
>
> Hallo Zusammen
>
> Mit welchen Kriterien würdet Ihr bei diesen Reihen am
> Besten auf Konvergenz prüfen.
>
> a) weiss ich nicht, Vielleicht Wurzelkriterium?
Eindeutig: ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) Vergleichstest mit dem Grenzwert mit [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
Auch das ist richtig, du solltest aber durch eine Abschätzung noch zeigen, dass 1/n divergente Minorante ist.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{n^{2} + 1}{n^{3}+1}}{\bruch{1}{n}}[/mm]
> Wenn jetzt der Grenzwert endlich positiv oder (bei
> divergente Vergleichsreihen unendlich) dann divergiert die
> Reihe b) auch, Wenn der Grenzwert 0 ist, sagt dieser Test
> nichts aus)
>
> c) Quotiententest:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{((n+1)+1)^{(n+1)-1}}{(-(n+1))^{n+1}} }{\bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}} }[/mm]
>
> Wenn der Grenzwert kleiner als 1 ist konvergiert die Reihe,
> wenn er grösser als 1 ist divergiert die Reihe, und bei
> gleich 1 kann man nichts sagen.
Hier würde ich anders vorgehen: Forme das allg. Reihenglied um zu
[mm] (-1)^n*\bruch{1}{n+1}*\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n
[/mm]
Siehst du, was hierduch für eine Argumentation möglich wird?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Fr 08.02.2013 | | Autor: | Franhu |
Wow Danke.
[mm] (-1)^n\cdot{}\bruch{1}{n+1}\cdot{}\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n [/mm] sieht jetzt aus wie eine alternierende Reihe, die am Schluss mit, [mm] \left(\bruch{n+1}{n}\right)^n [/mm] konvergiert gegen e, multipliziert wird.
Um zu zeigen, dass diese Reihe konvergiert, muss ich doch zeigen, dass
1.) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+1} [/mm] gegen 0 geht und
2.) die Terme nicht steigend sind, dies kann ich ja mit der Ableitung zeigen oder?
f(x) = [mm] \bruch{1}{x+1}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{-1}{x^{2}+1} [/mm] was immer negativ ist, und somit sind die Terme monoton fallend.
Gruss und Danke
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Hallo,
> [mm](-1)^n\cdot{}\bruch{1}{n+1}\cdot{}\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n[/mm]
> sieht jetzt aus wie eine alternierende Reihe, die am
> Schluss mit, [mm]\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n[/mm] konvergiert
> gegen e, multipliziert wird.
>
> Um zu zeigen, dass diese Reihe konvergiert, muss ich doch
> zeigen, dass
> 1.) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+1}[/mm] gegen 0 geht
> und
> 2.) die Terme nicht steigend sind, dies kann ich ja mit der
> Ableitung zeigen oder?
Beides ist zu zeigen, ja. Aber das mit der Ableitung ist a) keine gute Idee und b) so wie vorgeschlagen falsch. Du müsstest ja das gesamte Produkt
[mm] \bruch{1}{n+1}*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n
[/mm]
ableiten.
Es geht viel einfacher: zeige
[mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}}>1
[/mm]
EDIT: Falsche Ordnungsrelation korrigiert.
Du benötigst dafür noch nicht mal Bernoulli oder etwas in der Art, es geht durch einfaches Umformen und Kürzen.
Das war Wunschdenken, siehe dazu mein nächster Beitrag.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Fr 08.02.2013 | | Autor: | Franhu |
Stimmt, vielen Dank!
Müsste die Gleichung nicht [mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}} [/mm] > 1 sein, um zu zeigen dass die Terme monoton fallend sind?
Ah nein sorry, Ich zeige, falls diese Ungleichung [mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}} [/mm] < 1 wahr ist, dass die Terme monoton steigend sind.
Da ich aber das Gegenteil möchte, werde ich wahrscheinlich einen Widerspruch bekommen und somit zeigen, dass die Terme nicht monoton steigend sind!
Danke Dir!
Gruss
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Hallo,
> Stimmt, vielen Dank!
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> Müsste die Gleichung nicht [mm]\bruch{a_n}{a_{n+1}}[/mm] > 1 sein,
> um zu zeigen dass die Terme monoton fallend sind?
völlig richtig, das war ein Tippfehler. Ich werde ihn oben ausbessern.
Und außerdem ist es ehrlich gesagt doch nicht ganz so einfach, wie ich zuerst vermutet hatte (ich hatte mich verrechnet). Du benötigst auf jeden Fall
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left ( 1+\bruch{1}{n} \right )^n=e[/mm]
Aber der steht ja schon zur Verfügung, denke ich doch mal?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Fr 08.02.2013 | | Autor: | Franhu |
Steht zwar nichts auf dem Blatt, aber so oft wie das in der Vorlesung gebraucht wurde, nehme ich mal an ;)
Ich hab noch eine kurze Frage zur Abschätzung. Wie muss ich das machen, z.B an einer Prüfung kurz zeigen das die Reihe [mm] \bruch{1}{n} [/mm] divergiert?
Ich nehme das einfach an, aus der Regel für die p-Reihen: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{p}} [/mm]
konvergiert für p > 1, divergiert für p [mm] \le [/mm] 1
Gruss
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Hallo Franhu,
> Steht zwar nichts auf dem Blatt, aber so oft wie das in der
> Vorlesung gebraucht wurde, nehme ich mal an ;)
>
> Ich hab noch eine kurze Frage zur Abschätzung. Wie muss
> ich das machen, z.B an einer Prüfung kurz zeigen das die
> Reihe [mm]\red\sum[/mm][mm]\bruch{1}{n}[/mm] divergiert?
Das wird doch üblicherweise in der Ana-Vorlesung gezeigt.
Da ich gerade zu faul zum Tippen bin, hier mal ein link mit der Idee:
http://www.math-kit.de/2003/content/RH-PB-XML-cob//Manifest312/harmonisch.html
Das findest du auch überall im Netz oder in jedem Ana-Lehrbuch.
>
> Ich nehme das einfach an, aus der Regel für die p-Reihen:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{p}}[/mm]
> konvergiert für p > 1, divergiert für p [mm]\le[/mm] 1
Ja, diese Tatsache macht man sich oft zu Nutze, wenn man eine konvergente Majorante oder eine divergente Minorante sucht ...
>
> Gruss
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Fr 08.02.2013 | | Autor: | Franhu |
Ich stecke leider wieder fest, und zwar bei der Umformung des allg. Reihenglieds bei Aufgabe c)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}} [/mm] -->
[mm] \bruch{(n+1)^{n}*\bruch{1}{n+1}}{(-1)^{n}*n^{n}} [/mm] -->
[mm] \bruch{1}{(-1)^{n}}*\bruch{(n+1)^{n}*\bruch{1}{n+1}}{n^{n}} [/mm] -->
jetzt sehe ich genau wie es weiter geht? [mm] \bruch{1}{(-1)^{n}} [/mm] ist ja dasselbe wie
[mm] (-1)^{n}
[/mm]
Weiter mit [mm] (-1)^{n}*(\bruch{n+1}{n})^{n}*\bruch{\bruch{1}{n+1}}{n^{n}}
[/mm]
Ist das korrekt? wenn ja, wie forme ich das letzte Glied noch um?
Tausend Dank!
Gruss Franhu
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Hallo,
> Ich stecke leider wieder fest, und zwar bei der Umformung
> des allg. Reihenglieds bei Aufgabe c)
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}}[/mm] -->
>
> [mm]\bruch{(n+1)^{n}*\bruch{1}{n+1}}{(-1)^{n}*n^{n}}[/mm] -->
>
> [mm]\bruch{1}{(-1)^{n}}*\bruch{(n+1)^{n}*\bruch{1}{n+1}}{n^{n}}[/mm]
> -->
>
> jetzt sehe ich genau wie es weiter geht?
> [mm]\bruch{1}{(-1)^{n}}[/mm] ist ja dasselbe wie
> [mm](-1)^{n}[/mm]
>
> Weiter mit
> [mm](-1)^{n}*(\bruch{n+1}{n})^{n}*\bruch{\bruch{1}{n+1}}{n^{n}}[/mm]
>
> Ist das korrekt? wenn ja, wie forme ich das letzte Glied
> noch um?
Nein. In der letzten Version ist das [mm] n^n [/mm] im Nenner des hinteren Bruches zu viel, das steckt doch schon in der Klammer.
Außerdem: diese Umformung habe ich dir doch gegeben. Da kann ich mich für die Richtigkeit meiner Version verbürgen.
Das einzige, was ich mir zunächst zu einfach vorgestellt hatte, ist der Nachweis, dass die Folge ohne das [mm] (-1)^n [/mm] monoton fällt (das sie Nullfolge ist, ist trivial). Ich bin mir auch nicht ganz sicher, ob man da noch ein N bestimmen muss, ab dem sie es tut. Sicher ist (mit Mathcad überprüft): sie tut es, und der Beweis der Monotonie wird wohl doch auf eine geschickte Anwendung der Bernoulli-Ungleichung hinauslaufen, wie bei solchen Folgen üblich.
Ich entschuldige mich also nochmal für das vorschnelle Versprechen einer 'einfachen' Lösung, ich sehe aber keinen anderen Weg als den angedachten, um dann mit Leibniz die Konvergenz der Reihe zu zeigen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 Fr 08.02.2013 | | Autor: | Franhu |
Ok, danke. Ich wollte nicht die Richtigkeit deiner Umformung anzweifeln, ich hab nur selbst versucht es umzuformen um auf die gleiche Lösung wie Du zu kommen. Nur bin ich nicht so gut im umformen, und wollte fragen wo ich den Fehler gemacht habe, da ich nicht auf die gleiche Lösung gekommen bin ;)
Gruss
Franhu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 Fr 08.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Ok, danke. Ich wollte nicht die Richtigkeit deiner
> Umformung anzweifeln,
wieso nicht: tue das ruhig, ich mache öfter mal Fehler. Nur in diesem Fall hatte ich mir eigentlich relativ viel Zeit genommen und alles schriftlich durchgerechnet und überprüft, bevor ich mein Mathcad angeworfen habe...
> ich hab nur selbst versucht es
> umzuformen um auf die gleiche Lösung wie Du zu kommen. Nur
> bin ich nicht so gut im umformen, und wollte fragen wo ich
> den Fehler gemacht habe, da ich nicht auf die gleiche
> Lösung gekommen bin ;)
Natürlich auch gut, dass man es dann trotzdem selbst versucht.
Gruß&schönen Abend, Diophant
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