Konvergenz einer Folge zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Fr 21.11.2014 | | Autor: | Springer |
| Aufgabe | Gegeben ist die Folge [mm] {a_{n}}, [/mm] für deren zwei erste Folgeglieder [mm] a_{1}=1 [/mm] und [mm] a_{2}=2 [/mm] gilt.
Angenommen für ein n [mm] \in \IN [/mm] seien [mm] a_{2n-1},a_{2n} [/mm] definiert mit
[mm] a_{2n-1}^{2} [/mm] < 2 < [mm] a_{2n}^{2}
[/mm]
Dann setzt man
[mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{a_{2n-1}+a_{2n}}{2}
[/mm]
sodass dann für ungerade und gerade Folgeglieder gilt:
[mm] a_{2n+1}=\begin{cases} a_{2n-1}, & \mbox{falls } x_{n}^{2} > 2 \mbox{ } \\ x_{n}, & \mbox{falls } x_{n}^{2} \le 2 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
[mm] a_{2n+2}=\begin{cases} x_{n}, & \mbox{falls } x_{n}^{2} > 2 \mbox{ } \\ a_{2n}, & \mbox{falls } x_{n}^{2} \le 2 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Folge { [mm] a_{n} [/mm] } konvergent ist und gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}^{2} [/mm] = 2 |
Guten Abend,
ich habe die oben stehende Aufgabe zu bearbeiten, jedoch weiß ich nicht so recht, wie ich damit beginnen soll.
Ich habe bisher herausgefunden, dass es sich bei der Folge um eine Folge handelt, die sich durch die oben angegebene Vorgehensweise immer mehr dem Wert [mm] \wurzel{2} [/mm] annähert, indem man ein ungerades Folgenglied vor dem Grenzwert und eines danach konstruiert, sodass man sich bei jedem Schritt weiter annähert.
Nun muss ich die Konvergenz dieser Folge zeigen, ich weiß nur nicht ganz wie.
Meine Ideen waren, dass die besagte Folge ja eine Cauchy-Folge sein müsste, da ja der Abstand zweier Folgeglieder immer kleiner ist, als der Abstand zweier Glieder, die vorher drankamen.
Problem ist nur, dass ich natürlich diese Folge nicht gegeben habe, sondern nur einzelne Folgeglieder ausrechnen könnte, und zudem nicht weiß, in welcher Metrik ich all dies hier betrachte, weil manche Cauchyfolgen im metrischen Raum [mm] (\IQ,d) [/mm] zum Beispiel nicht konvergieren.
Alternativ dachte ich mir auch, dass man das auch durch Intervallschachtelung lösen, wobei man dann zwei Teilintervalle betrachtet, nämlich eines mit allen geraden Folgegliedern, die sich überhalb von [mm] \wurzel{2} [/mm] befinden und dann das Intervall
[mm] [\wurzel{2}, a_{2n+2}]
[/mm]
und eines mit allen ungeraden Folgegliedern unterhalb von
[mm] [a_{2n+1}, \wurzel{2}]
[/mm]
Wenn ich diese beiden Folgeglieder für große n durchlaufen lasse, wird der Durchmesser diam(I) der Intervalle immer kleiner, bis man am Ende den Durchmesser 0 erreicht, sodass dann nur noch [mm] \wurzel{2} [/mm] übrig bleibt, wodurch die Folge ja dann konvergieren würde.
Der Grenzwert wäre ja dann eben genau dieses letzte Element, was ja dann genau [mm] \wurzel{2} [/mm] ist und man somit einen Dedekindschen Schnitt erhält, den wir in dem Zusammenhang kennengelernt hatten.
Ich hoffe einer kann mir bei meinen Ansätzen helfen bzw. sagen, wie ich da weiterkommen würde.
Liebe Grüße
Springer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Sa 22.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die Folge [mm]{a_{n}},[/mm] für deren zwei erste
> Folgeglieder [mm]a_{1}=1[/mm] und [mm]a_{2}=2[/mm] gilt.
> Angenommen für ein n [mm]\in \IN[/mm] seien [mm]a_{2n-1},a_{2n}[/mm]
> definiert mit
>
> [mm]a_{2n-1}^{2}[/mm] < 2 < [mm]a_{2n}^{2}[/mm]
>
> Dann setzt man
>
> [mm]x_{n}[/mm] = [mm]\bruch{a_{2n-1}+a_{2n}}{2}[/mm]
>
> sodass dann für ungerade und gerade Folgeglieder gilt:
Ht der Aufgabensteller das so formuliert ? "ungerade und gerade Folgeglieder " ist doch dummes Zeug. Gemeint sind Folgenglieder mit geraden bzw. ungeraden Indices.
>
> [mm]a_{2n+1}=\begin{cases} a_{2n-1}, & \mbox{falls } x_{n}^{2} > 2 \mbox{ } \\ x_{n}, & \mbox{falls } x_{n}^{2} \le 2 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> [mm]a_{2n+2}=\begin{cases} x_{n}, & \mbox{falls } x_{n}^{2} > 2 \mbox{ } \\ a_{2n}, & \mbox{falls } x_{n}^{2} \le 2 \mbox{ } \end{cases}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Folge { [mm]a_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} konvergent
> ist und gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}^{2}[/mm] = 2
> Guten Abend,
>
> ich habe die oben stehende Aufgabe zu bearbeiten, jedoch
> weiß ich nicht so recht, wie ich damit beginnen soll.
>
> Ich habe bisher herausgefunden, dass es sich bei der Folge
> um eine Folge handelt, die sich durch die oben angegebene
> Vorgehensweise immer mehr dem Wert [mm]\wurzel{2}[/mm] annähert,
> indem man ein ungerades Folgenglied vor dem Grenzwert und
> eines danach konstruiert, sodass man sich bei jedem Schritt
> weiter annähert.
>
> Nun muss ich die Konvergenz dieser Folge zeigen, ich weiß
> nur nicht ganz wie.
>
> Meine Ideen waren, dass die besagte Folge ja eine
> Cauchy-Folge sein müsste, da ja der Abstand zweier
> Folgeglieder immer kleiner ist, als der Abstand zweier
> Glieder, die vorher drankamen.
> Problem ist nur, dass ich natürlich diese Folge nicht
> gegeben habe, sondern nur einzelne Folgeglieder ausrechnen
> könnte, und zudem nicht weiß, in welcher Metrik ich all
> dies hier betrachte, weil manche Cauchyfolgen im metrischen
> Raum [mm](\IQ,d)[/mm] zum Beispiel nicht konvergieren.
>
> Alternativ dachte ich mir auch, dass man das auch durch
> Intervallschachtelung lösen, wobei man dann zwei
> Teilintervalle betrachtet, nämlich eines mit allen geraden
> Folgegliedern, die sich überhalb von [mm]\wurzel{2}[/mm] befinden
> und dann das Intervall
>
> [mm][\wurzel{2}, a_{2n+2}][/mm]
>
> und eines mit allen ungeraden Folgegliedern unterhalb von
>
> [mm][a_{2n+1}, \wurzel{2}][/mm]
>
> Wenn ich diese beiden Folgeglieder für große n
> durchlaufen lasse, wird der Durchmesser diam(I) der
> Intervalle immer kleiner, bis man am Ende den Durchmesser 0
> erreicht, sodass dann nur noch [mm]\wurzel{2}[/mm] übrig bleibt,
> wodurch die Folge ja dann konvergieren würde.
>
> Der Grenzwert wäre ja dann eben genau dieses letzte
> Element, was ja dann genau [mm]\wurzel{2}[/mm] ist und man somit
> einen Dedekindschen Schnitt erhält, den wir in dem
> Zusammenhang kennengelernt hatten.
>
> Ich hoffe einer kann mir bei meinen Ansätzen helfen bzw.
> sagen, wie ich da weiterkommen würde.
1. Zeige, dass [mm] (a_{2n-1}) [/mm] monoton wächst und dass [mm] (a_{2n}) [/mm] monoton fällt.
Nach dem Monotoniekriterium sind dann beide Teilfolgen konvergent.
2. Zeige: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{2n-1}= \limes_{n\rightarrow\infty}a_{2n}
[/mm]
3. Zeige mit 2. ,dass [mm] (a_n) [/mm] konvergiert.
Aus
$ [mm] a_{2n-1}^{2} [/mm] < 2 < [mm] a_{2n}^{2} [/mm] $ für alle n
folgt dann $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}^{2} [/mm] = 2 $
FRED
>
> Liebe Grüße
>
> Springer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Sa 22.11.2014 | | Autor: | Springer |
Hallo Fred,
vielen Dank für deine Antwort.
Was ich jedoch immer noch nicht verstehe, ist, wie genau ich denn zeigen kann, dass ein Folgeglied immer größer ist als ein darauf folgendes Folgeglied, ohne die genau Folge zu kennen. Ich weiß ja nur, wie man einzelne Glieder bildet, jedoch nicht, wie genau die aussehen.
Wie zeige ich also, dass eine Folge monoton fällt, wenn ich nur die einzelnen Glieder kenne und nicht die komplette Folge?
Grüße
Springer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Sa 22.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
>
> Was ich jedoch immer noch nicht verstehe, ist, wie genau
> ich denn zeigen kann, dass ein Folgeglied immer größer
> ist als ein darauf folgendes Folgeglied, ohne die genau
> Folge zu kennen. Ich weiß ja nur, wie man einzelne Glieder
> bildet, jedoch nicht, wie genau die aussehen.
>
> Wie zeige ich also, dass eine Folge monoton fällt, wenn
> ich nur die einzelnen Glieder kenne und nicht die komplette
> Folge?
Tipp: Induktion.
FRED
>
> Grüße
>
> Springer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Sa 22.11.2014 | | Autor: | Springer |
Hallo Fred,
ich weiß leider nicht so recht, wo ich anfangen soll :(
Sagen wir, ich will zeigen, dass die Folgeglieder mit geraden Indizes monoton fallend sind, sich also von oben an [mm] \wurzel{2} [/mm] annähern.
Dann kann ich ja eines dieser Folgeglieder betrachten, welches sich über
[mm] a_{2n+2}=\begin{cases} x_{n}, & \mbox{falls } x_{n}^{2} > 2 \mbox{ } \\ a_{2n}, & \mbox{falls } x_{n}^{2} \le 2 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
berechnen lässt.
Wenn ich hier nun eine Induktion mache, um das nächste der Folgeglieder mit geradem Indizes zu erreichen erhalte ich:
[mm] a_{2n+4}=\begin{cases} x_{n+1}, & \mbox{falls } x_{n+1}^{2} > 2 \mbox{ } \\ a_{2n+2}, & \mbox{falls } x_{n+1}^{2} \le 2 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Aber ich weiß nicht wirklich, woran ich nun sehe, dass das erste Folgeglied nun größer war als das zweite, außer ich ziehe heran, dass sich dieses stets aus [mm] x_{n} [/mm] berechnet, welches ja immer näher an [mm] \wurzel{2} [/mm] heranrutscht.
Kannst du mir vielleicht nochmals helfen?
Grüße
Springer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Sa 22.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> ich weiß leider nicht so recht, wo ich anfangen soll :(
>
> Sagen wir, ich will zeigen, dass die Folgeglieder mit
> geraden Indizes monoton fallend sind, sich also von oben an
> [mm]\wurzel{2}[/mm] annähern.
>
> Dann kann ich ja eines dieser Folgeglieder betrachten,
> welches sich über
>
> [mm]a_{2n+2}=\begin{cases} x_{n}, & \mbox{falls } x_{n}^{2} > 2 \mbox{ } \\ a_{2n}, & \mbox{falls } x_{n}^{2} \le 2 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> berechnen lässt.
>
> Wenn ich hier nun eine Induktion mache, um das nächste der
> Folgeglieder mit geradem Indizes zu erreichen erhalte ich:
>
> [mm]a_{2n+4}=\begin{cases} x_{n+1}, & \mbox{falls } x_{n+1}^{2} > 2 \mbox{ } \\ a_{2n+2}, & \mbox{falls } x_{n+1}^{2} \le 2 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Aber ich weiß nicht wirklich, woran ich nun sehe, dass das
> erste Folgeglied nun größer war als das zweite, außer
> ich ziehe heran, dass sich dieses stets aus [mm]x_{n}[/mm]
> berechnet, welches ja immer näher an [mm]\wurzel{2}[/mm]
> heranrutscht.
>
> Kannst du mir vielleicht nochmals helfen?
Da die Folge [mm] (x_n) [/mm] mit im Spiel ist, sollte die Induktionsvor. so lauten:
Sei n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] a_{2n-1} \ge a_{2n+1} [/mm] und [mm] a_{2n} \le a_{2n+2} [/mm]
FRED
>
> Grüße
>
> Springer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Sa 22.11.2014 | | Autor: | Springer |
Hi,
habe meine Frage doch schon selbst lösen können ;)
Okay, ich habe jetzt gezeigt, dass meine Folge, die sich überhalb von [mm] \wurzel{2} [/mm] bewegt, monoton fallend ist, und die Folge, die unterhalb von [mm] \wurzel{2} [/mm] bewegt, monoton steigend ist. Dann habe ich gezeigt, dass beide Teilfolgen beschränkt sind und somit den selben Grenzwert haben.
Doch wie genau schaffe ich es nun, aus diesem Ergebnis den Schluss zu ziehen, dass auch [mm] {a_{n}} [/mm] konvergent sein muss.
Ich habe jetzt sowas gesagt wie, dass, da beide Teilfolgen beschränkt sind und den selben Grenzwert haben, auch die Folge, die sich aus den beiden zusammensetzt, auch den selben Grenzwert haben muss, weshalb sie konvergent sein muss.
Kann man das so machen?
Grüße
Springer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 So 23.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> habe meine Frage doch schon selbst lösen können ;)
>
> Okay, ich habe jetzt gezeigt, dass meine Folge, die sich
> überhalb von [mm]\wurzel{2}[/mm] bewegt, monoton fallend ist, und
> die Folge, die unterhalb von [mm]\wurzel{2}[/mm] bewegt, monoton
> steigend ist. Dann habe ich gezeigt, dass beide Teilfolgen
> beschränkt sind und somit den selben Grenzwert haben.
>
> Doch wie genau schaffe ich es nun, aus diesem Ergebnis den
> Schluss zu ziehen, dass auch [mm]{a_{n}}[/mm] konvergent sein muss.
> Ich habe jetzt sowas gesagt wie, dass, da beide Teilfolgen
> beschränkt sind und den selben Grenzwert haben, auch die
> Folge, die sich aus den beiden zusammensetzt, auch den
> selben Grenzwert haben muss, weshalb sie konvergent sein
> muss.
>
> Kann man das so machen?
Richtig hieb und stichfest hast Du das nicht begründet.
Es gelte also [mm] a_{2n} \to [/mm] a und [mm] a_{2n-1} \to [/mm] a . Ist [mm] \epsilon [/mm] > 0, so zeige:
es gibt ein N [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] |a_k-a|< \epsilon [/mm] für alle k>N.
FRED
>
> Grüße
>
> Springer
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