Konvergenz der modifizierten harmonischen Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Sa 29.05.2004 | | Autor: | donki |
Hallo,
ich habe folgende Frage:
Warum kovergiert [mm] \limes_{n \to \infty} \summe_{k=1}^{n} \bruch {1} {k} [/mm] nicht, wenn man aus der Menge von k alle Zahlen herausnimmt, die in der Dezimalschreibweise eine 9 enthalten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
ich versuche mal eine Argumentation. Die harmonische Reihe wächst ja unbeschränkt, d.h.
für alle S [mm] \in \IR [/mm] existiert ein [mm] N_0 \in \IN [/mm] : [mm] \summe_{k=1}^{N_0} \bruch{1}{k} [/mm] > S.
Wenn ich nun endlich viele Summanden weglasse (nämlich alle die, die in der Dezimalschreibweise eine 9 enthalten), dann ändert sich nichts am Konvergenzverhalten der Reihe, d.h in diesem Falle muss ich nur ein größeres [mm] N_0 [/mm] wählen, um obige Ungleichung zu erhalten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Wessel,
> ich versuche mal eine Argumentation. Die harmonische Reihe
> wächst ja unbeschränkt, d.h.
> für alle S [mm] \in \IR [/mm] existiert ein [mm] N_0 \in \IN [/mm] :
> [mm] \summe_{k=1}^{N_0} \bruch{1}{k} [/mm] > S.
> Wenn ich nun endlich viele Summanden weglasse (nämlich
> alle die, die in der Dezimalschreibweise eine 9 enthalten),
> dann ändert sich nichts am Konvergenzverhalten der Reihe,
> d.h in diesem Falle muss ich nur ein größeres [mm] N_0 [/mm] wählen,
> um obige Ungleichung zu erhalten.
ich weiß auch (noch) nicht, wie man an diese Aufgabe rangeht, aber ich verstehe nicht, warum nur endlich viele Summanden wegfallen.
Meiner Meinung nach sind es doch unendlich viele, allein die Menge [mm] $\{9*10^n|n\in\IN\}$ [/mm] ist ja schon unendlich.
Vielleicht ist aber eine Idee, die Aufgabe zu lösen, die wegfallenden Reihenglieder durch eine eigene (dann aber konvergente) Reihe darzustellen oder abzuschätzen, so dass man argumentieren kann, dass nur ein endlicher Anteil wegfällt.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo Marc,
> ich weiß auch (noch) nicht, wie man an diese Aufgabe
> rangeht, aber ich verstehe nicht, warum nur endlich viele
> Summanden wegfallen.
Na, ich betrachte ja nur [mm] N_0 [/mm] Folgenglieder - also endlich viele. Bei diesen endlich vielen lasse ich endlich viele weg. Nun kommt es nur noch auf die Grenze S an, die ich mir gesetzt habe und kann dann ein neues [mm] N_0 [/mm] wählen. Demnach finde ich immer wieder eine Partialsumme, deren Summe größer als mein vorgegebenes S ist.
Es ist natürlich nicht mathematisch sauber ausgedrückt, habe ich zu schnell laut gedacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo,
also, du solltest demnächst bitte wenigstens die Aufgabenstellung richtig abschreiben, wenn du schon keine eigenen Idee lieferst.
Diese Reihe konvergiert.
Ist $K$ die Menge der natürlichen Zahlen, in deren Dezimaldarstellung keine $9$ vorkommt, so gilt:
[mm] $\sum\limits_{{k=1} \atop {k \in K}}^{\infty} \frac{1}{k}$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{p=1}^{\infty} \sum\limits_{{k=10^{p-1}} \atop {k \in K}}^{10^p-1} \frac{1}{k}$
[/mm]
[mm] $\le \sum\limits_{p=1}^{\infty} \sum\limits_{{k=10^{p-1}} \atop {k \in K}}^{10^p-1} \frac{1}{10^{p-1}}$
[/mm]
$ = [mm] \sum\limits_{p=1}^{\infty} [/mm] 8 [mm] \cdot 9^{p-1} \cdot \frac{1}{10^{p-1}}$
[/mm]
$=80$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 So 30.05.2004 | | Autor: | donki |
Sorry, aber ich habe den Beweis überhaupt nicht verstanden.
Mir ist aber selbst eine Idee gekommen! Vielleicht kann man zeigen, dass
[mm] N\in\IN \; existiert \; mit \left| \summe_{k=1}^{\infty} - \summe_{k=1}^{N} \right| \le 10^-2[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 So 30.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Donki!
> Sorry, aber ich habe den Beweis überhaupt nicht verstanden.
Du musst mir schon genauer schreiben, welcher von diesen vier (relativ trivialen) Schritten dir nicht klar ist.
> Mir ist aber selbst eine Idee gekommen! Vielleicht kann man
> zeigen, dass
> [mm]N\in\IN \; existiert \; mit \left| \summe_{k=1}^{\infty} - \summe_{k=1}^{N} \right| \le 10^-2[/mm]
Ich sehe nicht, warum das einfacher sein soll, aber wenn du diese Idee hattest, dann kannst du sie sicherlich auch weiter ausbauen.
Oder ist das vielmehr eine Zusatzaufgabe als deine eigene Idee?
(Mir kommt das als eigene Idee nämlich seltsam vor. Wieso kommst du gerade auf [mm] $10^{-2}$???)
[/mm]
Auch in diesem Fall solltest du aber zunächst mal einen eigenen Lösungsansatz formulieren.
Eine ausführlichere Darstellung deiner Probleme, Ideen und Fragestellungen wäre äußerst wünschenswert.
Viele Grüße
Stefan
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