Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Di 15.09.2015 | | Autor: | ito |
| Aufgabe | Gilt
$$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{|a_i - b_i(n)|}{n} [/mm] =0,$$
falls [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} b_i(n) =a_i$? [/mm] |
Hallo zusammen,
ich benötige Hilfe bei der Aufgabe.
ich vermute, dass die Aussage stimmt. Leider habe ich keine Idee wie man dass zeigen kann. Meine erste Idee war die Induktion über $n$ und die typischen Konvergenzkriterien. Damit kommt man aber nicht weit, da die Folgen [mm] $c_i(n):= \frac{|a_i - b_i(n)|}{n} [/mm] $ von $n$ abhängen...
Vllt hat jemand einen Tipp?!
VG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Di 15.09.2015 | | Autor: | hippias |
Wenn der Beweis nicht gelingen will, dann koennte es besser sein ein Gegenbeispiel zu suchen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Di 15.09.2015 | | Autor: | ito |
Wahrscheinlich dachtest du an sowas wie [mm] $a_i:=i$ [/mm] und [mm] $b_i(n):=i+\frac{1}{n}$...
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Di 15.09.2015 | | Autor: | ito |
Gilt die Behauptung unter der zusätzlichen Annahme
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{n} [/mm] = 0$$
und falls diese nicht reicht zusätzlich
[mm] $$\sum_{i=1}^{n} b_i(n)=0$$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Di 15.09.2015 | | Autor: | hippias |
Was soll denn das? Wie lauten denn nun die Voraussetzungen und um was geht es wirklich?
|
|
|
| |
|
Hiho,
wie fred schon sagte, ist deine ganze Aufgabenstellung abstrus, daher bedarf es mal einer konkreten Aufgabenstellung.
Auch deine "zusätzliche Bedingung"
> [mm]\sum_{i=1}^{n} b_i(n)=0[/mm]
ist absolut nicht klar. Soll das für ein n gelten, für alle n, nur für einige, für n prim, gerade, ungerade?
Wie du siehst, viel Interpretationsspielraum....
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Di 15.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wahrscheinlich dachtest du an sowas wie [mm]a_i:=i[/mm] und
> [mm]b_i(n):=i+\frac{1}{n}[/mm]...
Das ist kein Gegenbeispiel, denn
[mm] $\sum_{i=1}^{n} \frac{|a_i - b_i(n)|}{n} =\frac{1}{n}$.
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Di 15.09.2015 | | Autor: | ito |
stimmt... da ist mir ein Fehler unterlaufen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Di 15.09.2015 | | Autor: | hippias |
Nein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Di 15.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{|a_i - b_i(n)|}{n} =0,[/mm]
>
> falls [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_i(n) =a_i[/mm]?
>
> Hallo zusammen,
>
> ich benötige Hilfe bei der Aufgabe.
> ich vermute, dass die Aussage stimmt.
Nein, sie stimmt nicht.
Nehmen wir $ [mm] b_i(n):=i*\frac{1}{n}$. [/mm] Dann ist [mm] a_i=0 [/mm] und
[mm] $\sum_{i=1}^{n} \frac{|a_i - b_i(n)|}{n} =\frac{n+1}{2n} \to \frac{1}{2}$ [/mm] für $ n [mm] \to \infty$.
[/mm]
FRED
> Leider habe ich
> keine Idee wie man dass zeigen kann. Meine erste Idee war
> die Induktion über [mm]n[/mm] und die typischen
> Konvergenzkriterien. Damit kommt man aber nicht weit, da
> die Folgen [mm]c_i(n):= \frac{|a_i - b_i(n)|}{n}[/mm] von [mm]n[/mm]
> abhängen...
> Vllt hat jemand einen Tipp?!
>
> VG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Di 15.09.2015 | | Autor: | ito |
Dank dir für dein Gegenbeispiel! also brauchen wir die zusätzlichen Annahmen... deins ist kein Gegenbeispiel für die zusätzlichen Annahmen, da
[mm] $$\sum_{i=1}^{n} b_i(n)= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}i=\frac{1}{n}\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2}\not=0$$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Di 15.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Dank dir für dein Gegenbeispiel! also brauchen wir die
> zusätzlichen Annahmen... deins ist kein Gegenbeispiel für
> die zusätzlichen Annahmen
Echt ? Hat auch niemand behauptet.
Ware es Dir möglich, mal präzise zusagen, unter welchen Voraussetzungen, was gelten soll ?
Fred
da
> [mm]\sum_{i=1}^{n} b_i(n)= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}i=\frac{1}{n}\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2}\not=0[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Mi 16.09.2015 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Bemerkung:
für jedes $i [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] b_i [/mm] eine Folge, die gegen [mm] a_i [/mm] konvergiert. Damit konvergiert "die Folge der Folgen" [mm] (b_i)_{i \in \IN} [/mm] "punktweise" gegen die Folge [mm] (a_i)_{i \in \IN}, [/mm] also:
für jedes i [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] b_i(n) \to a_i [/mm] ($n [mm] \to \infty [/mm] $).
Diese punktweise Konvergenz reicht nicht aus , um
(*) $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{|a_i - b_i(n)|}{n} [/mm] =0 $
zu erzwingen.
Def.:
[mm] (b_i)_{i \in \IN} [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen [mm] (a_i)_{i \in \IN}, [/mm] wenn es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] N=N(\varepsilon) \in \IN [/mm] gibt mit
[mm] |b_i(n)-a_i|< \varepsilon [/mm] für alle n>N und alle i [mm] \in \IN.
[/mm]
Man zeige: gleichmäßige Konvergenz zieht (*) nach sich.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Mi 16.09.2015 | | Autor: | ito |
[mm] $$\sum_{i=1}^{n}\frac{|a_i - b_i(n)|}{n} [/mm] < [mm] \sum_{i=1}^{n}\frac{\epsilon}{n} [/mm] = [mm] \epsilon$$
[/mm]
ab [mm] $\epsilon$ [/mm] beliebig gilt die Konvergenz.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Mi 16.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\sum_{i=1}^{n}\frac{|a_i - b_i(n)|}{n} < \sum_{i=1}^{n}\frac{\epsilon}{n} = \epsilon[/mm]
>
> ab [mm]\epsilon[/mm] beliebig gilt die Konvergenz.
>
Dazu sage ich nur:
schlampig!
Fred
|
|
|
|
