Konvergenz bzgl. Norm < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Do 01.05.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Foge [mm] (x_{k})_{k\in\IN} [/mm] mit [mm] x_{k}:= (a^{k}, (2a)^{k},...,(na)^{k}) \in {\IR}^{n} [/mm] in Abhängigkeit
von [mm] a\in {\IR}^{+} [/mm] auf Konvergenz und bestimmen Sie den Grenzwert.
Dabei ist der [mm] {\IR}^{n} [/mm] normiert mit [mm] ||*||_{1}, ||*||_{2} [/mm] und [mm] ||*||_{\infty} [/mm] |
Hi!
Ich habe hier ein kleines Problemchen mit dieser Aufgabe!
Es ist egal welche Norm ich zur Überprüfung der Konergenz nehme, dies habe ich in der Aufgabe zuvor bewiesen, dass die Normen [mm] ||*||_{1}, ||*||_{2} [/mm] und [mm] ||*||_{\infty} [/mm] äquivalent sind. Ich muss hier doch Folgendes zeigen:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}||x_{k}-x|| [/mm] = 0.
Mir ist allerdings nicht ganz klar, wie ich das machen kann. Dazu müsste ich doch zunächst den Grenzwert bestimmen. Aber so wie ich die Aufgabenstellung verstanden habe, divergiert die Folge doch gegen [mm] +\infty?
[/mm]
Verstehe ich da grundsätzlich was falsch?
Muss man die Aufgabe doch anders lösen?
Ich bin für jeden Hinweis wirklich sehr dankbar!
Viele Grüße, Petrit!
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Hiho,
> Es ist egal welche Norm ich zur Überprüfung der Konergenz nehme, dies habe ich in der Aufgabe zuvor bewiesen, dass die Normen [mm]||*||_{1}, ||*||_{2}[/mm] und [mm]||*||_{\infty}[/mm] äquivalent sind.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich muss hier doch Folgendes zeigen:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}||x_{k}-x||[/mm] = 0.
Wenn du Konvergenz zeigen wollen würdest, ja.
> Mir ist allerdings nicht ganz klar, wie ich das machen kann. Dazu müsste ich doch zunächst den Grenzwert bestimmen.
Oder eine Vermutung haben, sofern die Folge konvergiert.
> Aber so wie ich die Aufgabenstellung verstanden habe, divergiert die Folge doch gegen [mm]+\infty?[/mm]
Nein. [mm] $+\infty$ [/mm] ist doch gar nicht Element deines Raumes [mm] $\IR^n$, [/mm] wie soll die Folge dann dagegen konvergieren?
> Verstehe ich da grundsätzlich was falsch?
> Muss man die Aufgabe doch anders lösen?
Du hast doch schon das richtige zusammengefasst.
Einfacher gehts allerdings auch mit dem Satz, den ihr sicherlich auch hattet:
[mm] $x_k$ [/mm] konvergiert [mm] $\gdw$ [/mm] jede Komponente von [mm] x_k [/mm] konvergiert.
Nun untersuche mal, was mit [mm] $a^k,\ldots,(na)^k$ [/mm] passiert in Abhängigkeit von a!
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Do 01.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi!
Erstmal danke für die schnelle Antwort!
Ich bin nun der Meinung, wenn a selbst eine Nullfolge ist, konvergiert [mm] a^{k}. [/mm] Ansonsten divergiert die Folge!
Ist das so in Ordnung?
Gruß, Petrit!
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Hiho,
> Ich bin nun der Meinung, wenn a selbst eine Nullfolge ist, konvergiert [mm]a^{k}.[/mm]
> Ansonsten divergiert die Folge!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Ist das so in Ordnung?
Nein.
Was ist denn mit $a = [mm] \bruch{1}{2}$?
[/mm]
Oder a=1?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Do 01.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi!
Danke!
So wie ich deinen Ansatz jetzt verstanden habe, konvergiert nur das 1. Folgenglied, für [mm] \bruch{1}{2} [/mm] nur das 2. usw. und für [mm] \bruch{1}{n} [/mm] nur das n-te Folgenglied. Aber müssen denn nicht alle Folgenglieder denselben Grenzwert haben?
Was verstehe ich falsch?
MfG, Petrit!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:14 Fr 02.05.2014 | | Autor: | fred97 |
1. Ist q [mm] \in \IR, [/mm] so konvergiert [mm] (q^k) [/mm] genau dann, wenn |q|<1 ist.
2. Wir haben $ [mm] x_{k}:= (a^{k}, (2a)^{k},...,(na)^{k}) \in {\IR}^{n} [/mm] $ mit a>0.
[mm] (x_k) [/mm] konvergiert [mm] \gdw (x_k) [/mm] konvergiert koordinatenweise.
Zeige mit 1. und 2. , dass [mm] (x_k) [/mm] genau dann konvergiert, wenn [mm] a<\bruch{1}{n} [/mm] ist.
Edit: .... a [mm] \le \bruch{1}{n}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:11 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo fred,
[mm] \le [/mm] 
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Fr 02.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
>
> [mm]\le[/mm]
hallo Gono,
klar, ich werde es korrigieren.
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Okay, erstaml danke für die Hilfe.
Jetzt habe ich verstanden, was koordinatenweise Konvergenz bedeutet.
Ich kann den lim für jede Koordinate bestimmen und erhalte dann die Konvergenz meiner Folge.
So jetzt meine Vermutung zu dieser Aufgabe:
Für [mm] a<\bruch{1}{n} [/mm] konvergiert jede Koordinate gegen 0.
Für [mm] a=\bruch{1}{n} [/mm] konvergiert jede Koordinate gegen 0, bis auf die letzte, die dann gegen 1 konvergiert.
Liege ich damit richtig?
Und noch eine Frage.
Wie kann ich den zeigen, dass $ [mm] (q^k) [/mm] $ genau dann konvergiert, wenn |q|<1 ist?
Gruß Petrit!
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Hiho,
> Für [mm]a<\bruch{1}{n}[/mm] konvergiert jede Koordinate gegen 0.
> Für [mm]a=\bruch{1}{n}[/mm] konvergiert jede Koordinate gegen 0, bis auf die letzte, die dann gegen 1 konvergiert.
> Wie kann ich den zeigen, dass [mm](q^k)[/mm] genau dann konvergiert, wenn |q|<1 ist?
Nicht genau dann, wenn!
Es konvergiert zwar direkt, wenn |q|<1, aber für q=1 konvergiert es beispielsweise auch.
Fallunterscheidung:
|q| < 1: Zeige [mm] $\lim_{k\to\infty} q^k [/mm] = 0$ (z.B. über die Definition von Konvergenz)
|q| = 1: Welche Fälle gibt es denn hier? Welcher konvergiert
|q| > 1: Zeige, dass keine Konvergenz vorliegen kann.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Sa 03.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Alles klar, super.
Vielen Dank nochmals.
Gruß Petrit!
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