Konvergenz des Integrals < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] (X,A,\mu) [/mm] ein endlicher Massraum. Zeige:
Für jede Folge $ [mm] (f_n)_{n \in \IN} \subset [/mm] M^+ := ${f: X -> [mm] \IR: [/mm] f A-messbar und [mm] 0<=f<=\infty \}, [/mm] die gleichmässig gegen f:X -> [mm] \IR [/mm] konvergiert, gilt
$f [mm] \in [/mm] M^+$ und [mm] \integral_{}^{}{f(x) d\mu}= \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{}^{}{f_n (x) d\mu} [/mm] |
Was ich bisher habe ist leider herzlich wenig:
[mm] f_n [/mm] gleichmässig gegen f heisst
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} sup_x |f_n(x)-f(x)|=0$
[/mm]
Da [mm] $f_n \in [/mm] M^+ $, kann ich das Integral von [mm] f_n [/mm] so schreiben:
[mm] $\integral f_n d\mu [/mm] = sup [mm] \integral \phi d\mu [/mm] $ (*) mit [mm] $\phi$ [/mm] einfach, messbar und [mm] $0<=\phi<=f_n$ [/mm] Weil [mm] \phi [/mm] einfach, kann ich (*) wiederum so schreiben:
(*)$=sup [mm] \summe_{i\in I}^{} w_n_i \mu (A_n_i) [/mm] $ mit I endlich, [mm] $w_n_i \in \IR [/mm] , [mm] A_n_i \in [/mm] A $
Das kann auch in der Standarddarstellung für einfache Funktionen sein. Doch wie gehts weiter?
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Hiho,
es reicht dir zu zeigen, dass [mm] $\lim_{n\to\infty}\left|\integral_X\, f_n\,d\mu - \integral_X\, f\,d\mu\right| [/mm] = 0$
(beachte übrigens, dass das Funktionsargument bei Maßintegralen nicht hingeschrieben wird und man üblicherweise das Integrationsgebiet mitschreibt!).
Tipp: [mm] $\lim_{n\to\infty}\left|\integral_X\, f_n\,d\mu - \integral_X\, f\,d\mu\right| \le \lim_{n\to\infty}\integral_X\, \left|f_n - f \right|\,d\mu \le \ldots$
[/mm]
Nun du weiter.
MFG,
Gono.
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Hallo
Ja danke.
[mm] lim_{n -> \infty} \integral_X |f_n-f|d\mu \le limsup_{n -> \infty} \integral_X |f_n-f|d\mu \underbrace{\le}_{(\*)}\integral_X limsup_{n -> \infty} |f_n-f| d\mu [/mm] = [mm] \integral_X [/mm] 0 = 0
[mm] (\*) [/mm] kann ich aber nur machen, weil [mm] $f_n \in [/mm] M^+$ ist, ??? Das ist eine Art Umkehrung des Lemma von Fatou ? Wegen der gleichmässigen Konvergenz ist dann f auch [mm] \in [/mm] $M^+$ Dann nimmt man noch die Summe und wg. der Stetigkeit ist [mm] $|f_n-f| \in [/mm] M^+ $
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Hiho,
> [mm]lim_{n -> \infty} \integral_X |f_n-f|d\mu \le limsup_{n -> \infty} \integral_X |f_n-f|d\mu \underbrace{\le}_{(\*)}\integral_X limsup_{n -> \infty} |f_n-f| d\mu[/mm]
> = [mm]\integral_X[/mm] 0 = 0
das war zwar nicht meine Idee, funktioniert aber auch (und da es deine Idee ist, verfolgen wir die mal weiter  )
Allerdings darfst du Fatou für den [mm] \limsup [/mm] nur verwenden, wenn es eine integrierbare Majorante gibt. Gibt es die hier?
f ist übrigens nicht in $M^+$ wegen glm. Konvergenz, sondern dafür reicht schon punktweise aus (die ja implizit gegeben ist).
Aber wo brauchst du dann die Summe? Es ist doch einfach gegeben, dass gilt:
[mm] $\lim_{n\to\infty} f_n [/mm] = f$ und damit gilt insbesondere f meßbar und [mm] $f\ge [/mm] 0$, also in $M^+$
MFG,
Gono.
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eine Majorante von [mm] |f_n-f| [/mm] wäre doch [mm] f_n. [/mm] Aber warum sollte die integrierbar sein? $M^+$ heisst ja nur A-messbar. Ist [mm] f_n [/mm] integrierbar, weil der Massraum endlich ist? Auf einem endlichen Massraum sind dann wohl alle messbaren Funktionen integrierbar?
Danke, wusste das nicht. Was ich meinte, war:
[mm] f_n [/mm] messbar, f messbar -> -f messbar (weil (-1) [mm] \in \IR)
[/mm]
Man muss ja am Schluss [mm] |f_n-f| [/mm] messbar haben. Summen von messb. Funktionen messbar: [mm] f_n [/mm] + (-f) messbar...
Dann hat man noch den Betrag am Schluss.
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Hiho,
> eine Majorante von [mm]|f_n-f|[/mm] wäre doch [mm]f_n.[/mm]
Nein, warum sollte das eine Majorante sein?
> Aber warum sollte die integrierbar sein?
Ist sie im Allgemeinen auch gar nicht.
> Auf einem endlichen Massraum sind dann wohl alle messbaren
> Funktionen integrierbar?
> Danke, wusste das nicht.
Interessant, wie du selbst mit dir sprichst und dir falsche Sachen erklärst.... brauchst du mich dann noch oder kann ich offline gehen?
> Was ich meinte, war:
>
> [mm]f_n[/mm] messbar, f messbar -> -f messbar (weil (-1) [mm]\in \IR)[/mm]
>
> Man muss ja am Schluss [mm]|f_n-f|[/mm] messbar haben. Summen von
> messb. Funktionen messbar: [mm]f_n[/mm] + (-f) messbar...
>
> Dann hat man noch den Betrag am Schluss.
Ja, oder kürzer: Komposition meßbarer Funktionen sind meßbar.
Zurück zu deinem Problem:
Finde eine Majorante von [mm] $|f_n [/mm] - f|$ (und nein, [mm] f_n [/mm] ist KEINE Majorante).
Was weißt du denn über [mm] $|f_n [/mm] - f|$?
MFG,
Gono.
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Ich weiss es nicht. Weder [mm] f_n [/mm] noch f müssen also integrierbar sein ? Die sind ja nur messbar?
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Hiho,
> Ich weiss es nicht. Weder [mm]f_n[/mm] noch f müssen also integrierbar sein ? Die sind ja nur messbar?
korrekt!
Ich hatte dich ja bereits gefragt, was du über [mm] $|f_n [/mm] - f|$ weißt.
Ein Blick in die Voraussetzungen hätte dir gezeigt, dass du bereits weißt:
[mm] $\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in\IR} |f_n(x) [/mm] - f(x)| = 0$, d.h. die Folge [mm] $\sup_{x\in\IR} |f_n(x) [/mm] - f(x)|$ domiert schonmal [mm] $|f_n [/mm] - f|$ und ist eine Nullfolge.
Was weißt du über konvergente Folgen?
MFG,
Gono.
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Sie sind beschränkt. Dann nehme ich eine obere Schranke c [mm] \in \IR [/mm] als integrierbare Majorante?
Die ist integrierbar weil [mm] \integral_X [/mm] c [mm] d\mu [/mm] = [mm] c*\mu(X) [/mm] < [mm] \infty [/mm] weil [mm] (X,A,\mu) [/mm] endlicher Massraum?
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Danke.
Aber du wolltest das mit dem Satz von Lebesgue machen, ja?
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Hiho,
> Aber du wolltest das mit dem Satz von Lebesgue machen, ja?
nein, viel einfacher:
[mm] $\lim_{n\to\infty} \integral_X\,\left|f_n - f\right|\,d\mu \le \lim_{n\to\infty} \integral_X\,\sup_{x\in\IR}\left|f_n - f\right|\,d\mu [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in\IR}\left|f_n - f\right| \mu(X) [/mm] = 0$
MFG,
Gono.
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