Konvergenz einer Folge zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich versuche gerade eine Aufgabe bezüglich Folgen zu lösen. Und zwar soll ich die Folge auf Konvergenz prüfen und ggf. den Grenzwert bestimmen.
Für einfache Folgen war das bisher auch kein so großes Problem, allerdings hab ich nun die Folge [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n!}{n^n} [/mm] , [mm] \ge [/mm] 1 gegeben.
Als Vermutung habe ich nun aufgestellt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = 0
nun muss ich ja folgendes zeigen: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0 (\varepsilon) \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm] : [mm] |\bruch{n!}{n^n} [/mm] - 0| < [mm] \varepsilon [/mm] .
Nun versuche ich folgende NR: [mm] |\bruch{n!}{n^n}| [/mm] = [mm] \bruch{n!}{n^n} [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw n^n [/mm] * [mm] \varepsilon [/mm] - n! > 0
Mein Problem ist nun, dass ich dies nicht nach n aufgelöst bekomme um dann mein [mm] n_0 (\varepsilon) [/mm] zu setzen...
Bedeutet das, dass die Folge nicht konvergiert oder muss ich anders vorgehen?
Danke schonmal im Voraus!
LG Pia
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Hallo Pia!
Entweder setzt Du für die Abschätzung die ![[]](/images/popup.gif) Stirling-Formel ein mit:
$$n! \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] \wurzel{2*\pi*n}*\left(\bruch{n}{e}\right)^n$$
[/mm]
Oder Du wendest für die Ermittlung des Grenzwertes folgende Umformung an sowie anschließend die  Grenzwertsätze.
[mm] $$\bruch{n!}{n^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\overbrace{1*2*3*...*(n-1)*n}^{= \ n \ \text{Faktoren}}}{\underbrace{n*n*n*...*n*n}_{= \ n \ \text{Faktoren}}} [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{1}{n}*\bruch{2}{n}*\bruch{3}{n}*...*\bruch{n-1}{n}*\bruch{n}{n}}_{= \ n \ \text{Faktoren}}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist
[mm] $a_n= \bruch{n!}{n^n}= \bruch{1}{n}*(\bruch{2}{n})* [/mm] ...*( [mm] \bruch{n}{n})$
[/mm]
Die eingeklammerten Quotienten sind alle [mm] \le [/mm] 1, also:
$0 [mm] \le a_n \le [/mm] 1/n$ für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Erstmal vielen, vielen Dank!
Ich verstehe nun, dass 0 [mm] \le a_n \le [/mm] 1/n für jedes n [mm] \in \IN [/mm] ist.
Irgendwie habe ich jedoch anscheinend noch extreme Probleme mit dem Zeigen der Konvergenz, denn mich bringt diese Information noch nicht wirklich weiter. Ich bin irgendwie überfordert mit der Aufgabe formal korrekt die Konvergenz zu zeigen...
Oder kann ich dank des Wissens, dass 0 [mm] \le a_n \le [/mm] 1/n ist, jetzt setzen das [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ist ? Und dann nach n auflösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Fr 12.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Pia!
> Ich verstehe nun, dass 0 [mm]\le a_n \le[/mm] 1/n für jedes n
> [mm]\in \IN[/mm] ist.
>
> Irgendwie habe ich jedoch anscheinend noch extreme Probleme
> mit dem Zeigen der Konvergenz, denn mich bringt diese
> Information noch nicht wirklich weiter. Ich bin irgendwie
> überfordert mit der Aufgabe formal korrekt die Konvergenz
> zu zeigen...
>
> Oder kann ich dank des Wissens, dass 0 [mm]\le a_n \le[/mm] 1/n
> ist, jetzt setzen das [mm]\bruch{1}{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] ist ? Und
> dann nach n auflösen?
Nach n musst du gar nicht erst auflösen. Du weisst doch, dass $1/n$ eine Nullfolge ist. Da
[mm] 0 \le a_n \le 1/n [/mm] für jedes n
ist, also die Glieder [mm] $a_n$ [/mm] sozusagen zwischen 0 und $1/n$ eingesperrt sind, muss auch [mm] $(a_n)$ [/mm] eine Nullfolge sein.
Etwas formaler: Da $1/n$ eine Nullfolge ist, gibt es zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0$, [/mm] sodass
[mm]\bruch{1}{n} <\varepsilon [/mm] für alle [mm] $n\ge n_0$.
[/mm]
Zusammenfassen der Ungleichungen ergibt:
[mm] 0 \le a_n \le \bruch{1}{n} <\varepsilon [/mm] für alle [mm] $n\ge n_0$.
[/mm]
Also ist [mm] $(a_n)$ [/mm] eine Nullfolge.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Oh, auf diese Idee wäre ich vermutlich nie gekommen. Aber das ist natürlich alles sehr logisch!
Vielen, vielen Dank!!!
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