Konvergenz d. Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es soll für $x [mm] \in [/mm] (0,1)$ die Konvergenz der Folge bewiesen werden:
$ [mm] \left( \summe_{k=1}^{2n}x^{k} \right)_{n \in \IN}$ [/mm] |
Hallo,
mein Ansatz bei dieser Aufgabe ist bisher leider nur der, dass ich versuche, den Eintrag für die geometrische Folge aus der Formelsammlung anzuwenden:
[mm] $a^{n} \to \begin{cases} 0, & \mbox{für } \left| a \right|<1 \\ 1, & \mbox{für } a=1 \end{cases}$
[/mm]
[mm] $a^{n}$ [/mm] divergent für $a [mm] \le [/mm] -1$ oder $a > 1$
Da die Konvergenz bewiesen werden soll, betrachte ich natürlich nur die erste Zeile, aber ist dieser Ansatz über die "geometrische Folge" überhaupt richtig?
Genügt es dann, als Lösung, nur
[mm] $x^{k} \to \begin{cases} 0, & \mbox{für } x = 0 \\ 1, & \mbox{für } x=1 \end{cases}$
[/mm]
zu schreiben?
Vielen Dank soweit.
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Di 14.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
Du solltest Dir vielmehr die ![[]](/images/popup.gif) geometrische Reihe (nicht "Folge") ansehen und die entsprechende Formel anwenden.
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | Es soll für $x [mm] \in [/mm] (0,1)$ die Konvergenz der Folge bewiesen werden:
$ [mm] \left( \summe_{k=1}^{2n}x^{k} \right)_{n \in \IN} [/mm] $ |
Hallo Loddar,
danke für den Hinweis, da war ich mal wieder auf dem falschen Dampfer. 
Erneuter Versuch, ausgehend von Konvergenz und Wert der geometrischen Reihe
[mm] $\summe_{k=1}^{2n}x^{k}$
[/mm]
$=-1 + 1 + [mm] \summe_{k=1}^{2n}x^{k}$ [/mm] Summation ab k=0 erwünscht
$=-1 + [mm] \summe_{k=0}^{2n}x^{k}=\begin{cases} -1+\limes_{k\rightarrow\infty}a_{0}x^{k}=-1+0=-1, & \mbox{für } x=0 \\ \mbox{divergiert für } x=1 \end{cases}$
[/mm]
Ich habe da so meine Zweifel, ob das wirklich stimmt...
Vielen Dank
Gruß
el_grecco
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> Es soll für [mm]x \in (0,1)[/mm] die Konvergenz der Folge bewiesen
> werden:
>
> [mm]\left( \summe_{k=1}^{2n}x^{k} \right)_{n \in \IN}[/mm]
>
> Hallo Loddar,
>
> danke für den Hinweis, da war ich mal wieder auf dem
> falschen Dampfer.
> Erneuter Versuch, ausgehend von
> Konvergenz und Wert der geometrischen Reihe
>
> [mm]\summe_{k=1}^{2n}x^{k}[/mm]
>
> [mm]=-1 + 1 + \summe_{k=1}^{2n}x^{k}[/mm] Summation ab k=0
> erwünscht
>
> [mm]=-1 + \summe_{k=0}^{2n}x^{k}=\begin{cases} -1+\limes_{k\rightarrow\infty}a_{0}x^{k}=-1+0=-1, & \mbox{für } x=0 \\ \mbox{divergiert für } x=1 \end{cases}[/mm]
>
> Ich habe da so meine Zweifel, ob das wirklich stimmt...
>
Die Zweifel sind angebracht - eigentlich sollte der Hinweis schon reichen.... aber scheinbar liegen die Schwierigkeiten schon etwas vorher.
Du bildest einen Grenzwert für k [mm] \to \infty, [/mm] dabei ist k doch nur eine Zählvariable für deine Summe. Eigentlich muss ja n [mm] \to \infty [/mm] gehen.
Das mit dem [mm] a_0 [/mm] ist dir offenbar auch nicht so klar.....
Schau einfach nochmal nach dem bereits gegebenen Tipp, aber etwas genauer - denn leider (für dich) benutzt Wikipedia nicht genau die Formulierung DEINER Aufgabe, da musst du also ein bisschen drüber nachdenken und versuchen, Dinge aus deiner Aufgabe dort wiederzuerkennen bzw. andersrum. Die Idee für die Reihe (was du letztlich ja auch anschaust) ist:
1. Schreibe die Reihe als Grenzwert der Summe (die Arbeit ist dir bereits durch die Aufgabenstellung abgenommen worden)
2. Finde einen Term für die Summe heraus (im Link nachzulesen - entweder weißt du den schon irgendwoher ODER du musst ihn per Induktion beweisen).
3. Dann hast du nur noch einen Term, in dem "n" vorkommt und davon schaust du dir den Grenzwert für n [mm] \to \infty [/mm] an. Das ist bei diesem Term besonders leicht und du kannst genau sehen, dass das nur für den angegebenen Bereich funktioniert.
> Vielen Dank
>
> Gruß
> el_grecco
>
lg weightgainer
p.s. Sind das dann eigentlich jetzt alle Aufgaben des Übungszettels zum Thema Folgen/Reihen für diese Woche? Oder kommen da noch mehr?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Mi 15.12.2010 | | Autor: | el_grecco |
Danke für Deine Mühe und für Deinen starken Support, weightgainer!
Kurz zu dem P.S.:
Es sind jede Woche immer vier Aufgaben, zu drei davon gibt es schon drei Threads hier.
Gruß
el_grecco
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| Aufgabe | Es soll für [mm]x \in (0,1)[/mm] die Konvergenz der Folge bewiesen werden:
[mm]\left( \summe_{k=1}^{2n}x^{k} \right)_{n \in \IN}[/mm] |
Hallo weigthgainer,
erneuter Versucht (nachdem ich verwandte Aufgaben in den Unterlagen vom letzten Jahr gefunden habe):
Betrachte die Partialsummenfolge [mm] $(S_{n})_{n \in \IN} [/mm] : [mm] S_{n}=\summe_{k=1}^{2n}x^{k}.$
[/mm]
falls x = 0 : [mm] $S_{n}=\summe_{k=1}^{2n}0^{k}=0$ $\overrightarrow{n \to \infty}$ [/mm] 0
falls x = 1 : [mm] $S_{n}=\summe_{k=1}^{2n}1^{k}=1$ $\overrightarrow{n \to \infty}$ [/mm] 1
Ist das soweit richtig?
Thanks!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
Warum willst Du mit Krampf zwei Stellen berechnen, die gar nicht im Definitionsbereich für $x_$ enthalten sind?
Du betrachtest ja auch nicht $x \ = \ 7$ ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Mi 15.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es soll für [mm]x \in (0,1)[/mm] die Konvergenz der Folge bewiesen
> werden:
>
> [mm]\left( \summe_{k=1}^{2n}x^{k} \right)_{n \in \IN}[/mm]
> Hallo
> weigthgainer,
>
> erneuter Versucht (nachdem ich verwandte Aufgaben in den
> Unterlagen vom letzten Jahr gefunden habe):
>
> Betrachte die Partialsummenfolge [mm](S_{n})_{n \in \IN} : S_{n}=\summe_{k=1}^{2n}x^{k}.[/mm]
>
> falls x = 0 : [mm]S_{n}=\summe_{k=1}^{2n}0^{k}=0[/mm]
> [mm]\overrightarrow{n \to \infty}[/mm] 0
>
> falls x = 1 : [mm]S_{n}=\summe_{k=1}^{2n}1^{k}=1[/mm]
> [mm]\overrightarrow{n \to \infty}[/mm] 1
>
> Ist das soweit richtig?
Es ist doch $ x [mm] \in [/mm] (0,1) $ vorausgesetzt !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
nach der bekannten Formel ist [mm] \summe_{k=0}^{2n}x^{k}= \bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}, [/mm] und somit
[mm] $\summe_{k=1}^{2n}x^{k}= \bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}-1$
[/mm]
Was treibt die Folge [mm] (x^{2n+1}) [/mm] für n gegen [mm] \infty [/mm] ?
FRED
>
> Thanks!
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Aufgabe | Es soll für [mm]x \in (0,1)[/mm] die Konvergenz der Folge bewiesen werden:
[mm]\left( \summe_{k=1}^{2n}x^{k} \right)_{n \in \IN}[/mm] |
Hallo Fred,
> Es ist doch [mm]x \in (0,1)[/mm] vorausgesetzt
> !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
>
> nach der bekannten Formel ist [mm]\summe_{k=0}^{2n}x^{k}= \bruch{1-x^{2n+1}}{1-x},[/mm]
> und somit
>
> [mm]\summe_{k=1}^{2n}x^{k}= \bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}-1[/mm]
>
> Was treibt die Folge [mm](x^{2n+1})[/mm] für n gegen [mm]\infty[/mm] ?
Für x = 0 konvergiert sie gegen 0. Für x = 1 lässt sich keine Aussage treffen, denn im Nenner steht dann 1 - 1 = 0.
Ich hoffe, ich habe verstanden, worauf Du mich hinweisen wolltest... oder habe ich es erneut vermasselt?
Danke für die Geduld und Mühe.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
Nochmals: gemäß der Aufgabenstellung darf [mm]x_[/mm] weder den Wert [mm]0_[/mm] noch den Wert [mm]1_[/mm] annehmen! Es gilt eindeutig: [mm]0 \ \red{<} \ x \ \red{<} \ 1[/mm] .
Du brauchst also diese Werte nicht untersuchen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Mi 15.12.2010 | | Autor: | el_grecco |
Danke, Loddar.
Großartig: ich habe den Übungszettel soeben nochmals online abgerufen und die Angabe wurde so geändert:
$x [mm] \in [/mm] {]0,1[}$
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Wieso "geändert"? Dieses Integral war doch schon von Beginn an so gegeben. ![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]")
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Mi 15.12.2010 | | Autor: | el_grecco |
In der "ersten Version" vom Übungsblatt hieß es ja $ x [mm] \in [/mm] (0,1) $ und in der Zwischenzeit wurde das Aufgabenblatt editiert zu $ x [mm] \in [/mm] {]0,1[}.$
Mir persönlich (und anscheinend auch für viele andere, denn sonst wäre es nicht geändert worden) war die "alte Fassung" nicht geläufig bzw. missverständlich, auch wenn ich jetzt weiß, dass beides das selbse meint.
Gruß
el_grecco
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| Aufgabe | Es soll für $ x [mm] \in [/mm] (0,1) $ die Konvergenz der Folge bewiesen werden:
$ [mm] \left( \summe_{k=1}^{2n}x^{k} \right)_{n \in \IN} [/mm] $ |
Erneuter Versuch... Bin ich diesmal auf dem richtigen Dampfer?
$ [mm] \summe_{k=1}^{2n}x^{k}= \bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}-1 [/mm] $
$ [mm] \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{2n}x^k [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{1-x^{2n+1}}{1-x}-1)=\lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{1-x^{2n+1}}{1-x}-\bruch{1-x}{1-x})=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{-x^{2n+1}+x}{1-x}=\frac{\limes_{n\rightarrow \infty}-x^{2n+1}+x}{1-x}=\bruch{0+x}{1-x}=\bruch{x}{1-x}$
[/mm]
Tausend Dank für die Geduld und Hilfe bisher!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
> Erneuter Versuch... Bin ich diesmal auf dem richtigen Dampfer?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") So stimmt es nun.
Gruß
Loddar
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