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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz der Folge
Konvergenz der Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Konvergenz der Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:18 Do 01.12.2005
Autor: stevarino

Hallo

Hab hier [mm] a_{0}=1, a_{n+1}=1+\bruch{1}{a_{n}} [/mm]

Damit die Folge konvergent ist muss sie beschränkt und monoton sein



Für Grenzwert kämen nur folgende Were in Frage
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=a [/mm]
a=1+ [mm] \bruch{1}{a_{n}} [/mm]
[mm] a^{2}-a-1=0 [/mm]
[mm] a_{1,2}= \pm\bruch{\wurzel{5}+1}{2} [/mm]

Wie findet man aber die Schranken? Muss man die erraten oder zuerst die Grenzwertmöglichkeiten ausrechnen oder kann man die auch irgendwie ausrechnen????

Mit der Monotonie komm ich auch nicht weiter weil die Folgeglieder zwar immer kleiner werden aber dabei springen sie  und man kann nicht einfach [mm] a_{n+1} \lea_{n} [/mm] anwenden

Danke

lg Stevo



        
Bezug
Konvergenz der Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:58 Do 01.12.2005
Autor: zwerg

Moin stevarino!

Wenn eine Folge konvergiert muss sie nicht monoton und beschränkt sein.
Das dies stimmt zeigt deine Aufgabe.
Umgekehrt wird ein Schuh draus: Wenn eine Folge monoton und beschränkt ist, ist sie auch konvergent.
Weitere Gegenbeispiele zu deinem "Kriterium" liefert jede alternierende, konvergente Folge.

Also wird es dir schwerfallen dieses "Kriterium" auf die ganze Folge anzuwenden.
Was aber geht ist:
i)   zerlege deine Folge in zwei monotone Teilfolgen;

ii)  zeige deren Konvergenz ( da sollte Monotonie + Beschränktheit  [mm] \Rightarrow [/mm] Konvergenz funktionieren ( bei richtiger Wahl der Teilfolgen));

iii) zeige das die Grenzwete dieser Teilfolgen gleich sind
[mm] \Rightarrow [/mm] die gesamte Folge ist konvergent

zu deinen Schranken:

das deine Folge [mm] a_{n}>0 [/mm] ist klar [mm] \to [/mm] nach unten beschränkt
Kandidaten für obere Schranken ist doch jedes [mm] b\in\IR [/mm] mit [mm] b\ge [/mm] 2
oder nich??

musst mal schaun mit welchen b der Nachweis am einfachsten zu führen ist.

P.S nicht raten gut schätzen :o)

MfG
saxneat

Bezug
                
Bezug
Konvergenz der Folge: Frage (für Interessierte)
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 14:59 Do 01.12.2005
Autor: stevarino

Hallo

Das mit dem teilen in zwei Teilfolgen hab ich mir auch schon überlegt
wenn ich für eine Folge alle Glieder mit ungeraden Index nehm und für die zweite alle Glieder die geraden Index haben müßte es klappen aber wie bekomme ich die explizit angeschrieben?
Muß ich mir die für die Teilfolgen [mm] a_{n} =1,\bruch{3}{2},\bruch{8}{5}...und b_{n} =2,\bruch{3}{2},\bruch{13}{8} [/mm] zusammenbasteln
oder kann man die aus der rekursiven Darstellung ausdrücken ?

Danke

lg Stevo

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz der Folge: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:44 Sa 03.12.2005
Autor: matux

Hallo Stevo!


Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.

Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück [kleeblatt] .

Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent

Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.


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