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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und geben Sie ihren Wert an, falls er existiert.
(a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{7^{k}}{3^{2k+1}}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{k=-1}^{\infty}\bruch{3^{k}}{7^{k/2}(2k+3)}
[/mm]
(c) [mm] \summe_{k=4}^{\infty}\bruch{3}{(3k+1)(3k+7)} [/mm] |
Hallo,
brauche mal wieder Hilfe bei den Hausübungen.
Meine Ansätze:
(a)
[mm] \bruch{7^{k}}{3^{2k+1}} [/mm] kann man umformen zu [mm] \bruch{7^{k}}{3^{k}} \bruch{1}{3^{k+1}} [/mm] , der rechte bruch konvergiert gegen 0, der linke gegen unendlich.
da ja die summer zweier faktoren gleich der miteinander multiplizierten summen des jeweiligen faktors ist, hätte ich gesagt, dass die reihe gegen null konvergiert.
weiter weiß ich leider nicht. die ganze theorie mit |x-a|< [mm] \varepsilon [/mm] etc. die ich nachgelesen habe verstehe ich zwar, aber weiß nicht was ich praktisch damit anfangen soll.
bei (b) und (c) fängt die reihe auch noch bei -1 bzw. 4 an, was mich noch mehr irritiert
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo,
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und
> geben Sie ihren Wert an, falls er existiert.
> (a) [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{7^{k}}{3^{2k+1}}[/mm]
>
> (b) [mm]\summe_{k=-1}^{\infty}\bruch{3^{k}}{7^{k/2}(2k+3)}[/mm]
>
> (c) [mm]\summe_{k=4}^{\infty}\bruch{3}{(3k+1)(3k+7)}[/mm]
> Hallo,
>
> brauche mal wieder Hilfe bei den Hausübungen.
>
> Meine Ansätze:
>
> (a)
>
> [mm]\bruch{7^{k}}{3^{2k+1}}[/mm] kann man umformen zu
> [mm]\bruch{7^{k}}{3^{k}} \bruch{1}{3^{k+1}}[/mm] , der rechte bruch
> konvergiert gegen 0, der linke gegen unendlich.
hilft bloß nicht viel weiter diese Überlegung. Erst einmal muss dir ja klar sein, dass die Folge gegen Null geht. Das ist erst einmal notwendig.
> da ja die summer zweier faktoren gleich der miteinander
> multiplizierten summen des jeweiligen faktors ist, hätte
> ich gesagt, dass die reihe gegen null konvergiert.
> weiter weiß ich leider nicht. die ganze theorie mit
> |x-a|< [mm]\varepsilon[/mm] etc. die ich nachgelesen habe verstehe
> ich zwar, aber weiß nicht was ich praktisch damit anfangen
> soll.
Mit Umformen solltest du hier aber weiter kommen:
Es gilt:
[mm] \frac{7^k}{3^{2k+1}}=\frac{1}{3}\frac{7^k}{9^k}=\frac{1}{3}\left(\frac{7}{9}\right)^k
[/mm]
Was weißt du über die Reihe [mm] \sum_{k\in\IN}(7/9)^k [/mm] ?
>
> bei (b) und (c) fängt die reihe auch noch bei -1 bzw. 4
> an, was mich noch mehr irritiert
Wenn eine Reihe konvergiert, dann konvergiert sie unabhängig von dem Startindex.
Was sollte auch passieren? Du nimmst ja nur endlich viele Reihenglieder "weg" oder eben "dazu". Aber endliche SUmmen sind ja "egal".
Von daher kannst du auch folgendes betrachten:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3^{k}}{7^{k/2}(2k+3)}
[/mm]
oder
[mm] \summe_{k=1000}^{\infty}\bruch{3^{k}}{7^{k/2}(2k+3)}
[/mm]
Wichtig: Der Wert der Reihe ändert sich, das Konvergenzverhalten aber nicht.
Es bietet sich an, zunächst das Konvergenzverhalten zu untersuchen und dann die Reihe zu berechnen. Wenn du Reihen berechnen sollst, dann wird man in der Regel auf bekannte Reihen zurückgreifen (Stichwort: geometrische Reihe).
Bei Reihe b) sollte umformen wieder helfen.
Bei Reihe c) könnte eine Partialbruchzerlegung zum Ziel führen (hier dann an die Teleskopsumme denken).
Liebe Grüße
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> Vielen Dank im Voraus.
>
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Vielen Dank erstmal!
ich denke mal du willst auf die eigenschaften geometrischer reihen hinaus
\sum_{k\in\IN}(7/9)^k = \bruch{1}{1 - (\bruch73}{9}}
somit wäre der wert dieser reihe 9/2, korrekt? mit dem faktor \bruch{1}{3} multipliziert wäre das dann der wert der ursprünglichen reihe?
umformen ist immer ein problem für mich. ich sehe das einfach nie was man aus dem therm machen kann...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Mo 21.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Alles richtig soweit. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Für die anderen zwei Reihen hast du bereits Tipps bekommen.
Gruß
DieAcht
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danke sehr!
partialbruchzerlegung hatten wir noch nicht, und beim umformen komme ich leider auf nichts brauchbares
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Mo 21.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> (b) [mm]\summe_{k=-1}^{\infty}\bruch{3^{k}}{7^{k/2}(2k+3)}[/mm]
Ich sehe das ein wenig anders, denn die Folge
[mm] a_n:=\bruch{3^{n}}{7^{n/2}(2n+3)}
[/mm]
ist keine Nullfolge. Was folgt daraus?
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Mo 21.04.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> > (b) [mm]\summe_{k=-1}^{\infty}\bruch{3^{k}}{7^{k/2}(2k+3)}[/mm]
>
> Ich sehe das ein wenig anders, denn die Folge
>
> [mm]a_n:=\bruch{3^{n}}{7^{n/2}(2n+3)}[/mm]
>
> ist keine Nullfolge. Was folgt daraus?
>
>
> Gruß
> DieAcht
Hallo DieAcht,
du hast zwar recht, aber als Anfänger sieht man das sicher nicht.
In Anlehnung an die vorherige Teilaufgabe sollte man [mm]\bruch{3^{n}}{7^{n/2}(2n+3)}[/mm]vielleicht erst einmal umschreiben in
[mm](\bruch{3}{\sqrt{7}})^n* \frac{1}{2n+3}[/mm] und beachten, dass [mm](\bruch{3}{\sqrt{7}})[/mm] größer als 1 ist. Dann kann man darüber nachdenken, ob es der zusätzliche Faktor [mm]\frac{1}{2n+3}[/mm] schafft, das ganze doch noch in eine Nullfolge zu zwingen. (Und falls er das tun sollte - reicht das für die Konvergenz der Reihe?)
Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Mo 21.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> (c) [mm]\summe_{k=4}^{\infty}\bruch{3}{(3k+1)(3k+7)}[/mm]
Es gilt:
[mm] a_n:=\frac{3}{(3n+1)(3n+7)}=\frac{1}{3}*\frac{1}{(n+\frac{1}{3})(n+\frac{7}{3})}<\frac{1}{3}*\frac{1}{n^2} [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Tipp: Majorantenkriterium.
Gruß
DieAcht
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